Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.Von der Kugel und Rund-Seule. in B kleiner seyn als gedachte Ekkfläche/ nach dem 10den des V. B. Nun aberhat/ Kraft obiger Vorbereitung/ das Vielekk umb B gegen dem Vielekk in B eine kleinere Verhältnis als die Scheibe B gegen der Kegelfläche. Darumb muß das Vielekk umb B gegen der Ekkfläche (die da grösser ist als das Vielekk in B) umb so viel mehr eine kleinere Verhältnis haben/ als die Scheibe B gegen der Ke- gelfläche. Woraus dann folget (vermög des 10den im V. Buch/ und der fol- genden 2. Anmerkung) daß die eingeschriebene Ekkfläche grösser sey als die be- greiffende Kegelfläche/ welches abermal ungereimt und wider die erste Folge des obigen XII. Lehrsatzes ist. Kan derowegen die Scheibe B nicht grösser seyn als ofterwehnte Kegelfläche. Sie ist aber auch nicht kleiner/ wie oben erwiesen wor- den. Derowegen muß sie ihr nohtwendig gleich seyn; Welches solte bewiesen werden. Anmerkungen. 1. Daß der Halbmesser der Grundscheibe eines gleichseitigen Kegels gegen der Seite Es sey die Grundscheibe eines gleichseitigen Kegels C, ihr 2. Jm End des Beweises ist geschlossen: Weil das Viel- Der XV. Lehrsatz/ Und Die Zehende Betrachtung. Eines jeden gleichseitigen Kegels Fläche verhält sich gegen des- selben F iij
Von der Kugel und Rund-Seule. in B kleiner ſeyn als gedachte Ekkflaͤche/ nach dem 10den des V. B. Nun aberhat/ Kraft obiger Vorbereitung/ das Vielekk umb B gegen dem Vielekk in B eine kleinere Verhaͤltnis als die Scheibe B gegen der Kegelflaͤche. Darumb muß das Vielekk umb B gegen der Ekkflaͤche (die da groͤſſer iſt als das Vielekk in B) umb ſo viel mehr eine kleinere Verhaͤltnis haben/ als die Scheibe B gegen der Ke- gelflaͤche. Woraus dann folget (vermoͤg des 10den im V. Buch/ und der fol- genden 2. Anmerkung) daß die eingeſchriebene Ekkflaͤche groͤſſer ſey als die be- greiffende Kegelflaͤche/ welches abermal ungereimt und wider die erſte Folge des obigen XII. Lehrſatzes iſt. Kan derowegen die Scheibe B nicht groͤſſer ſeyn als ofterwehnte Kegelflaͤche. Sie iſt aber auch nicht kleiner/ wie oben erwieſen wor- den. Derowegen muß ſie ihr nohtwendig gleich ſeyn; Welches ſolte bewieſen werden. Anmerkungen. 1. Daß der Halbmeſſer der Grundſcheibe eines gleichſeitigen Kegels gegen der Seite Es ſey die Grundſcheibe eines gleichſeitigen Kegels C, ihr 2. Jm End des Beweiſes iſt geſchloſſen: Weil das Viel- Der XV. Lehrſatz/ Und Die Zehende Betrachtung. Eines jeden gleichſeitigen Kegels Flaͤche verhaͤlt ſich gegen deſ- ſelben F iij
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Von der Kugel und Rund-Seule.
in B kleiner ſeyn als gedachte Ekkflaͤche/ nach dem 10den des V. B. Nun aber
hat/ Kraft obiger Vorbereitung/ das Vielekk umb B gegen dem Vielekk in B
eine kleinere Verhaͤltnis als die Scheibe B gegen der Kegelflaͤche. Darumb muß
das Vielekk umb B gegen der Ekkflaͤche (die da groͤſſer iſt als das Vielekk in B)
umb ſo viel mehr eine kleinere Verhaͤltnis haben/ als die Scheibe B gegen der Ke-
gelflaͤche. Woraus dann folget (vermoͤg des 10den im V. Buch/ und der fol-
genden 2. Anmerkung) daß die eingeſchriebene Ekkflaͤche groͤſſer ſey als die be-
greiffende Kegelflaͤche/ welches abermal ungereimt und wider die erſte Folge des
obigen XII. Lehrſatzes iſt. Kan derowegen die Scheibe B nicht groͤſſer ſeyn als
ofterwehnte Kegelflaͤche. Sie iſt aber auch nicht kleiner/ wie oben erwieſen wor-
den. Derowegen muß ſie ihr nohtwendig gleich ſeyn; Welches ſolte bewieſen
werden.
Anmerkungen.
1. Daß der Halbmeſſer der Grundſcheibe eines gleichſeitigen Kegels gegen der Seite
des Kegels eine groͤſſere Verhaͤltnis habe/ als die Lini/ welche aus dem Mittelpunct der
Grundſcheibe auf eine Seite des eingeſchriebenen Vielekkes ſenkrecht faͤllet gegen der Lini/
welche von der Spitz des Kegels oder der eingeſchriebenen Spitz-Saͤule auf eben dieſelbe Seite
ſenkrecht herunter gezogen iſt (welches Archimedes in ſeinem Beweiß als bekant ſetzet) bewei-
ſen wir aus dem Eutokius kuͤrzlich alſo:
Es ſey die Grundſcheibe eines gleichſeitigen Kegels C, ihr
Halbmeſſer CM, die Seite des Kegels ML, das eingeſchrie-
bene Vielekk FHK; CG die Lini/ die aus dem Mittelpunct C
auf die Seite HK ſenkrecht faͤllet/ LG die Lini/ welche aus der
Spitze des Kegels oder der eingeſchriebenen Spitz-Saͤule auf
HK in G auch ſenkrecht herunter gezogen iſt. So ſage ich nun/
CM habe gegen ML eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als CG gegen
GL. Dann wann man GN mit ML gleichlauffend macht/ nach
dem 31ſten des I. Buchs/ ſo verhaͤlt ſich CM gegen ML wie
CG gegen GN, vermoͤg des 2ten im VI. B. CG aber hat ge-
gen GN, nach dem 8ten des V. eine groͤſſere Verhaͤltnis als ge-
gen GL (weil GL groͤſſer iſt als GN, aus dem 19den des I. B.)
Derhalben hat auch CM gegen ML eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als
CG gegen GL. Welches zu beweiſen war.
2. Jm End des Beweiſes iſt geſchloſſen: Weil das Viel-
ekk umb B gegen der Ekkflaͤche eine kleinere Verhaͤltnis hat/ als
die Scheibe B gegen der Kegelflaͤche/ daß die Ekkflaͤche muͤſſe groͤſ-
ſer ſeyn als die begreiffende Kegelflaͤche. Solches erhellet alſo:
[Abbildung]
Die Scheibe B iſt kleiner als das Vielekk umb B, Krafft obigen IX. Grundſatzes. Darumb
muß nohtwendig die Scheibe B gegen gedachter Ekkflaͤche eine kleinere Verhaͤltnis haben/ als
das Vielekk umb B, vermoͤg des 8ten im V. B. Weil dann nun die groͤſſere Verhaͤltnis (des
Vielekkes umb B gegen der Ekkflaͤche) ſchon kleiner iſt/ als die Verhaͤltnis der Scheibe B gegen
der Kegelflaͤche; ſo muß umb ſo viel mehr die kleinere Verhaͤltnis (der Scheibe B gegen derſel-
ben Ekkflaͤche) kleiner ſeyn/ als die Verhaͤltnis eben derſelben Scheibe B gegen der Kegel-
flaͤche; und darumb muß/ nach dem 10den des V. die Ekkflaͤche groͤſſer ſeyn als die Kegelflaͤche.
Der XV. Lehrſatz/
Und
Die Zehende Betrachtung.
Eines jeden gleichſeitigen Kegels Flaͤche verhaͤlt ſich gegen deſ-
ſelben
F iij
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