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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Von der Kugel und Rund-Seule.
er ausdrükklich das Wort dupla für duplicata gebrauchet/ wider Euclidis Meinung/ als wir
oben gewiesen/ und Clavius in seinen Anmerkungen weitläuffig erinnert.

Wir wollen demnach die Sache gründlicher aus dem 31sten Lehrsatz des gemeldten V.
Buchs also erweisen: An statt obiger Zahlen und aller andern messens-fähigen Dinge seyen auf
einer Seite A, B, C; auf der andern D, E, F, und zwar also/ daß so wol dorten A gegen B,
wie B gegen C; als hier D gegen E, wie E gegen F sich verhalte; und folgends A gegen C
dorten/ hier D gegen F die gedoppelte Verhältnissen seyen. So nun gesetzt wird/ daß A
gegen B eine kleinere Verhältnis habe/ als D gegen E, so sage ich/ A habe gegen C auch eine
kleinere Verhältnis/ als D gegen F. Dann weil A gegen B eine kleinere Verhältnis hat/
als D gegen E, oder/ welches gleich viel ist/ D gegen E eine grössere Verhältnis/ als A gegen
B; B aber gegen C sich eben verhält wie A gegen B, und E gegen F wie D gegen E, Krafft obi-
gen Satzes/ so wird auch E gegen F eine grössere Verhältnis haben als B gegen C, und fol-
gends auch/ vermög obangezogenen 31sten des V. Buchs/ D gegen F eine grössere Ver-
hältnis als A gegen C; oder/ welches gleich viel ist/ A gegen C eine kleinere/ als D gegen F.
Welches hat sollen bewiesen werden.

Die Erste Folge.

Gleicher gestalt können wir beweisen/ daß innerhalb eines
Kreißstükkes ein Vielekk/ und ein anders diesem ähnliches/ ausser-
halb umb dasselbe beschrieben werden könne/ also daß das äussere
gegen dem innern eine kleinere Verhältnis habe/ als die grösseste
zweyer gegebenen Grössen gegen der kleinern.

Anmerkung.

Der Beweiß ist eben der vorhergehende in allen Stükken/ nur daß/ was dorten von dem
ganzen Kreiß gesagt worden/ hier auf ein gegebenes Stükk desselben gezogen werde; also daß
unnöhtig ist/ obiges hier zu widerholen.

Die Andere Folge.

Hieraus ist auch dieses offenbar/ daß/ wann ein Kreiß oder
Kreiß-Stükk/ und darbeneben eine gewisse Fläche/ gegeben ist/
man innerhalb desselben Kreisses oder Kreißstükkes allerhand gleich-
seitige Vielekke beschreiben könne/ immer von mehrern und meh-
rern Seiten/ so lang und viel/ biß die übrige Abschnitte des Kreis-
ses oder Kreißstükkes miteinander kleiner seyen als die gegebene
Fläche. Dann dieses ist schon in denen Anfangs-Büchern (Ele-
mentis Euclidis) gelehret worden.

Anmerkung.

Dieses ist zwar ausdrükklich in denen Büchern Euclidis
nicht zu finden/ kan aber/ wie David Rivalt de Flurance erin-
nert/ aus dem Ersten des 10den Buchs leichtlich erwiesen wer-
den. Dann daselbsten ist klar gemacht/ daß/ wann man von
der grössesten/ zweyer gegebenen Grössen/ mehr als die Helfte
wegnimbt/ von dem Rest wieder mehr als die Helfte/ und so
fortan/ dieselbe endlich kleiner werden müsse/ als die kleineste
aus denen zweyen gegebenen Grössen. Wann nun/ zum Exem-
pel/ ein Sechsekk innerhalb eines Kreisses beschrieben/ und die
sechs Abschnitte des Kreisses zusammen genommen/ noch grös-
[Abbildung] ser wären/ als eine gegebene Fläche (zum Exempel B in der Figur des folgenden Lehrsatzes) so

kan

Von der Kugel und Rund-Seule.
er ausdruͤkklich das Wort dupla fuͤr duplicata gebrauchet/ wider Euclidis Meinung/ als wir
oben gewieſen/ und Clavius in ſeinen Anmerkungen weitlaͤuffig erinnert.

Wir wollen demnach die Sache gruͤndlicher aus dem 31ſten Lehrſatz des gemeldten V.
Buchs alſo erweiſen: An ſtatt obiger Zahlen und aller andern meſſens-faͤhigen Dinge ſeyen auf
einer Seite A, B, C; auf der andern D, E, F, und zwar alſo/ daß ſo wol dorten A gegen B,
wie B gegen C; als hier D gegen E, wie E gegen F ſich verhalte; und folgends A gegen C
dorten/ hier D gegen F die gedoppelte Verhaͤltniſſen ſeyen. So nun geſetzt wird/ daß A
gegen B eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als D gegen E, ſo ſage ich/ A habe gegen C auch eine
kleinere Verhaͤltnis/ als D gegen F. Dann weil A gegen B eine kleinere Verhaͤltnis hat/
als D gegen E, oder/ welches gleich viel iſt/ D gegen E eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als A gegen
B; B aber gegen C ſich eben verhaͤlt wie A gegen B, und E gegen F wie D gegen E, Krafft obi-
gen Satzes/ ſo wird auch E gegen F eine groͤſſere Verhaͤltnis haben als B gegen C, und fol-
gends auch/ vermoͤg obangezogenen 31ſten des V. Buchs/ D gegen F eine groͤſſere Ver-
haͤltnis als A gegen C; oder/ welches gleich viel iſt/ A gegen C eine kleinere/ als D gegen F.
Welches hat ſollen bewieſen werden.

Die Erſte Folge.

Gleicher geſtalt koͤnnen wir beweiſen/ daß innerhalb eines
Kreißſtuͤkkes ein Vielekk/ und ein anders dieſem aͤhnliches/ auſſer-
halb umb daſſelbe beſchrieben werden koͤnne/ alſo daß das aͤuſſere
gegen dem innern eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als die groͤſſeſte
zweyer gegebenen Groͤſſen gegen der kleinern.

Anmerkung.

Der Beweiß iſt eben der vorhergehende in allen Stuͤkken/ nur daß/ was dorten von dem
ganzen Kreiß geſagt worden/ hier auf ein gegebenes Stuͤkk deſſelben gezogen werde; alſo daß
unnoͤhtig iſt/ obiges hier zu widerholen.

Die Andere Folge.

Hieraus iſt auch dieſes offenbar/ daß/ wann ein Kreiß oder
Kreiß-Stuͤkk/ und darbeneben eine gewiſſe Flaͤche/ gegeben iſt/
man innerhalb deſſelben Kreiſſes oder Kreißſtuͤkkes allerhand gleich-
ſeitige Vielekke beſchreiben koͤnne/ immer von mehrern und meh-
rern Seiten/ ſo lang und viel/ biß die uͤbrige Abſchnitte des Kreiſ-
ſes oder Kreißſtuͤkkes miteinander kleiner ſeyen als die gegebene
Flaͤche. Dann dieſes iſt ſchon in denen Anfangs-Buͤchern (Ele-
mentis Euclidis) gelehret worden.

Anmerkung.

Dieſes iſt zwar ausdruͤkklich in denen Buͤchern Euclidis
nicht zu finden/ kan aber/ wie David Rivalt de Flurance erin-
nert/ aus dem Erſten des 10den Buchs leichtlich erwieſen wer-
den. Dann daſelbſten iſt klar gemacht/ daß/ wann man von
der groͤſſeſten/ zweyer gegebenen Groͤſſen/ mehr als die Helfte
wegnimbt/ von dem Reſt wieder mehr als die Helfte/ und ſo
fortan/ dieſelbe endlich kleiner werden muͤſſe/ als die kleineſte
aus denen zweyen gegebenen Groͤſſen. Wann nun/ zum Exem-
pel/ ein Sechsekk innerhalb eines Kreiſſes beſchrieben/ und die
ſechs Abſchnitte des Kreiſſes zuſammen genommen/ noch groͤſ-
[Abbildung] ſer waͤren/ als eine gegebene Flaͤche (zum Exempel B in der Figur des folgenden Lehrſatzes) ſo

kan
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[19/0047] Von der Kugel und Rund-Seule. er ausdruͤkklich das Wort dupla fuͤr duplicata gebrauchet/ wider Euclidis Meinung/ als wir oben gewieſen/ und Clavius in ſeinen Anmerkungen weitlaͤuffig erinnert. Wir wollen demnach die Sache gruͤndlicher aus dem 31ſten Lehrſatz des gemeldten V. Buchs alſo erweiſen: An ſtatt obiger Zahlen und aller andern meſſens-faͤhigen Dinge ſeyen auf einer Seite A, B, C; auf der andern D, E, F, und zwar alſo/ daß ſo wol dorten A gegen B, wie B gegen C; als hier D gegen E, wie E gegen F ſich verhalte; und folgends A gegen C dorten/ hier D gegen F die gedoppelte Verhaͤltniſſen ſeyen. So nun geſetzt wird/ daß A gegen B eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als D gegen E, ſo ſage ich/ A habe gegen C auch eine kleinere Verhaͤltnis/ als D gegen F. Dann weil A gegen B eine kleinere Verhaͤltnis hat/ als D gegen E, oder/ welches gleich viel iſt/ D gegen E eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als A gegen B; B aber gegen C ſich eben verhaͤlt wie A gegen B, und E gegen F wie D gegen E, Krafft obi- gen Satzes/ ſo wird auch E gegen F eine groͤſſere Verhaͤltnis haben als B gegen C, und fol- gends auch/ vermoͤg obangezogenen 31ſten des V. Buchs/ D gegen F eine groͤſſere Ver- haͤltnis als A gegen C; oder/ welches gleich viel iſt/ A gegen C eine kleinere/ als D gegen F. Welches hat ſollen bewieſen werden. Die Erſte Folge. Gleicher geſtalt koͤnnen wir beweiſen/ daß innerhalb eines Kreißſtuͤkkes ein Vielekk/ und ein anders dieſem aͤhnliches/ auſſer- halb umb daſſelbe beſchrieben werden koͤnne/ alſo daß das aͤuſſere gegen dem innern eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als die groͤſſeſte zweyer gegebenen Groͤſſen gegen der kleinern. Anmerkung. Der Beweiß iſt eben der vorhergehende in allen Stuͤkken/ nur daß/ was dorten von dem ganzen Kreiß geſagt worden/ hier auf ein gegebenes Stuͤkk deſſelben gezogen werde; alſo daß unnoͤhtig iſt/ obiges hier zu widerholen. Die Andere Folge. Hieraus iſt auch dieſes offenbar/ daß/ wann ein Kreiß oder Kreiß-Stuͤkk/ und darbeneben eine gewiſſe Flaͤche/ gegeben iſt/ man innerhalb deſſelben Kreiſſes oder Kreißſtuͤkkes allerhand gleich- ſeitige Vielekke beſchreiben koͤnne/ immer von mehrern und meh- rern Seiten/ ſo lang und viel/ biß die uͤbrige Abſchnitte des Kreiſ- ſes oder Kreißſtuͤkkes miteinander kleiner ſeyen als die gegebene Flaͤche. Dann dieſes iſt ſchon in denen Anfangs-Buͤchern (Ele- mentis Euclidis) gelehret worden. Anmerkung. Dieſes iſt zwar ausdruͤkklich in denen Buͤchern Euclidis nicht zu finden/ kan aber/ wie David Rivalt de Flurance erin- nert/ aus dem Erſten des 10den Buchs leichtlich erwieſen wer- den. Dann daſelbſten iſt klar gemacht/ daß/ wann man von der groͤſſeſten/ zweyer gegebenen Groͤſſen/ mehr als die Helfte wegnimbt/ von dem Reſt wieder mehr als die Helfte/ und ſo fortan/ dieſelbe endlich kleiner werden muͤſſe/ als die kleineſte aus denen zweyen gegebenen Groͤſſen. Wann nun/ zum Exem- pel/ ein Sechsekk innerhalb eines Kreiſſes beſchrieben/ und die ſechs Abſchnitte des Kreiſſes zuſammen genommen/ noch groͤſ- [Abbildung] ſer waͤren/ als eine gegebene Flaͤche (zum Exempel B in der Figur des folgenden Lehrſatzes) ſo kan

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Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 19. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/47>, abgerufen am 25.11.2024.