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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Von der Kugel und Rund-Seule.

Der XXIII. Lehrsatz/
Und
Die Achtzehende Betrachtung.

Wann in einer Kugel grössesten Kreiß ein gleichseitiges Vielekk
eingeschrieben wird/ also daß die Zahl seiner Seiten durch 4. möge
aufgehoben werden; und solches Vielekk umb einen/ durch zwey
seiner Ekken gezogenen/ Durchmesser sich wälzet; so wird/ durch
solches Umbwälzen/ innerhalb der Kugel beschrieben eine Cörper-
liche Figur/ deren ganze äussere/ aus lauter Kegelflächen bestehen-
de/ Fläche kleiner ist als die ganze Fläche der Kugel.

Beweiß.

Die Erläuterung dieses Lehrsatzes ist in denen obigen Worten Archimedis
weitläuffig zu finden. So ist auch Beweises genug darinnen/ und zwar eben
ein solcher/ wie der allererste obige Lehrsatz gehabt hat. Das einige nur (wie
Flurantius selbst bekennet) scheinet/ nicht klar genug/ sondern Beweisens bedürf-
tig zu seyn/ daß Archimedes/ als gewiß und bekant/ setzet/ wann FG und NM
verlängert werden/ so kommen sie endlich zusammen/ und zwar eben in dem ver-
längerten Durchmesser CA, das ist/ die drey verlängerte Lineen GF, MN, und
CA kommen zusammen in einem Punct. Wir wollen an statt des Flurantii
Beweises (welcher eine neue Figur erfordert) die Sache also klar machen: Daß
GF und MN, wann sie verlängert werden/ endlich zusammen kommen und nicht
gleich lauffen/ ist offenbar; dann wann sie gleich lieffen/ so müsten (weil sie über
dieses auch einander gleich sind) die beyde Lineen FN und GM auch einander
gleich seyn/ vermög des 33sten im I. Buch/ welches aber unmöglich und schnur-
strakks wider den 15den des III. Buchs lauffet. Umb so viel weniger nun kön-
nen GF und CA oder MN und CA gleich lauffen/ weil CA mitten inne ligt
und von G dem Anfangspunct der einen eben so weit ist/ als von M dem An-
fangspunct der andern/ vermög der 2. Anmerkung des XXI. Lehrsatzes. Daß
sie aber alle drey eben in einem Punct zusammen kommen/ erhellet also: GF
machet mit dem Stükk von AC, welches GM abschneidet/ (weil sie/ verlän-
gert/ endlich zusamm kommen) ein Dreyekk; ingleichen MN machet mit dem-
selben Stükk von AC auch ein Dreyekk. Jn beyden Dreyekken sind/ wo AC
und GM einander durchschneiden/ gerade Winkel/ vermög der 2. Anmerkung
des XXI. Lehrsatzes: So sind auch die Winkel FGM und NMG einander
gleich (dann/ weil GM und FN gleich lauffen/ nach der 1. Anmerkung des
XXI. Lehrsatzes/ so sind die beyde Winkel F und G zusammen zweyen geraden
Winkeln gleich/ aus dem 29sten des I. B. Es sind aber auch F und M zweyen
geraden Winkeln gleich/ nach dem 22sten des III. Derowegen sind G und M
einander gleich) wie auch (Krafft angezogener 2. Anmerkung des XXI.
Lehrsatzes) die beyden Grundlineen von G und M biß zum Durchschnitt. De-
rowegen sind beyde Dreyekke und alle ihre Seiten einander gleich/ nach dem
26sten des I. B. ist also das Stükk der verlängerten AC, welches mit dem ver-

länger-

J ij

Von der Kugel und Rund-Seule.

Der XXIII. Lehrſatz/
Und
Die Achtzehende Betrachtung.

Wann in einer Kugel groͤſſeſten Kreiß ein gleichſeitiges Vielekk
eingeſchrieben wird/ alſo daß die Zahl ſeiner Seiten durch 4. moͤge
aufgehoben werden; und ſolches Vielekk umb einen/ durch zwey
ſeiner Ekken gezogenen/ Durchmeſſer ſich waͤlzet; ſo wird/ durch
ſolches Umbwaͤlzen/ innerhalb der Kugel beſchrieben eine Coͤrper-
liche Figur/ deren ganze aͤuſſere/ aus lauter Kegelflaͤchen beſtehen-
de/ Flaͤche kleiner iſt als die ganze Flaͤche der Kugel.

Beweiß.

Die Erlaͤuterung dieſes Lehrſatzes iſt in denen obigen Worten Archimedis
weitlaͤuffig zu finden. So iſt auch Beweiſes genug darinnen/ und zwar eben
ein ſolcher/ wie der allererſte obige Lehrſatz gehabt hat. Das einige nur (wie
Flurantius ſelbſt bekennet) ſcheinet/ nicht klar genug/ ſondern Beweiſens beduͤrf-
tig zu ſeyn/ daß Archimedes/ als gewiß und bekant/ ſetzet/ wann FG und NM
verlaͤngert werden/ ſo kommen ſie endlich zuſammen/ und zwar eben in dem ver-
laͤngerten Durchmeſſer CA, das iſt/ die drey verlaͤngerte Lineen GF, MN, und
CA kommen zuſammen in einem Punct. Wir wollen an ſtatt des Flurantii
Beweiſes (welcher eine neue Figur erfordert) die Sache alſo klar machen: Daß
GF und MN, wann ſie verlaͤngert werden/ endlich zuſammen kommen und nicht
gleich lauffen/ iſt offenbar; dann wann ſie gleich lieffen/ ſo muͤſten (weil ſie uͤber
dieſes auch einander gleich ſind) die beyde Lineen FN und GM auch einander
gleich ſeyn/ vermoͤg des 33ſten im I. Buch/ welches aber unmoͤglich und ſchnur-
ſtrakks wider den 15den des III. Buchs lauffet. Umb ſo viel weniger nun koͤn-
nen GF und CA oder MN und CA gleich lauffen/ weil CA mitten inne ligt
und von G dem Anfangspunct der einen eben ſo weit iſt/ als von M dem An-
fangspunct der andern/ vermoͤg der 2. Anmerkung des XXI. Lehrſatzes. Daß
ſie aber alle drey eben in einem Punct zuſammen kommen/ erhellet alſo: GF
machet mit dem Stuͤkk von AC, welches GM abſchneidet/ (weil ſie/ verlaͤn-
gert/ endlich zuſamm kommen) ein Dreyekk; ingleichen MN machet mit dem-
ſelben Stuͤkk von AC auch ein Dreyekk. Jn beyden Dreyekken ſind/ wo AC
und GM einander durchſchneiden/ gerade Winkel/ vermoͤg der 2. Anmerkung
des XXI. Lehrſatzes: So ſind auch die Winkel FGM und NMG einander
gleich (dann/ weil GM und FN gleich lauffen/ nach der 1. Anmerkung des
XXI. Lehrſatzes/ ſo ſind die beyde Winkel F und G zuſammen zweyen geraden
Winkeln gleich/ aus dem 29ſten des I. B. Es ſind aber auch F und M zweyen
geraden Winkeln gleich/ nach dem 22ſten des III. Derowegen ſind G und M
einander gleich) wie auch (Krafft angezogener 2. Anmerkung des XXI.
Lehrſatzes) die beyden Grundlineen von G und M biß zum Durchſchnitt. De-
rowegen ſind beyde Dreyekke und alle ihre Seiten einander gleich/ nach dem
26ſten des I. B. iſt alſo das Stuͤkk der verlaͤngerten AC, welches mit dem ver-

laͤnger-

J ij

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[63/0091] Von der Kugel und Rund-Seule. Der XXIII. Lehrſatz/ Und Die Achtzehende Betrachtung. Wann in einer Kugel groͤſſeſten Kreiß ein gleichſeitiges Vielekk eingeſchrieben wird/ alſo daß die Zahl ſeiner Seiten durch 4. moͤge aufgehoben werden; und ſolches Vielekk umb einen/ durch zwey ſeiner Ekken gezogenen/ Durchmeſſer ſich waͤlzet; ſo wird/ durch ſolches Umbwaͤlzen/ innerhalb der Kugel beſchrieben eine Coͤrper- liche Figur/ deren ganze aͤuſſere/ aus lauter Kegelflaͤchen beſtehen- de/ Flaͤche kleiner iſt als die ganze Flaͤche der Kugel. Beweiß. Die Erlaͤuterung dieſes Lehrſatzes iſt in denen obigen Worten Archimedis weitlaͤuffig zu finden. So iſt auch Beweiſes genug darinnen/ und zwar eben ein ſolcher/ wie der allererſte obige Lehrſatz gehabt hat. Das einige nur (wie Flurantius ſelbſt bekennet) ſcheinet/ nicht klar genug/ ſondern Beweiſens beduͤrf- tig zu ſeyn/ daß Archimedes/ als gewiß und bekant/ ſetzet/ wann FG und NM verlaͤngert werden/ ſo kommen ſie endlich zuſammen/ und zwar eben in dem ver- laͤngerten Durchmeſſer CA, das iſt/ die drey verlaͤngerte Lineen GF, MN, und CA kommen zuſammen in einem Punct. Wir wollen an ſtatt des Flurantii Beweiſes (welcher eine neue Figur erfordert) die Sache alſo klar machen: Daß GF und MN, wann ſie verlaͤngert werden/ endlich zuſammen kommen und nicht gleich lauffen/ iſt offenbar; dann wann ſie gleich lieffen/ ſo muͤſten (weil ſie uͤber dieſes auch einander gleich ſind) die beyde Lineen FN und GM auch einander gleich ſeyn/ vermoͤg des 33ſten im I. Buch/ welches aber unmoͤglich und ſchnur- ſtrakks wider den 15den des III. Buchs lauffet. Umb ſo viel weniger nun koͤn- nen GF und CA oder MN und CA gleich lauffen/ weil CA mitten inne ligt und von G dem Anfangspunct der einen eben ſo weit iſt/ als von M dem An- fangspunct der andern/ vermoͤg der 2. Anmerkung des XXI. Lehrſatzes. Daß ſie aber alle drey eben in einem Punct zuſammen kommen/ erhellet alſo: GF machet mit dem Stuͤkk von AC, welches GM abſchneidet/ (weil ſie/ verlaͤn- gert/ endlich zuſamm kommen) ein Dreyekk; ingleichen MN machet mit dem- ſelben Stuͤkk von AC auch ein Dreyekk. Jn beyden Dreyekken ſind/ wo AC und GM einander durchſchneiden/ gerade Winkel/ vermoͤg der 2. Anmerkung des XXI. Lehrſatzes: So ſind auch die Winkel FGM und NMG einander gleich (dann/ weil GM und FN gleich lauffen/ nach der 1. Anmerkung des XXI. Lehrſatzes/ ſo ſind die beyde Winkel F und G zuſammen zweyen geraden Winkeln gleich/ aus dem 29ſten des I. B. Es ſind aber auch F und M zweyen geraden Winkeln gleich/ nach dem 22ſten des III. Derowegen ſind G und M einander gleich) wie auch (Krafft angezogener 2. Anmerkung des XXI. Lehrſatzes) die beyden Grundlineen von G und M biß zum Durchſchnitt. De- rowegen ſind beyde Dreyekke und alle ihre Seiten einander gleich/ nach dem 26ſten des I. B. iſt alſo das Stuͤkk der verlaͤngerten AC, welches mit dem ver- laͤnger- J ij

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Zitationshilfe:	Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 63. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/91>, abgerufen am 07.05.2024.

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