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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Von der Kugel und Rund-Seule.
verfahren werden: Man mache C gegen D in kleinerer
Verhältnis/ als L gegen F, nach obigem II. Lehrsatz/
und finde zwischen C und D eine mittlere gleichverhal-
tende (mediam proportionalem) G, nach Anleitung
des 13den im VI. Buch Euclidis; Beschreibe endlich
ein Vielekk ausserhalb umb den Kreiß/ und ein anders
innerhalb desselben/ also daß die Seite des äussern gegen
der Seite des innern Vielekkes eine kleinere Verhältnis
habe/ als C gegen G, nach obigem III. Lehrsatz;
So wird das äussere Vielekk gegen dem innern eine
kleinere Verhältnis haben/ als E gegen F, welches be-
gehret worden.

Beweiß.

Weil G ist die mittlere gleichverhaltende zwischen
C und D, zweyen ungleichen Lineen/ so hat C gegen D
(vermög der 10den Worterklärung des V. Buchs
[Abbildung] Euclidis) eine zweyfache/ und also viel grössere Verhältnis/ als ebengemeld-
tes C gegen G, das ist/ die einfache Verhältnis des C gegen G ist kleiner als
die gedoppelte des C gegen D. (Besihe unten die 1. Anmerkung.) Nun hat C
gegen D eine kleinere Verhältnis/ als E gegen F, Kraft obiger Vorbereitung;
Derowegen muß umb so viel mehr C gegen G eine kleinere Verhältnis haben/
als E gegen F. Es hat aber ferner die Seite des äussern Vielekkes gegen der
Seite des innern noch eine kleinere Verhältnis als C gegen G, vermög obi-
ger Auflösung; und die Verhältnis des ganzen äussern Vielekkes gegen den in-
nern ist gedoppelt gegen der Verhältnis ihrer Seiten/ nach dem 20sten des
VI. Buchs Euclidis; So muß demnach diese gedoppelte Verhältnis auch
kleiner seyn als jene gedoppelte/ (weil diese einfache kleiner ist als jene einfache/
Besihe die 2. Anmerkung) das ist/ das äussere Vielekk muß gegen dem innern
eine kleinere Verhältnis haben als C gegen D, und folgends eine umb so viel
mehr kleinere/ als E gegen F, welches zu beweisen war.

Anmerkungen.

1. Jn obigem Beweiß ist für bekant genommen worden/ daß die einfache Verhältnis
des C gegen G kleiner sey als die gedoppelte des C gegen D. Nun scheinet zwar dieses an sich
selbsten bekant und keines fernern Beweises bedürftig zu seyn/ weil jederzeit das einfache kleiner
ist als das zweyfache. Allein es werden in diesem Fall die Wörter zweyfach und gedoppelt in
einem andern als gemeinen Verstand genommen/ und heissen hier nicht so viel als zweymal so
groß; sondern/ wann zum Exempel drey gleichverhaltende dinge (proportionalia) A, B, C,
gegeben sind/ also daß/ wie A gegen B sich verhält/ ebenfalls B gegen C sich verhalte/ so will
Euclidis in der 10den Worterklärung seines V. Buchs/ daß die Verhältnis des ersten A ge-
gen dem dritten C gedoppelt (duplicata, non dupla) genennet werde in Ansehung der ein-
fachen Verhältnis des ersten/ A, gegen dem andern/ B; und solches darumb/ weil zwischen
A und C die Verhältnis A gegen B (dann B gegen C hat gleiche Verhältnis) zweymal ge-
funden wird/ nicht aber deßwegen/ als ob die Verhältnis des ersten gegen dem dritten allezeit
eben zweymal so groß wäre/ als des ersten gegen dem andern/ wie dann in Zahlen klärlich zu
ersehen ist. Dann wer wolte sagen/ daß die erste dieser drey gleichverhaltenden Zahlen/ 25/
5/ 1/ gegen der dritten/ nehmlich 25 gegen 1 eine Verhältnis habe/ welche zweymal so groß
sey/ als die Verhältnis der ersten gegen der andern/ 25 gegen 5; sintemal augenscheinlich ist/
daß sie vielmehr fünfmal so groß sey? Und hingegen (wann wir die Ordnung umbkehren/

daß
C iij

Von der Kugel und Rund-Seule.
verfahren werden: Man mache C gegen D in kleinerer
Verhaͤltnis/ als L gegen F, nach obigem II. Lehrſatz/
und finde zwiſchen C und D eine mittlere gleichverhal-
tende (mediam proportionalem) G, nach Anleitung
des 13den im VI. Buch Euclidis; Beſchreibe endlich
ein Vielekk auſſerhalb umb den Kreiß/ und ein anders
innerhalb deſſelben/ alſo daß die Seite des aͤuſſern gegen
der Seite des innern Vielekkes eine kleinere Verhaͤltnis
habe/ als C gegen G, nach obigem III. Lehrſatz;
So wird das aͤuſſere Vielekk gegen dem innern eine
kleinere Verhaͤltnis haben/ als E gegen F, welches be-
gehret worden.

Beweiß.

Weil G iſt die mittlere gleichverhaltende zwiſchen
C und D, zweyen ungleichen Lineen/ ſo hat C gegen D
(vermoͤg der 10den Worterklaͤrung des V. Buchs
[Abbildung] Euclidis) eine zweyfache/ und alſo viel groͤſſere Verhaͤltnis/ als ebengemeld-
tes C gegen G, das iſt/ die einfache Verhaͤltnis des C gegen G iſt kleiner als
die gedoppelte des C gegen D. (Beſihe unten die 1. Anmerkung.) Nun hat C
gegen D eine kleinere Verhaͤltnis/ als E gegen F, Kraft obiger Vorbereitung;
Derowegen muß umb ſo viel mehr C gegen G eine kleinere Verhaͤltnis haben/
als E gegen F. Es hat aber ferner die Seite des aͤuſſern Vielekkes gegen der
Seite des innern noch eine kleinere Verhaͤltnis als C gegen G, vermoͤg obi-
ger Aufloͤſung; und die Verhaͤltnis des ganzen aͤuſſern Vielekkes gegen den in-
nern iſt gedoppelt gegen der Verhaͤltnis ihrer Seiten/ nach dem 20ſten des
VI. Buchs Euclidis; So muß demnach dieſe gedoppelte Verhaͤltnis auch
kleiner ſeyn als jene gedoppelte/ (weil dieſe einfache kleiner iſt als jene einfache/
Beſihe die 2. Anmerkung) das iſt/ das aͤuſſere Vielekk muß gegen dem innern
eine kleinere Verhaͤltnis haben als C gegen D, und folgends eine umb ſo viel
mehr kleinere/ als E gegen F, welches zu beweiſen war.

Anmerkungen.

1. Jn obigem Beweiß iſt fuͤr bekant genommen worden/ daß die einfache Verhaͤltnis
des C gegen G kleiner ſey als die gedoppelte des C gegen D. Nun ſcheinet zwar dieſes an ſich
ſelbſten bekant und keines fernern Beweiſes beduͤrftig zu ſeyn/ weil jederzeit das einfache kleiner
iſt als das zweyfache. Allein es werden in dieſem Fall die Woͤrter zweyfach und gedoppelt in
einem andern als gemeinen Verſtand genommen/ und heiſſen hier nicht ſo viel als zweymal ſo
groß; ſondern/ wann zum Exempel drey gleichverhaltende dinge (proportionalia) A, B, C,
gegeben ſind/ alſo daß/ wie A gegen B ſich verhaͤlt/ ebenfalls B gegen C ſich verhalte/ ſo will
Euclidis in der 10den Worterklaͤrung ſeines V. Buchs/ daß die Verhaͤltnis des erſten A ge-
gen dem dritten C gedoppelt (duplicata, non dupla) genennet werde in Anſehung der ein-
fachen Verhaͤltnis des erſten/ A, gegen dem andern/ B; und ſolches darumb/ weil zwiſchen
A und C die Verhaͤltnis A gegen B (dann B gegen C hat gleiche Verhaͤltnis) zweymal ge-
funden wird/ nicht aber deßwegen/ als ob die Verhaͤltnis des erſten gegen dem dritten allezeit
eben zweymal ſo groß waͤre/ als des erſten gegen dem andern/ wie dann in Zahlen klaͤrlich zu
erſehen iſt. Dann wer wolte ſagen/ daß die erſte dieſer drey gleichverhaltenden Zahlen/ 25/
5/ 1/ gegen der dritten/ nehmlich 25 gegen 1 eine Verhaͤltnis habe/ welche zweymal ſo groß
ſey/ als die Verhaͤltnis der erſten gegen der andern/ 25 gegen 5; ſintemal augenſcheinlich iſt/
daß ſie vielmehr fuͤnfmal ſo groß ſey? Und hingegen (wann wir die Ordnung umbkehren/

daß
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[17/0045] Von der Kugel und Rund-Seule. verfahren werden: Man mache C gegen D in kleinerer Verhaͤltnis/ als L gegen F, nach obigem II. Lehrſatz/ und finde zwiſchen C und D eine mittlere gleichverhal- tende (mediam proportionalem) G, nach Anleitung des 13den im VI. Buch Euclidis; Beſchreibe endlich ein Vielekk auſſerhalb umb den Kreiß/ und ein anders innerhalb deſſelben/ alſo daß die Seite des aͤuſſern gegen der Seite des innern Vielekkes eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als C gegen G, nach obigem III. Lehrſatz; So wird das aͤuſſere Vielekk gegen dem innern eine kleinere Verhaͤltnis haben/ als E gegen F, welches be- gehret worden. Beweiß. Weil G iſt die mittlere gleichverhaltende zwiſchen C und D, zweyen ungleichen Lineen/ ſo hat C gegen D (vermoͤg der 10den Worterklaͤrung des V. Buchs [Abbildung] Euclidis) eine zweyfache/ und alſo viel groͤſſere Verhaͤltnis/ als ebengemeld- tes C gegen G, das iſt/ die einfache Verhaͤltnis des C gegen G iſt kleiner als die gedoppelte des C gegen D. (Beſihe unten die 1. Anmerkung.) Nun hat C gegen D eine kleinere Verhaͤltnis/ als E gegen F, Kraft obiger Vorbereitung; Derowegen muß umb ſo viel mehr C gegen G eine kleinere Verhaͤltnis haben/ als E gegen F. Es hat aber ferner die Seite des aͤuſſern Vielekkes gegen der Seite des innern noch eine kleinere Verhaͤltnis als C gegen G, vermoͤg obi- ger Aufloͤſung; und die Verhaͤltnis des ganzen aͤuſſern Vielekkes gegen den in- nern iſt gedoppelt gegen der Verhaͤltnis ihrer Seiten/ nach dem 20ſten des VI. Buchs Euclidis; So muß demnach dieſe gedoppelte Verhaͤltnis auch kleiner ſeyn als jene gedoppelte/ (weil dieſe einfache kleiner iſt als jene einfache/ Beſihe die 2. Anmerkung) das iſt/ das aͤuſſere Vielekk muß gegen dem innern eine kleinere Verhaͤltnis haben als C gegen D, und folgends eine umb ſo viel mehr kleinere/ als E gegen F, welches zu beweiſen war. Anmerkungen. 1. Jn obigem Beweiß iſt fuͤr bekant genommen worden/ daß die einfache Verhaͤltnis des C gegen G kleiner ſey als die gedoppelte des C gegen D. Nun ſcheinet zwar dieſes an ſich ſelbſten bekant und keines fernern Beweiſes beduͤrftig zu ſeyn/ weil jederzeit das einfache kleiner iſt als das zweyfache. Allein es werden in dieſem Fall die Woͤrter zweyfach und gedoppelt in einem andern als gemeinen Verſtand genommen/ und heiſſen hier nicht ſo viel als zweymal ſo groß; ſondern/ wann zum Exempel drey gleichverhaltende dinge (proportionalia) A, B, C, gegeben ſind/ alſo daß/ wie A gegen B ſich verhaͤlt/ ebenfalls B gegen C ſich verhalte/ ſo will Euclidis in der 10den Worterklaͤrung ſeines V. Buchs/ daß die Verhaͤltnis des erſten A ge- gen dem dritten C gedoppelt (duplicata, non dupla) genennet werde in Anſehung der ein- fachen Verhaͤltnis des erſten/ A, gegen dem andern/ B; und ſolches darumb/ weil zwiſchen A und C die Verhaͤltnis A gegen B (dann B gegen C hat gleiche Verhaͤltnis) zweymal ge- funden wird/ nicht aber deßwegen/ als ob die Verhaͤltnis des erſten gegen dem dritten allezeit eben zweymal ſo groß waͤre/ als des erſten gegen dem andern/ wie dann in Zahlen klaͤrlich zu erſehen iſt. Dann wer wolte ſagen/ daß die erſte dieſer drey gleichverhaltenden Zahlen/ 25/ 5/ 1/ gegen der dritten/ nehmlich 25 gegen 1 eine Verhaͤltnis habe/ welche zweymal ſo groß ſey/ als die Verhaͤltnis der erſten gegen der andern/ 25 gegen 5; ſintemal augenſcheinlich iſt/ daß ſie vielmehr fuͤnfmal ſo groß ſey? Und hingegen (wann wir die Ordnung umbkehren/ daß C iij

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Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 17. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/45>, abgerufen am 23.11.2024.