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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Kugel-ähnlichen Figuren.
Der XXX. Lehrsatz.

Wann auch gleich die halbe Afterkugel von einer/ auf die Achse
nicht senkrechten/ Fläche abgeschnitten worden; so ist sie dennoch
zweymal so groß als der Abschnitt eines Kegels/ der mit ihr einer-
ley Grundfläche und Achse hat.

Beweiß.

Der ganze vorige Beweiß gehöret auch hieher/ ausgenommen daß er in
etlichen wenigen Puncten muß verändert werden/ und zwar nach Anleitung
des jenigen/ was wir in dem Beweiß des XXIV. und XXVIII. Lehrsatzes
erinnert haben. Weswegen wir dann/ unnöhtige Weitläuffigkeit zu verhüt-
ten/ die Sache des vernünftigen Lesers Nachdenken überlassen wollen; vorhin
weil Archimedes selbsten den Beweiß nicht völlig ausführet/ sondern den Leser
auf das vorhergehende zu rukk weiset.

Der XXXI. Lehrsatz.

Der kleinere Teihl einer jeden/ nicht durch den Mittelpunct/
aber doch senkrecht auf die Achse durchschnittenen/ Afterkugel ver-
hält sich gegen dem jenigen Kegel/ der mit besagtem Teihl einerley
Grundscheibe und Achse hat/ wie die Lini/ welche aus der halben
Achse der Afterkugel und der Achse des grössern Teihls zusamm-
gesetzet wird/ gegen eben derselben Achse des grössern Teihls.

Beweiß.

Es sey eine Afterkugel ABCF, so hier durch ihre beschreibende ablange
Rundung angedeutet wird: die abschneidende/ auf die Achse BF senkrechte/
aber nicht durch den Mittelpunct H streichende/ Fläche sey AC; und werde
FG gleich FH. Soll nun bewiesen werden/ daß der abgeschnittene kleinere Teihl
ABC gegen dem Kegel/ so eben dieselbe Grundscheibe AC und die Höhe BD
hat/ sich verhalte/ wie DG gegen DF; das ist/ (wann ein anderer Kegel Z ge-
setzet wird/ der sich gegen dem vorigen verhalte wie DG gegen DF) daß der
Abschnitt ABC dem Kegel Z gleich sey. Dasselbe vollführen wir nun folgen-
der Gestalt:

Wann der Abschnitt ABC dem Kegel Z nicht gleich ist/ so muß er entwe-
der grösser oder kleiner seyn.

I. Satz. Man setze fürs erste/ er sey grösser/ nehmlich umb eine gewisse
Grösse/ die wir indessen a nennen wollen; und beschreibe so dann innerhalb des
Abschnittes eine/ aus lauter Rund-Säulen bestehende/ Cörperliche Figur/
und eine andere ausser halb umb denselben/ also daß der Umbgeschriebenen Rest
über die Eingeschriebene kleiner sey als die Grösse a, allerdings nach vorher-
gehendem XXI. Lehrsatz. Woraus dann abermal zu förderst folget/ daß

die
A a a
Kugel-aͤhnlichen Figuren.
Der XXX. Lehrſatz.

Wann auch gleich die halbe Afterkugel von einer/ auf die Achſe
nicht ſenkrechten/ Flaͤche abgeſchnitten worden; ſo iſt ſie dennoch
zweymal ſo groß als der Abſchnitt eines Kegels/ der mit ihr einer-
ley Grundflaͤche und Achſe hat.

Beweiß.

Der ganze vorige Beweiß gehoͤret auch hieher/ ausgenommen daß er in
etlichen wenigen Puncten muß veraͤndert werden/ und zwar nach Anleitung
des jenigen/ was wir in dem Beweiß des XXIV. und XXVIII. Lehrſatzes
erinnert haben. Weswegen wir dann/ unnoͤhtige Weitlaͤuffigkeit zu verhuͤt-
ten/ die Sache des vernuͤnftigen Leſers Nachdenken uͤberlaſſen wollen; vorhin
weil Archimedes ſelbſten den Beweiß nicht voͤllig ausfuͤhret/ ſondern den Leſer
auf das vorhergehende zu rukk weiſet.

Der XXXI. Lehrſatz.

Der kleinere Teihl einer jeden/ nicht durch den Mittelpunct/
aber doch ſenkrecht auf die Achſe durchſchnittenen/ Afterkugel ver-
haͤlt ſich gegen dem jenigen Kegel/ der mit beſagtem Teihl einerley
Grundſcheibe und Achſe hat/ wie die Lini/ welche aus der halben
Achſe der Afterkugel und der Achſe des groͤſſern Teihls zuſamm-
geſetzet wird/ gegen eben derſelben Achſe des groͤſſern Teihls.

Beweiß.

Es ſey eine Afterkugel ABCF, ſo hier durch ihre beſchreibende ablange
Rundung angedeutet wird: die abſchneidende/ auf die Achſe BF ſenkrechte/
aber nicht durch den Mittelpunct H ſtreichende/ Flaͤche ſey AC; und werde
FG gleich FH. Soll nun bewieſen werden/ daß der abgeſchnittene kleinere Teihl
ABC gegen dem Kegel/ ſo eben dieſelbe Grundſcheibe AC und die Hoͤhe BD
hat/ ſich verhalte/ wie DG gegen DF; das iſt/ (wann ein anderer Kegel Z ge-
ſetzet wird/ der ſich gegen dem vorigen verhalte wie DG gegen DF) daß der
Abſchnitt ABC dem Kegel Z gleich ſey. Daſſelbe vollfuͤhren wir nun folgen-
der Geſtalt:

Wann der Abſchnitt ABC dem Kegel Z nicht gleich iſt/ ſo muß er entwe-
der groͤſſer oder kleiner ſeyn.

I. Satz. Man ſetze fuͤrs erſte/ er ſey groͤſſer/ nehmlich umb eine gewiſſe
Groͤſſe/ die wir indeſſen a nennen wollen; und beſchreibe ſo dann innerhalb des
Abſchnittes eine/ aus lauter Rund-Saͤulen beſtehende/ Coͤrperliche Figur/
und eine andere auſſer halb umb denſelben/ alſo daß der Umbgeſchriebenen Reſt
uͤber die Eingeſchriebene kleiner ſey als die Groͤſſe a, allerdings nach vorher-
gehendem XXI. Lehrſatz. Woraus dann abermal zu foͤrderſt folget/ daß

die
A a a
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[369/0397] Kugel-aͤhnlichen Figuren. Der XXX. Lehrſatz. Wann auch gleich die halbe Afterkugel von einer/ auf die Achſe nicht ſenkrechten/ Flaͤche abgeſchnitten worden; ſo iſt ſie dennoch zweymal ſo groß als der Abſchnitt eines Kegels/ der mit ihr einer- ley Grundflaͤche und Achſe hat. Beweiß. Der ganze vorige Beweiß gehoͤret auch hieher/ ausgenommen daß er in etlichen wenigen Puncten muß veraͤndert werden/ und zwar nach Anleitung des jenigen/ was wir in dem Beweiß des XXIV. und XXVIII. Lehrſatzes erinnert haben. Weswegen wir dann/ unnoͤhtige Weitlaͤuffigkeit zu verhuͤt- ten/ die Sache des vernuͤnftigen Leſers Nachdenken uͤberlaſſen wollen; vorhin weil Archimedes ſelbſten den Beweiß nicht voͤllig ausfuͤhret/ ſondern den Leſer auf das vorhergehende zu rukk weiſet. Der XXXI. Lehrſatz. Der kleinere Teihl einer jeden/ nicht durch den Mittelpunct/ aber doch ſenkrecht auf die Achſe durchſchnittenen/ Afterkugel ver- haͤlt ſich gegen dem jenigen Kegel/ der mit beſagtem Teihl einerley Grundſcheibe und Achſe hat/ wie die Lini/ welche aus der halben Achſe der Afterkugel und der Achſe des groͤſſern Teihls zuſamm- geſetzet wird/ gegen eben derſelben Achſe des groͤſſern Teihls. Beweiß. Es ſey eine Afterkugel ABCF, ſo hier durch ihre beſchreibende ablange Rundung angedeutet wird: die abſchneidende/ auf die Achſe BF ſenkrechte/ aber nicht durch den Mittelpunct H ſtreichende/ Flaͤche ſey AC; und werde FG gleich FH. Soll nun bewieſen werden/ daß der abgeſchnittene kleinere Teihl ABC gegen dem Kegel/ ſo eben dieſelbe Grundſcheibe AC und die Hoͤhe BD hat/ ſich verhalte/ wie DG gegen DF; das iſt/ (wann ein anderer Kegel Z ge- ſetzet wird/ der ſich gegen dem vorigen verhalte wie DG gegen DF) daß der Abſchnitt ABC dem Kegel Z gleich ſey. Daſſelbe vollfuͤhren wir nun folgen- der Geſtalt: Wann der Abſchnitt ABC dem Kegel Z nicht gleich iſt/ ſo muß er entwe- der groͤſſer oder kleiner ſeyn. I. Satz. Man ſetze fuͤrs erſte/ er ſey groͤſſer/ nehmlich umb eine gewiſſe Groͤſſe/ die wir indeſſen a nennen wollen; und beſchreibe ſo dann innerhalb des Abſchnittes eine/ aus lauter Rund-Saͤulen beſtehende/ Coͤrperliche Figur/ und eine andere auſſer halb umb denſelben/ alſo daß der Umbgeſchriebenen Reſt uͤber die Eingeſchriebene kleiner ſey als die Groͤſſe a, allerdings nach vorher- gehendem XXI. Lehrſatz. Woraus dann abermal zu foͤrderſt folget/ daß die A a a

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Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 369. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/397>, abgerufen am 26.05.2024.