Weierstraß, Karl: Beitrag zur Theorie der Abel'schen Integrale. In: Jahresbericht über das Königl. Katholische Gymnasium zu Braunsberg 1848/49, S. 1-23.
mit der Bestimmung, dass x und sqrtR (x) bei jeder einzelnen Integration dieselben Intervalls, der erste in der Nähe von a, der andere in der Nähe von b angenom-
men, so kann man, wenn unter den Exponenten m, n keiner = -- 1 ist (auf welchen Fall ich mich hier beschränke), setzen [Formel 4] , wo C einen von a, b unabhängigen Werth hat. Wenn die Exponenten m + 1, n + 1 sämmtlich positiv sind, so ist [Formel 5] Weil aber C auch dann noch einen bestimmten endlichen Werth hat, wenn ei- nige der Exponenten m + 1, n + 1 negativ sind, so scheint es mir gestattet und angemessen zu sein, die Formel [Formel 6] allgemein als das constante Glied in der Entwickelung von [Formel 7] nach Potenzen von (a--a) und (b--b) zu definiren. In diesem Sinne ist im Verlauf der Abhandlung die Bezeichnung [Formel 8] überall aufzufassen. mit der Bestimmung, dass x und √R (x) bei jeder einzelnen Integration dieselben Intervalls, der erste in der Nähe von a, der andere in der Nähe von b angenom-
men, so kann man, wenn unter den Exponenten m, n keiner = — 1 ist (auf welchen Fall ich mich hier beschränke), setzen [Formel 4] , wo C einen von α, β unabhängigen Werth hat. Wenn die Exponenten m + 1, n + 1 sämmtlich positiv sind, so ist [Formel 5] Weil aber C auch dann noch einen bestimmten endlichen Werth hat, wenn ei- nige der Exponenten m + 1, n + 1 negativ sind, so scheint es mir gestattet und angemessen zu sein, die Formel [Formel 6] allgemein als das constante Glied in der Entwickelung von [Formel 7] nach Potenzen von (α—a) und (β—b) zu definiren. In diesem Sinne ist im Verlauf der Abhandlung die Bezeichnung [Formel 8] überall aufzufassen. <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0019" n="14"/> mit der Bestimmung, dass <hi rendition="#i">x</hi> und √R (<hi rendition="#i">x</hi>) bei jeder einzelnen Integration dieselben<lb/> Werthe durchlaufen wie in den Gleichungen (1). Auf diese Weise erklärt ist J(<hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">2</hi>, …)<hi rendition="#sub"><hi rendition="#fr">a</hi></hi><lb/> eine für alle Werthe der Argumente <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">2</hi> .... völlig bestimmte, eindeutige Function.<lb/> Drückt man <hi rendition="#i">dx</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">dx</hi><hi rendition="#sub">2</hi>… durch <hi rendition="#i">du</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">du</hi><hi rendition="#sub">2</hi> … aus, so ergiebt sich (14) für J (<hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">2</hi>,…, <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">n</hi>)<hi rendition="#sub"><hi rendition="#fr">a</hi></hi><lb/> der Ausdruck<lb/><formula/>,<lb/> wo für <hi rendition="#fr">b</hi> der Werth <hi rendition="#fr">a</hi> auszuschliessen ist. Durch diese Gleichung ist J (<hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">2</hi>, …)<hi rendition="#sub"><hi rendition="#fr">a</hi></hi><lb/> vollständig bestimmt, wenn noch hinzugefügt wird, dass in der Entwickelung dieser<lb/> Function nach fallenden Potenzen von <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub"><hi rendition="#fr">a</hi></hi> kein von <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">2</hi>, … u<hi rendition="#sub">n</hi> unabhängiges Glied<lb/> vorkommen darf. Für den Fall der elliptischen Functionen hat man<lb/><hi rendition="#c"><formula/>,</hi><lb/> während man gewöhnlich die elliptischen Integrale zweiter Gattung auf die Function<lb/><formula/> zurückführt, was keinen wesentlichen Unterschied macht. Für die Abel-<lb/> schen Integrale zweiter Gattung haben aber die hier gewählten Formen den Vorzug,<lb/> dass sich viele Formeln einfacher gestalten, als es der Fall sein würde, wenn man,<lb/> was ohne Schwierigkeit angeht, Functionen von <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">2</hi>, einführte, welche dem ange-<lb/> führten elliptischen Integral conform sind.</p><lb/> <note xml:id="note-0019" prev="#note-0018" place="foot" n="*)">Intervalls, der erste in der Nähe von <hi rendition="#i">a</hi>, der andere in der Nähe von <hi rendition="#i">b</hi> angenom-<lb/> men, so kann man, wenn unter den Exponenten <hi rendition="#i">m, n</hi> keiner = — 1 ist (auf<lb/> welchen Fall ich mich hier beschränke), setzen<lb/><formula/>,<lb/> wo C einen von <hi rendition="#i">α, β</hi> unabhängigen Werth hat. Wenn die Exponenten <hi rendition="#i">m</hi> + 1,<lb/><hi rendition="#i">n</hi> + 1 sämmtlich positiv sind, so ist<lb/><hi rendition="#c"><formula/></hi> Weil aber C auch dann noch einen bestimmten endlichen Werth hat, wenn ei-<lb/> nige der Exponenten m + 1, n + 1 negativ sind, so scheint es mir gestattet und<lb/> angemessen zu sein, die Formel <formula/> allgemein als das constante Glied in der<lb/> Entwickelung von <formula/> nach Potenzen von (<hi rendition="#i">α</hi>—<hi rendition="#i">a</hi>) und (<hi rendition="#i">β</hi>—<hi rendition="#i">b</hi>) zu definiren.<lb/> In diesem Sinne ist im Verlauf der Abhandlung die Bezeichnung <formula/> überall aufzufassen.</note><lb/> </div> </div> </body> </text> </TEI> [14/0019]
mit der Bestimmung, dass x und √R (x) bei jeder einzelnen Integration dieselben
Werthe durchlaufen wie in den Gleichungen (1). Auf diese Weise erklärt ist J(u1, u2, …)a
eine für alle Werthe der Argumente u1, u2 .... völlig bestimmte, eindeutige Function.
Drückt man dx1, dx2… durch du1, du2 … aus, so ergiebt sich (14) für J (u1, u2,…, un)a
der Ausdruck
[FORMEL],
wo für b der Werth a auszuschliessen ist. Durch diese Gleichung ist J (u1, u2, …)a
vollständig bestimmt, wenn noch hinzugefügt wird, dass in der Entwickelung dieser
Function nach fallenden Potenzen von ua kein von u1, u2, … un unabhängiges Glied
vorkommen darf. Für den Fall der elliptischen Functionen hat man
[FORMEL],
während man gewöhnlich die elliptischen Integrale zweiter Gattung auf die Function
[FORMEL] zurückführt, was keinen wesentlichen Unterschied macht. Für die Abel-
schen Integrale zweiter Gattung haben aber die hier gewählten Formen den Vorzug,
dass sich viele Formeln einfacher gestalten, als es der Fall sein würde, wenn man,
was ohne Schwierigkeit angeht, Functionen von u1, u2, einführte, welche dem ange-
führten elliptischen Integral conform sind.
*)
*) Intervalls, der erste in der Nähe von a, der andere in der Nähe von b angenom-
men, so kann man, wenn unter den Exponenten m, n keiner = — 1 ist (auf
welchen Fall ich mich hier beschränke), setzen
[FORMEL],
wo C einen von α, β unabhängigen Werth hat. Wenn die Exponenten m + 1,
n + 1 sämmtlich positiv sind, so ist
[FORMEL] Weil aber C auch dann noch einen bestimmten endlichen Werth hat, wenn ei-
nige der Exponenten m + 1, n + 1 negativ sind, so scheint es mir gestattet und
angemessen zu sein, die Formel [FORMEL] allgemein als das constante Glied in der
Entwickelung von [FORMEL] nach Potenzen von (α—a) und (β—b) zu definiren.
In diesem Sinne ist im Verlauf der Abhandlung die Bezeichnung [FORMEL] überall aufzufassen.
Suche im WerkInformationen zum Werk
Download dieses Werks
XML (TEI P5) ·
HTML ·
Text Metadaten zum WerkTEI-Header · CMDI · Dublin Core Ansichten dieser Seite
Voyant Tools
|
| URL zu diesem Werk: | https://www.deutschestextarchiv.de/weierstrass_integrale_1849 |
| URL zu dieser Seite: | https://www.deutschestextarchiv.de/weierstrass_integrale_1849/19 |
| Zitationshilfe: | Weierstraß, Karl: Beitrag zur Theorie der Abel'schen Integrale. In: Jahresbericht über das Königl. Katholische Gymnasium zu Braunsberg 1848/49, S. 1-23, hier S. 14. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/weierstrass_integrale_1849/19>, abgerufen am 23.04.2024. |
