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Weierstraß, Karl: Beitrag zur Theorie der Abel'schen Integrale. In: Jahresbericht über das Königl. Katholische Gymnasium zu Braunsberg 1848/49, S. 1-23.

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Man bezeichne nun
15. [Formel 1]
und
16. [Formel 2] ,
so erhält man 2 . n2 bestimmte Integrale Ja,b, J'a,b, welche man in Erweiterung der
Legendre'schen Benennung vollständige Abel'sche Integrale zweiter Gattung nennen
kann, und die in der Theorie der Abel'schen Transcendenten dieselbe Bedeutung ha-
ben wie die Grössen
K -- E, E'
auf welche sie sich für n = 1 reduciren, für die elliptischen Functionen. Während z. B.
[Formel 3] ,
und daher, wenn m, n ganze Zahlen sind,
J (u + 2m K + 2n K' i) = J (u) + 2m (K -- E) + 2n E' i
ist, so erhält man, wenn man setzt,
17. [Formel 4]
18. [Formel 5]

Nach diesen vorläufigen Auseinandersetzungen, deren nähere Begründung einer
ausführlichen Bearbeitung der Abel'schen Transcendenten vorbehalten bleiben muss,
werde ich nun nachweisen, dass die Gleichungen (3, 4) des §. 1. eine Reihe ein-
facher Relationen unter den 4 . n2 Grössen Ka, b, K'a, b, Ja, b, J'a, b enthalten.

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Man bezeichne nun
15. [Formel 1]
und
16. [Formel 2] ,
so erhält man 2 . n2 bestimmte Integrale Ja,b, J'a,b, welche man in Erweiterung der
Legendre’schen Benennung vollständige Abel’sche Integrale zweiter Gattung nennen
kann, und die in der Theorie der Abel’schen Transcendenten dieselbe Bedeutung ha-
ben wie die Grössen
K — E, E'
auf welche sie sich für n = 1 reduciren, für die elliptischen Functionen. Während z. B.
[Formel 3] ,
und daher, wenn m, n ganze Zahlen sind,
J (u + 2m K + 2n K' i) = J (u) + 2m (K — E) + 2n E' i
ist, so erhält man, wenn man setzt,
17. [Formel 4]
18. [Formel 5]

Nach diesen vorläufigen Auseinandersetzungen, deren nähere Begründung einer
ausführlichen Bearbeitung der Abel’schen Transcendenten vorbehalten bleiben muss,
werde ich nun nachweisen, dass die Gleichungen (3, 4) des §. 1. eine Reihe ein-
facher Relationen unter den 4 . n2 Grössen Ka, b, K'a, b, Ja, b, J'a, b enthalten.

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[15/0020] Man bezeichne nun 15. [FORMEL] und 16. [FORMEL], so erhält man 2 . n2 bestimmte Integrale Ja,b, J'a,b, welche man in Erweiterung der Legendre’schen Benennung vollständige Abel’sche Integrale zweiter Gattung nennen kann, und die in der Theorie der Abel’schen Transcendenten dieselbe Bedeutung ha- ben wie die Grössen K — E, E' auf welche sie sich für n = 1 reduciren, für die elliptischen Functionen. Während z. B. [FORMEL], und daher, wenn m, n ganze Zahlen sind, J (u + 2m K + 2n K' i) = J (u) + 2m (K — E) + 2n E' i ist, so erhält man, wenn man setzt, 17. [FORMEL] 18. [FORMEL] Nach diesen vorläufigen Auseinandersetzungen, deren nähere Begründung einer ausführlichen Bearbeitung der Abel’schen Transcendenten vorbehalten bleiben muss, werde ich nun nachweisen, dass die Gleichungen (3, 4) des §. 1. eine Reihe ein- facher Relationen unter den 4 . n2 Grössen Ka, b, K'a, b, Ja, b, J'a, b enthalten. 3

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Zitationshilfe: Weierstraß, Karl: Beitrag zur Theorie der Abel'schen Integrale. In: Jahresbericht über das Königl. Katholische Gymnasium zu Braunsberg 1848/49, S. 1-23, hier S. 15. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/weierstrass_integrale_1849/20>, abgerufen am 20.04.2024.