Anmelden (DTAQ)

DWDS dlexDB CLARIN-D

Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

Bild:

<< vorherige Seite

nächste Seite >>

Archimedis Erstes Buch

daß die Zahlen also stehen/ 1/ 5/ 25) wie kan die Verhältnis 1 gegen 25 zweymal so groß
seyn als die Verhältnis 1 gegen 5/ sintemal aus dem 8ten des V. Buchs erhellet/ daß vielmehr
umbgekehret 1 gegen 5 eine grössere Verhältnis habe/ als gegen 25? Und dannoch wird
die Verhältnis 1 gegen 25 gedoppelt oder zweyfach genennet in Ansehung der Verhältnis 1
gegen 5; nehmlich keines weges der Meinung/ als ob jene zweymal so groß wäre als diese/ son-
dern weil diese zweymal innerhalb dieser begriffen ist/ wie oben erkläret worden: Also/ daß obi-
ges aus diesem Grund nicht so leichtlich erhellet/ wie es anfänglich scheinet/ sondern (damit
nichts zweifelhaftiges zu rukk bleibe) beweisens wol bedürftig ist.

[Abbildung]

David Rivalt de Flurance beweiset es gar leicht
mit Beyhülf beygesetzter/ von uns etwas weniges ge-
änderter/ und näher auf unser Fürhaben gezogener/
Figur: Es seyen C und D die zwey ungleiche Lineen/
und G die mittlere gleichverhaltende darzwischen/ al-
so daß/ wie C gegen G, also G gegen D sich verhalte/
aus dem 13den des VI. B. Soll nun bewiesen wer-
den/ daß die einfache Verhältnis des C gegen G klei-
ner sey als die gedoppelte eben desselben C gegen D.
Solches geschihet also: Weil C grösser ist als D, vermög obiger Auflösung/ so kan der
Punct/ in welchem die drey Lineen zusamm kommen/ nicht der Mittelpunct seyn/ sondern die-
ser muß weiter hinein auf die Lini C fallen; und deswegen ist C die grösseste Lini/ D die kleineste/
G aber also grösser als D, nach der 7den des III. Buchs. Derowegen muß nohtwendig C
gegen der grössern G eine kleinere Verhältnis haben/ als gegen D der kleinern/ vermög des
8ten im V. Buch. Welches zu beweisen war.

Ob nun schon dieser Beweiß zu gegenwärtigem Fürhaben/ allwo eben von Lineen allein
geredet wird/ ganz genugsam ist/ so wollen wir dannoch Lusts und Ubung halben (weil nicht
allein dieser/ sondern auch alle andere Lehrsätze von denen gleichverhaltenden Dingen [de pro-
portionalibus] es seyen hernach gleich Lineen/ oder Zahlen/ oder Zeiten/ oder Gewichte/ etc.
allgemein sind/ und deßwegen auch einen allgemeinen Beweiß erfordern) denselben allgemein
machen/ und von Lineen/ Zahlen/ Gewichten/ und was sonsten Messens fähig ist/ auf einmal
beweisen/ daß/ wann drey gleichverhaltende Dinge/ C, G, D, sind/ und das erste grösser ist als
das lezt/ allezeit das erste C gegen dem mittlern gleichverhaltenden G eine kleinere Verhältnis
habe/ als gegen dem lezten D. Der ganze Schluß ruhet/ wie oben gesehen/ darauf/ daß in
solchem Fall G allezeit grösser sey als D, welches also bewiesen wird: Wann G nicht grösser ist
als D, so muß es entweder demselben gleich oder kleiner seyn. Jst es ihm gleich/ und G ver-
hält sich gegen D, wie C gegen G, nach obigem Satz/ so müssen C und G, und folgends C
und D (als die beyde dem dritten/ D, gleich sind) auch einander gleich seyn/ welches die Ver-
nunft lehret/ aber zugleich wider den ersten Satz (hypothesin) ist. Jst dann G kleiner als D,
so muß auch nohtwendig (weil C gegen G sich eben so verhält/ wie G gegen D) auch C kleiner
seyn als G, und umb so viel mehr auch kleiner als D; welches abermals wider den ersten Satz lauf-
fet und ungereimt ist. Folget derowegen/ daß G grösser sey als D, und also C gegen G eine klei-
nere Verhältnis habe/ als gegen D.

2. Ferner ist in obigem Beweiß als gewiß gesetzet worden/ daß/ wann eine einfache Ver-
hältnis kleiner ist als eine andere einfache/ auch jener gedoppelte kleiner sey/ als diese gedoppelte.
Zum Exempel/ 1/ 5/ 25/ sind gleichverhaltende Zahlen/ wie nicht weniger diese/ 1/ 2/ 4; Wie
nun dorten die Verhältnis 1 gegen 25 gedoppelt genennet wird in Ansehung der Verhältnis 1
gegen 5; also wird auch hier die Verhältnis 1 gegen 4 gedoppelt genennet in Ansehung der ein-
fachen Verhältnis 1 gegen 2. Nun wird als gewiß gesetzet/ daß/ wann die einfache Verhältnis
1 gegen 5 kleiner ist als die andere einfache 1 gegen 2/ alsdann auch die gedoppelte/ 1 gegen 25
kleiner sey als die andere gedoppelte/ 1 gegen 4. Nun ist zwar in diesen Zahlen die Sach offenbar
und für Augen. Damit aber klar werde/ daß es allezeit und in allen messens-fähigen Dingen
angehe/ muß ein allgemeiner Beweiß gegeben werden.

Obangezogener David Rivalt de Flurance beruffet sich in diesem Fall mit zwey Worten
auf den 15 den Lehrsatz des V. Buchs Euclidis; aus welchem aber dieses keines weges folget/ es
sey dann/ daß er/ nicht ohne sonderbaren Jrrthumb/ durch die gedoppelte Verhältnis (duplica-
tam) eben eine zweymal - so grosse (duplam) verstehe/ wie er dann ohne Zweiffel verstehet/ weil

er aus-

Archimedis Erſtes Buch

daß die Zahlen alſo ſtehen/ 1/ 5/ 25) wie kan die Verhaͤltnis 1 gegen 25 zweymal ſo groß
ſeyn als die Verhaͤltnis 1 gegen 5/ ſintemal aus dem 8ten des V. Buchs erhellet/ daß vielmehr
umbgekehret 1 gegen 5 eine groͤſſere Verhaͤltnis habe/ als gegen 25? Und dannoch wird
die Verhaͤltnis 1 gegen 25 gedoppelt oder zweyfach genennet in Anſehung der Verhaͤltnis 1
gegen 5; nehmlich keines weges der Meinung/ als ob jene zweymal ſo groß waͤre als dieſe/ ſon-
dern weil dieſe zweymal innerhalb dieſer begriffen iſt/ wie oben erklaͤret worden: Alſo/ daß obi-
ges aus dieſem Grund nicht ſo leichtlich erhellet/ wie es anfaͤnglich ſcheinet/ ſondern (damit
nichts zweifelhaftiges zu rukk bleibe) beweiſens wol beduͤrftig iſt.

[Abbildung]

David Rivalt de Flurance beweiſet es gar leicht
mit Beyhuͤlf beygeſetzter/ von uns etwas weniges ge-
aͤnderter/ und naͤher auf unſer Fuͤrhaben gezogener/
Figur: Es ſeyen C und D die zwey ungleiche Lineen/
und G die mittlere gleichverhaltende darzwiſchen/ al-
ſo daß/ wie C gegen G, alſo G gegen D ſich verhalte/
aus dem 13den des VI. B. Soll nun bewieſen wer-
den/ daß die einfache Verhaͤltnis des C gegen G klei-
ner ſey als die gedoppelte eben deſſelben C gegen D.
Solches geſchihet alſo: Weil C groͤſſer iſt als D, vermoͤg obiger Aufloͤſung/ ſo kan der
Punct/ in welchem die drey Lineen zuſamm kommen/ nicht der Mittelpunct ſeyn/ ſondern die-
ſer muß weiter hinein auf die Lini C fallen; und deswegen iſt C die groͤſſeſte Lini/ D die kleineſte/
G aber alſo groͤſſer als D, nach der 7den des III. Buchs. Derowegen muß nohtwendig C
gegen der groͤſſern G eine kleinere Verhaͤltnis haben/ als gegen D der kleinern/ vermoͤg des
8ten im V. Buch. Welches zu beweiſen war.

Ob nun ſchon dieſer Beweiß zu gegenwaͤrtigem Fuͤrhaben/ allwo eben von Lineen allein
geredet wird/ ganz genugſam iſt/ ſo wollen wir dannoch Luſts und Ubung halben (weil nicht
allein dieſer/ ſondern auch alle andere Lehrſaͤtze von denen gleichverhaltenden Dingen [de pro-
portionalibus] es ſeyen hernach gleich Lineen/ oder Zahlen/ oder Zeiten/ oder Gewichte/ ꝛc.
allgemein ſind/ und deßwegen auch einen allgemeinen Beweiß erfordern) denſelben allgemein
machen/ und von Lineen/ Zahlen/ Gewichten/ und was ſonſten Meſſens faͤhig iſt/ auf einmal
beweiſen/ daß/ wann drey gleichverhaltende Dinge/ C, G, D, ſind/ und das erſte groͤſſer iſt als
das lezt/ allezeit das erſte C gegen dem mittlern gleichverhaltenden G eine kleinere Verhaͤltnis
habe/ als gegen dem lezten D. Der ganze Schluß ruhet/ wie oben geſehen/ darauf/ daß in
ſolchem Fall G allezeit groͤſſer ſey als D, welches alſo bewieſen wird: Wann G nicht groͤſſer iſt
als D, ſo muß es entweder demſelben gleich oder kleiner ſeyn. Jſt es ihm gleich/ und G ver-
haͤlt ſich gegen D, wie C gegen G, nach obigem Satz/ ſo muͤſſen C und G, und folgends C
und D (als die beyde dem dritten/ D, gleich ſind) auch einander gleich ſeyn/ welches die Ver-
nunft lehret/ aber zugleich wider den erſten Satz (hypotheſin) iſt. Jſt dann G kleiner als D,
ſo muß auch nohtwendig (weil C gegen G ſich eben ſo verhaͤlt/ wie G gegen D) auch C kleiner
ſeyn als G, und umb ſo viel mehr auch kleiner als D; welches abermals wider den erſten Satz lauf-
fet und ungereimt iſt. Folget derowegen/ daß G groͤſſer ſey als D, und alſo C gegen G eine klei-
nere Verhaͤltnis habe/ als gegen D.

2. Ferner iſt in obigem Beweiß als gewiß geſetzet worden/ daß/ wann eine einfache Ver-
haͤltnis kleiner iſt als eine andere einfache/ auch jener gedoppelte kleiner ſey/ als dieſe gedoppelte.
Zum Exempel/ 1/ 5/ 25/ ſind gleichverhaltende Zahlen/ wie nicht weniger dieſe/ 1/ 2/ 4; Wie
nun dorten die Verhaͤltnis 1 gegen 25 gedoppelt genennet wird in Anſehung der Verhaͤltnis 1
gegen 5; alſo wird auch hier die Verhaͤltnis 1 gegen 4 gedoppelt genennet in Anſehung der ein-
fachen Verhaͤltnis 1 gegen 2. Nun wird als gewiß geſetzet/ daß/ wann die einfache Verhaͤltnis
1 gegen 5 kleiner iſt als die andere einfache 1 gegen 2/ alsdann auch die gedoppelte/ 1 gegen 25
kleiner ſey als die andere gedoppelte/ 1 gegen 4. Nun iſt zwar in dieſen Zahlen die Sach offenbar
und fuͤr Augen. Damit aber klar werde/ daß es allezeit und in allen meſſens-faͤhigen Dingen
angehe/ muß ein allgemeiner Beweiß gegeben werden.

Obangezogener David Rivalt de Flurance beruffet ſich in dieſem Fall mit zwey Worten
auf den 15 den Lehrſatz des V. Buchs Euclidis; aus welchem aber dieſes keines weges folget/ es
ſey dann/ daß er/ nicht ohne ſonderbaren Jrꝛthumb/ durch die gedoppelte Verhaͤltnis (duplica-
tam) eben eine zweymal - ſo groſſe (duplam) verſtehe/ wie er dann ohne Zweiffel verſtehet/ weil

er aus-

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <div n="3">
            <p><pb facs="#f0046" n="18"/><fw place="top" type="header"><hi rendition="#b">Archimedis Er&#x017F;tes Buch</hi></fw><lb/>
daß die Zahlen al&#x017F;o &#x017F;tehen/ 1/ 5/ 25) wie kan die Verha&#x0364;ltnis 1 gegen 25 zweymal &#x017F;o groß<lb/>
&#x017F;eyn als die Verha&#x0364;ltnis 1 gegen 5/ &#x017F;intemal aus dem 8ten des <hi rendition="#aq">V.</hi> Buchs erhellet/ daß vielmehr<lb/>
umbgekehret 1 gegen 5 eine gro&#x0364;&#x017F;&#x017F;ere Verha&#x0364;ltnis habe/ als gegen 25? Und dannoch wird<lb/>
die Verha&#x0364;ltnis 1 gegen 25 gedoppelt oder zweyfach genennet in An&#x017F;ehung der Verha&#x0364;ltnis 1<lb/>
gegen 5; nehmlich keines weges der Meinung/ als ob jene zweymal &#x017F;o groß wa&#x0364;re als die&#x017F;e/ &#x017F;on-<lb/>
dern weil die&#x017F;e zweymal innerhalb die&#x017F;er begriffen i&#x017F;t/ wie oben erkla&#x0364;ret worden: Al&#x017F;o/ daß obi-<lb/>
ges aus die&#x017F;em Grund nicht &#x017F;o leichtlich erhellet/ wie es anfa&#x0364;nglich &#x017F;cheinet/ &#x017F;ondern (damit<lb/>
nichts zweifelhaftiges zu rukk bleibe) bewei&#x017F;ens wol bedu&#x0364;rftig i&#x017F;t.</p><lb/>
            <figure/>
            <p><hi rendition="#aq">David Rivalt de Flurance</hi> bewei&#x017F;et es gar leicht<lb/>
mit Beyhu&#x0364;lf beyge&#x017F;etzter/ von uns etwas weniges ge-<lb/>
a&#x0364;nderter/ und na&#x0364;her auf un&#x017F;er Fu&#x0364;rhaben gezogener/<lb/>
Figur: Es &#x017F;eyen <hi rendition="#aq">C</hi> und <hi rendition="#aq">D</hi> die zwey ungleiche Lineen/<lb/>
und <hi rendition="#aq">G</hi> die mittlere gleichverhaltende darzwi&#x017F;chen/ al-<lb/>
&#x017F;o daß/ wie <hi rendition="#aq">C</hi> gegen <hi rendition="#aq">G,</hi> al&#x017F;o <hi rendition="#aq">G</hi> gegen <hi rendition="#aq">D</hi> &#x017F;ich verhalte/<lb/><hi rendition="#fr">aus dem 13den des</hi> <hi rendition="#aq">VI.</hi> <hi rendition="#fr">B.</hi> Soll nun bewie&#x017F;en wer-<lb/>
den/ daß die einfache Verha&#x0364;ltnis des <hi rendition="#aq">C</hi> gegen <hi rendition="#aq">G</hi> klei-<lb/>
ner &#x017F;ey als die gedoppelte eben de&#x017F;&#x017F;elben <hi rendition="#aq">C</hi> gegen <hi rendition="#aq">D.</hi><lb/>
Solches ge&#x017F;chihet al&#x017F;o: Weil <hi rendition="#aq">C</hi> gro&#x0364;&#x017F;&#x017F;er i&#x017F;t als <hi rendition="#aq">D,</hi> <hi rendition="#fr">vermo&#x0364;g obiger Auflo&#x0364;&#x017F;ung/</hi> &#x017F;o kan der<lb/>
Punct/ in welchem die drey Lineen zu&#x017F;amm kommen/ nicht der Mittelpunct &#x017F;eyn/ &#x017F;ondern die-<lb/>
&#x017F;er muß weiter hinein auf die Lini <hi rendition="#aq">C</hi> fallen; und deswegen i&#x017F;t <hi rendition="#aq">C</hi> die gro&#x0364;&#x017F;&#x017F;e&#x017F;te Lini/ <hi rendition="#aq">D</hi> die kleine&#x017F;te/<lb/><hi rendition="#aq">G</hi> aber al&#x017F;o gro&#x0364;&#x017F;&#x017F;er als <hi rendition="#aq">D,</hi> <hi rendition="#fr">nach der 7den des</hi> <hi rendition="#aq">III.</hi> <hi rendition="#fr">Buchs.</hi> Derowegen muß nohtwendig <hi rendition="#aq">C</hi><lb/>
gegen der gro&#x0364;&#x017F;&#x017F;ern <hi rendition="#aq">G</hi> eine kleinere Verha&#x0364;ltnis haben/ als gegen <hi rendition="#aq">D</hi> der kleinern/ <hi rendition="#fr">vermo&#x0364;g des<lb/>
8ten im</hi> <hi rendition="#aq">V.</hi> <hi rendition="#fr">Buch.</hi> Welches zu bewei&#x017F;en war.</p><lb/>
            <p>Ob nun &#x017F;chon die&#x017F;er Beweiß zu gegenwa&#x0364;rtigem Fu&#x0364;rhaben/ allwo eben von Lineen allein<lb/>
geredet wird/ ganz genug&#x017F;am i&#x017F;t/ &#x017F;o wollen wir dannoch Lu&#x017F;ts und Ubung halben (weil nicht<lb/>
allein die&#x017F;er/ &#x017F;ondern auch alle andere Lehr&#x017F;a&#x0364;tze von denen gleichverhaltenden Dingen <hi rendition="#aq">[de pro-<lb/>
portionalibus]</hi> es &#x017F;eyen hernach gleich Lineen/ oder Zahlen/ oder Zeiten/ oder Gewichte/ &#xA75B;c.<lb/>
allgemein &#x017F;ind/ und deßwegen auch einen allgemeinen Beweiß erfordern) den&#x017F;elben allgemein<lb/>
machen/ und von Lineen/ Zahlen/ Gewichten/ und was &#x017F;on&#x017F;ten Me&#x017F;&#x017F;ens fa&#x0364;hig i&#x017F;t/ auf einmal<lb/>
bewei&#x017F;en/ daß/ wann drey gleichverhaltende Dinge/ <hi rendition="#aq">C, G, D,</hi> &#x017F;ind/ und das er&#x017F;te gro&#x0364;&#x017F;&#x017F;er i&#x017F;t als<lb/>
das lezt/ allezeit das er&#x017F;te <hi rendition="#aq">C</hi> gegen dem mittlern gleichverhaltenden <hi rendition="#aq">G</hi> eine kleinere Verha&#x0364;ltnis<lb/>
habe/ als gegen dem lezten <hi rendition="#aq">D.</hi> Der ganze Schluß ruhet/ wie oben ge&#x017F;ehen/ darauf/ daß in<lb/>
&#x017F;olchem Fall <hi rendition="#aq">G</hi> allezeit gro&#x0364;&#x017F;&#x017F;er &#x017F;ey als <hi rendition="#aq">D,</hi> welches al&#x017F;o bewie&#x017F;en wird: Wann <hi rendition="#aq">G</hi> nicht gro&#x0364;&#x017F;&#x017F;er i&#x017F;t<lb/>
als <hi rendition="#aq">D,</hi> &#x017F;o muß es entweder dem&#x017F;elben gleich oder kleiner &#x017F;eyn. J&#x017F;t es ihm gleich/ und <hi rendition="#aq">G</hi> ver-<lb/>
ha&#x0364;lt &#x017F;ich gegen <hi rendition="#aq">D,</hi> wie <hi rendition="#aq">C</hi> gegen <hi rendition="#aq">G,</hi> <hi rendition="#fr">nach obigem Satz/</hi> &#x017F;o mu&#x0364;&#x017F;&#x017F;en <hi rendition="#aq">C</hi> und <hi rendition="#aq">G,</hi> und folgends <hi rendition="#aq">C</hi><lb/>
und <hi rendition="#aq">D</hi> (als die beyde dem dritten/ <hi rendition="#aq">D,</hi> gleich &#x017F;ind) auch einander gleich &#x017F;eyn/ welches die Ver-<lb/>
nunft lehret/ aber zugleich wider den er&#x017F;ten Satz (<hi rendition="#aq">hypothe&#x017F;in</hi>) i&#x017F;t. J&#x017F;t dann <hi rendition="#aq">G</hi> kleiner als <hi rendition="#aq">D,</hi><lb/>
&#x017F;o muß auch nohtwendig (weil <hi rendition="#aq">C</hi> gegen <hi rendition="#aq">G</hi> &#x017F;ich eben &#x017F;o verha&#x0364;lt/ wie <hi rendition="#aq">G</hi> gegen <hi rendition="#aq">D</hi>) auch <hi rendition="#aq">C</hi> kleiner<lb/>
&#x017F;eyn als <hi rendition="#aq">G,</hi> und umb &#x017F;o viel mehr auch kleiner als <hi rendition="#aq">D;</hi> welches abermals wider den er&#x017F;ten Satz lauf-<lb/>
fet und ungereimt i&#x017F;t. Folget derowegen/ daß <hi rendition="#aq">G</hi> gro&#x0364;&#x017F;&#x017F;er &#x017F;ey als <hi rendition="#aq">D,</hi> und al&#x017F;o <hi rendition="#aq">C</hi> gegen <hi rendition="#aq">G</hi> eine klei-<lb/>
nere Verha&#x0364;ltnis habe/ als gegen <hi rendition="#aq">D.</hi></p><lb/>
            <p>2. Ferner i&#x017F;t in obigem Beweiß als gewiß ge&#x017F;etzet worden/ daß/ wann eine einfache Ver-<lb/>
ha&#x0364;ltnis kleiner i&#x017F;t als eine andere einfache/ auch jener gedoppelte kleiner &#x017F;ey/ als die&#x017F;e gedoppelte.<lb/>
Zum Exempel/ 1/ 5/ 25/ &#x017F;ind gleichverhaltende Zahlen/ wie nicht weniger die&#x017F;e/ 1/ 2/ 4; Wie<lb/>
nun dorten die Verha&#x0364;ltnis 1 gegen 25 gedoppelt genennet wird in An&#x017F;ehung der Verha&#x0364;ltnis 1<lb/>
gegen 5; al&#x017F;o wird auch hier die Verha&#x0364;ltnis 1 gegen 4 gedoppelt genennet in An&#x017F;ehung der ein-<lb/>
fachen Verha&#x0364;ltnis 1 gegen 2. Nun wird als gewiß ge&#x017F;etzet/ daß/ wann die einfache Verha&#x0364;ltnis<lb/>
1 gegen 5 kleiner i&#x017F;t als die andere einfache 1 gegen 2/ alsdann auch die gedoppelte/ 1 gegen 25<lb/>
kleiner &#x017F;ey als die andere gedoppelte/ 1 gegen 4. Nun i&#x017F;t zwar in die&#x017F;en Zahlen die Sach offenbar<lb/>
und fu&#x0364;r Augen. Damit aber klar werde/ daß es allezeit und in allen me&#x017F;&#x017F;ens-fa&#x0364;higen Dingen<lb/>
angehe/ muß ein allgemeiner Beweiß gegeben werden.</p><lb/>
            <p>Obangezogener <hi rendition="#aq">David Rivalt de Flurance</hi> beruffet &#x017F;ich in die&#x017F;em Fall mit zwey Worten<lb/>
auf den 15 den Lehr&#x017F;atz des <hi rendition="#aq">V.</hi> Buchs <hi rendition="#fr">Euclidis;</hi> aus welchem aber die&#x017F;es keines weges folget/ es<lb/>
&#x017F;ey dann/ daß er/ nicht ohne &#x017F;onderbaren Jr&#xA75B;thumb/ durch die gedoppelte Verha&#x0364;ltnis (<hi rendition="#aq">duplica-<lb/>
tam</hi>) eben eine zweymal - &#x017F;o gro&#x017F;&#x017F;e (<hi rendition="#aq">duplam</hi>) ver&#x017F;tehe/ wie er dann ohne Zweiffel ver&#x017F;tehet/ weil<lb/>
<fw place="bottom" type="catch">er aus-</fw><lb/></p>
          </div>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>

[18/0046] Archimedis Erſtes Buch daß die Zahlen alſo ſtehen/ 1/ 5/ 25) wie kan die Verhaͤltnis 1 gegen 25 zweymal ſo groß ſeyn als die Verhaͤltnis 1 gegen 5/ ſintemal aus dem 8ten des V. Buchs erhellet/ daß vielmehr umbgekehret 1 gegen 5 eine groͤſſere Verhaͤltnis habe/ als gegen 25? Und dannoch wird die Verhaͤltnis 1 gegen 25 gedoppelt oder zweyfach genennet in Anſehung der Verhaͤltnis 1 gegen 5; nehmlich keines weges der Meinung/ als ob jene zweymal ſo groß waͤre als dieſe/ ſon- dern weil dieſe zweymal innerhalb dieſer begriffen iſt/ wie oben erklaͤret worden: Alſo/ daß obi- ges aus dieſem Grund nicht ſo leichtlich erhellet/ wie es anfaͤnglich ſcheinet/ ſondern (damit nichts zweifelhaftiges zu rukk bleibe) beweiſens wol beduͤrftig iſt. [Abbildung] David Rivalt de Flurance beweiſet es gar leicht mit Beyhuͤlf beygeſetzter/ von uns etwas weniges ge- aͤnderter/ und naͤher auf unſer Fuͤrhaben gezogener/ Figur: Es ſeyen C und D die zwey ungleiche Lineen/ und G die mittlere gleichverhaltende darzwiſchen/ al- ſo daß/ wie C gegen G, alſo G gegen D ſich verhalte/ aus dem 13den des VI. B. Soll nun bewieſen wer- den/ daß die einfache Verhaͤltnis des C gegen G klei- ner ſey als die gedoppelte eben deſſelben C gegen D. Solches geſchihet alſo: Weil C groͤſſer iſt als D, vermoͤg obiger Aufloͤſung/ ſo kan der Punct/ in welchem die drey Lineen zuſamm kommen/ nicht der Mittelpunct ſeyn/ ſondern die- ſer muß weiter hinein auf die Lini C fallen; und deswegen iſt C die groͤſſeſte Lini/ D die kleineſte/ G aber alſo groͤſſer als D, nach der 7den des III. Buchs. Derowegen muß nohtwendig C gegen der groͤſſern G eine kleinere Verhaͤltnis haben/ als gegen D der kleinern/ vermoͤg des 8ten im V. Buch. Welches zu beweiſen war. Ob nun ſchon dieſer Beweiß zu gegenwaͤrtigem Fuͤrhaben/ allwo eben von Lineen allein geredet wird/ ganz genugſam iſt/ ſo wollen wir dannoch Luſts und Ubung halben (weil nicht allein dieſer/ ſondern auch alle andere Lehrſaͤtze von denen gleichverhaltenden Dingen [de pro- portionalibus] es ſeyen hernach gleich Lineen/ oder Zahlen/ oder Zeiten/ oder Gewichte/ ꝛc. allgemein ſind/ und deßwegen auch einen allgemeinen Beweiß erfordern) denſelben allgemein machen/ und von Lineen/ Zahlen/ Gewichten/ und was ſonſten Meſſens faͤhig iſt/ auf einmal beweiſen/ daß/ wann drey gleichverhaltende Dinge/ C, G, D, ſind/ und das erſte groͤſſer iſt als das lezt/ allezeit das erſte C gegen dem mittlern gleichverhaltenden G eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als gegen dem lezten D. Der ganze Schluß ruhet/ wie oben geſehen/ darauf/ daß in ſolchem Fall G allezeit groͤſſer ſey als D, welches alſo bewieſen wird: Wann G nicht groͤſſer iſt als D, ſo muß es entweder demſelben gleich oder kleiner ſeyn. Jſt es ihm gleich/ und G ver- haͤlt ſich gegen D, wie C gegen G, nach obigem Satz/ ſo muͤſſen C und G, und folgends C und D (als die beyde dem dritten/ D, gleich ſind) auch einander gleich ſeyn/ welches die Ver- nunft lehret/ aber zugleich wider den erſten Satz (hypotheſin) iſt. Jſt dann G kleiner als D, ſo muß auch nohtwendig (weil C gegen G ſich eben ſo verhaͤlt/ wie G gegen D) auch C kleiner ſeyn als G, und umb ſo viel mehr auch kleiner als D; welches abermals wider den erſten Satz lauf- fet und ungereimt iſt. Folget derowegen/ daß G groͤſſer ſey als D, und alſo C gegen G eine klei- nere Verhaͤltnis habe/ als gegen D. 2. Ferner iſt in obigem Beweiß als gewiß geſetzet worden/ daß/ wann eine einfache Ver- haͤltnis kleiner iſt als eine andere einfache/ auch jener gedoppelte kleiner ſey/ als dieſe gedoppelte. Zum Exempel/ 1/ 5/ 25/ ſind gleichverhaltende Zahlen/ wie nicht weniger dieſe/ 1/ 2/ 4; Wie nun dorten die Verhaͤltnis 1 gegen 25 gedoppelt genennet wird in Anſehung der Verhaͤltnis 1 gegen 5; alſo wird auch hier die Verhaͤltnis 1 gegen 4 gedoppelt genennet in Anſehung der ein- fachen Verhaͤltnis 1 gegen 2. Nun wird als gewiß geſetzet/ daß/ wann die einfache Verhaͤltnis 1 gegen 5 kleiner iſt als die andere einfache 1 gegen 2/ alsdann auch die gedoppelte/ 1 gegen 25 kleiner ſey als die andere gedoppelte/ 1 gegen 4. Nun iſt zwar in dieſen Zahlen die Sach offenbar und fuͤr Augen. Damit aber klar werde/ daß es allezeit und in allen meſſens-faͤhigen Dingen angehe/ muß ein allgemeiner Beweiß gegeben werden. Obangezogener David Rivalt de Flurance beruffet ſich in dieſem Fall mit zwey Worten auf den 15 den Lehrſatz des V. Buchs Euclidis; aus welchem aber dieſes keines weges folget/ es ſey dann/ daß er/ nicht ohne ſonderbaren Jrꝛthumb/ durch die gedoppelte Verhaͤltnis (duplica- tam) eben eine zweymal - ſo groſſe (duplam) verſtehe/ wie er dann ohne Zweiffel verſtehet/ weil er aus-

Suche im Werk

Informationen zum Werk

Titeldaten
Verfügbarkeit Text (TEI-XML-, HTML-, TCF-, E-Book-Fassung): CC BY-SA 4.0.
Nutzungsbedingungen

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ^?

Language Resource Switchboard^?

Resource/URL übermitteln

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.

Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk:	https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670
URL zu dieser Seite:	https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/46
Zitationshilfe:	Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 18. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/46>, abgerufen am 23.11.2024.

Alle Inhalte dieser Seite unterstehen, soweit nicht anders gekennzeichnet, einer Creative-Commons-Lizenz. Die Rechte an den angezeigten Bilddigitalisaten, soweit nicht anders gekennzeichnet, liegen bei den besitzenden Bibliotheken. Weitere Informationen finden Sie in den DTA-Nutzungsbedingungen.

Insbesondere im Hinblick auf die §§ 86a StGB und 130 StGB wird festgestellt, dass die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte weder in irgendeiner Form propagandistischen Zwecken dienen, oder Werbung für verbotene Organisationen oder Vereinigungen darstellen, oder nationalsozialistische Verbrechen leugnen oder verharmlosen, noch zum Zwecke der Herabwürdigung der Menschenwürde gezeigt werden. Die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte (in Wort und Bild) dienen im Sinne des § 86 StGB Abs. 3 ausschließlich historischen, sozial- oder kulturwissenschaftlichen Forschungszwecken. Ihre Veröffentlichung erfolgt in der Absicht, Wissen zur Anregung der intellektuellen Selbstständigkeit und Verantwortungsbereitschaft des Staatsbürgers zu vermitteln und damit der Förderung seiner Mündigkeit zu dienen.

2007–2024 Deutsches Textarchiv, Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften. Kontakt: redaktion(at)deutschestextarchiv.de.

Zitierempfehlung: Deutsches Textarchiv. Grundlage für ein Referenzkorpus der neuhochdeutschen Sprache. Herausgegeben von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, Berlin 2024. URL: https://www.deutschestextarchiv.de/.