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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Von der Kugel und Rund-Seule.

in B kleiner seyn als gedachte Ekkfläche/ nach dem 10den des V. B. Nun aber
hat/ Kraft obiger Vorbereitung/ das Vielekk umb B gegen dem Vielekk in B
eine kleinere Verhältnis als die Scheibe B gegen der Kegelfläche. Darumb muß
das Vielekk umb B gegen der Ekkfläche (die da grösser ist als das Vielekk in B)
umb so viel mehr eine kleinere Verhältnis haben/ als die Scheibe B gegen der Ke-
gelfläche. Woraus dann folget (vermög des 10den im V. Buch/ und der fol-
genden 2. Anmerkung) daß die eingeschriebene Ekkfläche grösser sey als die be-
greiffende Kegelfläche/ welches abermal ungereimt und wider die erste Folge des
obigen XII. Lehrsatzes ist. Kan derowegen die Scheibe B nicht grösser seyn als
ofterwehnte Kegelfläche. Sie ist aber auch nicht kleiner/ wie oben erwiesen wor-
den. Derowegen muß sie ihr nohtwendig gleich seyn; Welches solte bewiesen
werden.

Anmerkungen.

1. Daß der Halbmesser der Grundscheibe eines gleichseitigen Kegels gegen der Seite
des Kegels eine grössere Verhältnis habe/ als die Lini/ welche aus dem Mittelpunct der
Grundscheibe auf eine Seite des eingeschriebenen Vielekkes senkrecht fället gegen der Lini/
welche von der Spitz des Kegels oder der eingeschriebenen Spitz-Säule auf eben dieselbe Seite
senkrecht herunter gezogen ist (welches Archimedes in seinem Beweiß als bekant setzet) bewei-
sen wir aus dem Eutokius kürzlich also:

Es sey die Grundscheibe eines gleichseitigen Kegels C, ihr
Halbmesser CM, die Seite des Kegels ML, das eingeschrie-
bene Vielekk FHK; CG die Lini/ die aus dem Mittelpunct C
auf die Seite HK senkrecht fället/ LG die Lini/ welche aus der
Spitze des Kegels oder der eingeschriebenen Spitz-Säule auf
HK in G auch senkrecht herunter gezogen ist. So sage ich nun/
CM habe gegen ML eine grössere Verhältnis/ als CG gegen
GL. Dann wann man GN mit ML gleichlauffend macht/ nach
dem 31sten des I. Buchs/ so verhält sich CM gegen ML wie
CG gegen GN, vermög des 2ten im VI. B. CG aber hat ge-
gen GN, nach dem 8ten des V. eine grössere Verhältnis als ge-
gen GL (weil GL grösser ist als GN, aus dem 19den des I. B.)
Derhalben hat auch CM gegen ML eine grössere Verhältnis/ als
CG gegen GL. Welches zu beweisen war.

2. Jm End des Beweises ist geschlossen: Weil das Viel-
ekk umb B gegen der Ekkfläche eine kleinere Verhältnis hat/ als
die Scheibe B gegen der Kegelfläche/ daß die Ekkfläche müsse grös-
ser seyn als die begreiffende Kegelfläche. Solches erhellet also:
[Abbildung] Die Scheibe B ist kleiner als das Vielekk umb B, Krafft obigen IX. Grundsatzes. Darumb
muß nohtwendig die Scheibe B gegen gedachter Ekkfläche eine kleinere Verhältnis haben/ als
das Vielekk umb B, vermög des 8ten im V. B. Weil dann nun die grössere Verhältnis (des
Vielekkes umb B gegen der Ekkfläche) schon kleiner ist/ als die Verhältnis der Scheibe B gegen
der Kegelfläche; so muß umb so viel mehr die kleinere Verhältnis (der Scheibe B gegen dersel-
ben Ekkfläche) kleiner seyn/ als die Verhältnis eben derselben Scheibe B gegen der Kegel-
fläche; und darumb muß/ nach dem 10den des V. die Ekkfläche grösser seyn als die Kegelfläche.

Der XV. Lehrsatz/
Und
Die Zehende Betrachtung.

Eines jeden gleichseitigen Kegels Fläche verhält sich gegen des-

selben

F iij

Von der Kugel und Rund-Seule.

in B kleiner ſeyn als gedachte Ekkflaͤche/ nach dem 10den des V. B. Nun aber
hat/ Kraft obiger Vorbereitung/ das Vielekk umb B gegen dem Vielekk in B
eine kleinere Verhaͤltnis als die Scheibe B gegen der Kegelflaͤche. Darumb muß
das Vielekk umb B gegen der Ekkflaͤche (die da groͤſſer iſt als das Vielekk in B)
umb ſo viel mehr eine kleinere Verhaͤltnis haben/ als die Scheibe B gegen der Ke-
gelflaͤche. Woraus dann folget (vermoͤg des 10den im V. Buch/ und der fol-
genden 2. Anmerkung) daß die eingeſchriebene Ekkflaͤche groͤſſer ſey als die be-
greiffende Kegelflaͤche/ welches abermal ungereimt und wider die erſte Folge des
obigen XII. Lehrſatzes iſt. Kan derowegen die Scheibe B nicht groͤſſer ſeyn als
ofterwehnte Kegelflaͤche. Sie iſt aber auch nicht kleiner/ wie oben erwieſen wor-
den. Derowegen muß ſie ihr nohtwendig gleich ſeyn; Welches ſolte bewieſen
werden.

Anmerkungen.

1. Daß der Halbmeſſer der Grundſcheibe eines gleichſeitigen Kegels gegen der Seite
des Kegels eine groͤſſere Verhaͤltnis habe/ als die Lini/ welche aus dem Mittelpunct der
Grundſcheibe auf eine Seite des eingeſchriebenen Vielekkes ſenkrecht faͤllet gegen der Lini/
welche von der Spitz des Kegels oder der eingeſchriebenen Spitz-Saͤule auf eben dieſelbe Seite
ſenkrecht herunter gezogen iſt (welches Archimedes in ſeinem Beweiß als bekant ſetzet) bewei-
ſen wir aus dem Eutokius kuͤrzlich alſo:

Es ſey die Grundſcheibe eines gleichſeitigen Kegels C, ihr
Halbmeſſer CM, die Seite des Kegels ML, das eingeſchrie-
bene Vielekk FHK; CG die Lini/ die aus dem Mittelpunct C
auf die Seite HK ſenkrecht faͤllet/ LG die Lini/ welche aus der
Spitze des Kegels oder der eingeſchriebenen Spitz-Saͤule auf
HK in G auch ſenkrecht herunter gezogen iſt. So ſage ich nun/
CM habe gegen ML eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als CG gegen
GL. Dann wann man GN mit ML gleichlauffend macht/ nach
dem 31ſten des I. Buchs/ ſo verhaͤlt ſich CM gegen ML wie
CG gegen GN, vermoͤg des 2ten im VI. B. CG aber hat ge-
gen GN, nach dem 8ten des V. eine groͤſſere Verhaͤltnis als ge-
gen GL (weil GL groͤſſer iſt als GN, aus dem 19den des I. B.)
Derhalben hat auch CM gegen ML eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als
CG gegen GL. Welches zu beweiſen war.

2. Jm End des Beweiſes iſt geſchloſſen: Weil das Viel-
ekk umb B gegen der Ekkflaͤche eine kleinere Verhaͤltnis hat/ als
die Scheibe B gegen der Kegelflaͤche/ daß die Ekkflaͤche muͤſſe groͤſ-
ſer ſeyn als die begreiffende Kegelflaͤche. Solches erhellet alſo:
[Abbildung] Die Scheibe B iſt kleiner als das Vielekk umb B, Krafft obigen IX. Grundſatzes. Darumb
muß nohtwendig die Scheibe B gegen gedachter Ekkflaͤche eine kleinere Verhaͤltnis haben/ als
das Vielekk umb B, vermoͤg des 8ten im V. B. Weil dann nun die groͤſſere Verhaͤltnis (des
Vielekkes umb B gegen der Ekkflaͤche) ſchon kleiner iſt/ als die Verhaͤltnis der Scheibe B gegen
der Kegelflaͤche; ſo muß umb ſo viel mehr die kleinere Verhaͤltnis (der Scheibe B gegen derſel-
ben Ekkflaͤche) kleiner ſeyn/ als die Verhaͤltnis eben derſelben Scheibe B gegen der Kegel-
flaͤche; und darumb muß/ nach dem 10den des V. die Ekkflaͤche groͤſſer ſeyn als die Kegelflaͤche.

Der XV. Lehrſatz/
Und
Die Zehende Betrachtung.

Eines jeden gleichſeitigen Kegels Flaͤche verhaͤlt ſich gegen deſ-

ſelben

F iij

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[41/0069] Von der Kugel und Rund-Seule. in B kleiner ſeyn als gedachte Ekkflaͤche/ nach dem 10den des V. B. Nun aber hat/ Kraft obiger Vorbereitung/ das Vielekk umb B gegen dem Vielekk in B eine kleinere Verhaͤltnis als die Scheibe B gegen der Kegelflaͤche. Darumb muß das Vielekk umb B gegen der Ekkflaͤche (die da groͤſſer iſt als das Vielekk in B) umb ſo viel mehr eine kleinere Verhaͤltnis haben/ als die Scheibe B gegen der Ke- gelflaͤche. Woraus dann folget (vermoͤg des 10den im V. Buch/ und der fol- genden 2. Anmerkung) daß die eingeſchriebene Ekkflaͤche groͤſſer ſey als die be- greiffende Kegelflaͤche/ welches abermal ungereimt und wider die erſte Folge des obigen XII. Lehrſatzes iſt. Kan derowegen die Scheibe B nicht groͤſſer ſeyn als ofterwehnte Kegelflaͤche. Sie iſt aber auch nicht kleiner/ wie oben erwieſen wor- den. Derowegen muß ſie ihr nohtwendig gleich ſeyn; Welches ſolte bewieſen werden. Anmerkungen. 1. Daß der Halbmeſſer der Grundſcheibe eines gleichſeitigen Kegels gegen der Seite des Kegels eine groͤſſere Verhaͤltnis habe/ als die Lini/ welche aus dem Mittelpunct der Grundſcheibe auf eine Seite des eingeſchriebenen Vielekkes ſenkrecht faͤllet gegen der Lini/ welche von der Spitz des Kegels oder der eingeſchriebenen Spitz-Saͤule auf eben dieſelbe Seite ſenkrecht herunter gezogen iſt (welches Archimedes in ſeinem Beweiß als bekant ſetzet) bewei- ſen wir aus dem Eutokius kuͤrzlich alſo: Es ſey die Grundſcheibe eines gleichſeitigen Kegels C, ihr Halbmeſſer CM, die Seite des Kegels ML, das eingeſchrie- bene Vielekk FHK; CG die Lini/ die aus dem Mittelpunct C auf die Seite HK ſenkrecht faͤllet/ LG die Lini/ welche aus der Spitze des Kegels oder der eingeſchriebenen Spitz-Saͤule auf HK in G auch ſenkrecht herunter gezogen iſt. So ſage ich nun/ CM habe gegen ML eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als CG gegen GL. Dann wann man GN mit ML gleichlauffend macht/ nach dem 31ſten des I. Buchs/ ſo verhaͤlt ſich CM gegen ML wie CG gegen GN, vermoͤg des 2ten im VI. B. CG aber hat ge- gen GN, nach dem 8ten des V. eine groͤſſere Verhaͤltnis als ge- gen GL (weil GL groͤſſer iſt als GN, aus dem 19den des I. B.) Derhalben hat auch CM gegen ML eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als CG gegen GL. Welches zu beweiſen war. 2. Jm End des Beweiſes iſt geſchloſſen: Weil das Viel- ekk umb B gegen der Ekkflaͤche eine kleinere Verhaͤltnis hat/ als die Scheibe B gegen der Kegelflaͤche/ daß die Ekkflaͤche muͤſſe groͤſ- ſer ſeyn als die begreiffende Kegelflaͤche. Solches erhellet alſo: [Abbildung] Die Scheibe B iſt kleiner als das Vielekk umb B, Krafft obigen IX. Grundſatzes. Darumb muß nohtwendig die Scheibe B gegen gedachter Ekkflaͤche eine kleinere Verhaͤltnis haben/ als das Vielekk umb B, vermoͤg des 8ten im V. B. Weil dann nun die groͤſſere Verhaͤltnis (des Vielekkes umb B gegen der Ekkflaͤche) ſchon kleiner iſt/ als die Verhaͤltnis der Scheibe B gegen der Kegelflaͤche; ſo muß umb ſo viel mehr die kleinere Verhaͤltnis (der Scheibe B gegen derſel- ben Ekkflaͤche) kleiner ſeyn/ als die Verhaͤltnis eben derſelben Scheibe B gegen der Kegel- flaͤche; und darumb muß/ nach dem 10den des V. die Ekkflaͤche groͤſſer ſeyn als die Kegelflaͤche. Der XV. Lehrſatz/ Und Die Zehende Betrachtung. Eines jeden gleichſeitigen Kegels Flaͤche verhaͤlt ſich gegen deſ- ſelben F iij

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Zitationshilfe:	Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 41. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/69>, abgerufen am 07.05.2024.

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