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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Archimedes von denen Kegel- und
Grundfläche und Achse hat/ Laut des 10den im XII. der Kegel Z aber zwey-
mal so groß als eben der vorige Kegel/ Krafft obigen Satzes; also daß die
Rund-Säule gegen dem Kegel Z sich verhält wie 3 gegen 2.) Worausdann
endlich folget/ daß die eingeschriebene Figur müste kleiner seyn als der Kegel Z,
da sie doch oben/ im I. Schluß/ grösser zu seyn bewiesen worden. Jst demnach
dieser I. Satz unmöglich/ und die halbe Afterkugel ABC nicht grösser als der
Kegel Z.

II. Satz. Man setze fürs andere/ sie sey kleiner/ nehmlich wieder umb den
Rest a, und widerhole obige Vorbereitung. So wird aus obigen Gründen zu
förderst (allermassen wie in dem II. Satz des XXVII. Lehrsatzes) geschlossen
werden/ daß die umbgeschriebene Figur kleiner sey als der Kegel Z: Hernach
daß die ganze Rund-Säule gegen der ganzen umbgeschriebenen Figur sich ver-
halte/ wie alle gleiche Vierungen X, gegen allen ungleichen Winkelhaken sambt
noch einer gleichen Vierung X. Nun aber sind alle gleiche Vierungen X zusam-
men nicht gar anderthalbmal so groß als eine Vierung X sambt allen unglei-
chen Winkelhaken/ vermög folgender Anmerkung. Derowegen ist auch die
ganze äussere Rund-Säule nicht gar anderthalbmal so groß als die umbge-
schriebene Figur. Sie ist aber anderthalbmal so groß als der Kegel Z, als
oben bewiesen: Müste demnach die umbgeschriebene Figur grösser seyn als
der Kegel Z, da sie doch vorhero kleiner zu seyn erwiesen worden. Jst demnach
auch dieser andere Satz (weil etwas ungereimtes daraus erfolget) unmöglich/
und die halbe Afterkugel nicht kleiner als der Kegel Z. So muß sie demnach
schließlichen (weil sie auch nicht grösser ist) demselben nohtwendig gleich seyn.
W. Z. B. W.

Anmerkung.

Jn dem I. Satz des obigen Beweises ist kundt worden/ daß die Seiten derer ungleichen
Vierungen X, XS, XT, XU, XY einander ordentlich gleich-übertreffen/ und zwar der
Ubertreffungs-Rest allenthalben gleich der kleinesten Seite XY; und daß ferner eben so viel
andere/ und zwar alle der Vierung X gleiche/ Vierungen gegeben sind. Woraus dann Archi-
medes in seinem Buch von denen Schnekken-Lineen/ (dahin er sich dann auch diß Orts beruf-
fet) wir aber in des obigen III. Lehrsatzes 2. Anmerkung/ beweisen: daß alle gleiche
Vierungen miteinander nicht gar dreymal so groß seyen als alle jene ungleiche zusammen; mehr
aber als dreymal so groß/ wann die grösseste unter denen ungleichen davon kommt. Hieraus
folget nun ferner leichtlich/ was Archimedes in beyden obigen Sätzen für gewiß annimmet:
Einmal nehmlich/ weil alle fünf ungleiche Vierungen/ XY, XU, XT, XS und X mehr als
1/3 von allen fünf gleichen sind/ daß nohtwendig die vier übrige Winkelhaken weniger seyen als
2/3 , und also alle fünf gleiche Vierungen gegen gedachten vier Winkelhaken eine grössere Ver-
hältnis haben als 3 gegen 2, d.i. mehr als anderthalbmal so groß seyen; Andersmal/ weil alle
ungleiche Vierungen/ ohne die grösseste X, weniger sind als 1/3 von allen fünf gleichen/ daß noht-
wendig die vier übrige Winkelhaken sambt der noch ganzen übrigen Vierung X mehr als 2/3 seyen/
und dannenhero alle fünf gleiche Vierungen gegen gedachten vier Winkelhaken sambt der Vie-
rung X eine kleinere Verhältnis haben als 3 gegen 2, d.i. nicht gar anderthalbmal so großseyen.

Es kan aber beydes auch auf die jenige Weise dargethan werden/ deren wir uns in des III.
Lehrsatzes 2. Anmerkung bedienet haben. Dann/ so die Vierung XY wird gesetzet gleich
gg, so ist die Vierung XU gleich 4gg, XT 9gg, XS 16gg, und endlich die ganze X gleich
25gg. Welchem nach der erste Winkelhakk ist 24gg, der andere 21, der dritte 16, der vierdte
endlich 9gg. Die Summa nun aller fünf gleicher Vierungen ist folgends 125gg. Die Sum-
ma derer vier Winkelhaken ist 70gg. Die Summa aber eben dieser fünf Winkelhaken sambt
der ganzen Vierung X, macht 95gg. Nun aber ist augenscheinlich 125 mehr dann andert-
halbmal so groß als 70; nicht gar anderthalbmal so groß aber als 95.

Der

Archimedes von denen Kegel- und
Grundflaͤche und Achſe hat/ Laut des 10den im XII. der Kegel Z aber zwey-
mal ſo groß als eben der vorige Kegel/ Krafft obigen Satzes; alſo daß die
Rund-Saͤule gegen dem Kegel Z ſich verhaͤlt wie 3 gegen 2.) Worausdann
endlich folget/ daß die eingeſchriebene Figur muͤſte kleiner ſeyn als der Kegel Z,
da ſie doch oben/ im I. Schluß/ groͤſſer zu ſeyn bewieſen worden. Jſt demnach
dieſer I. Satz unmoͤglich/ und die halbe Afterkugel ABC nicht groͤſſer als der
Kegel Z.

II. Satz. Man ſetze fuͤrs andere/ ſie ſey kleiner/ nehmlich wieder umb den
Reſt a, und widerhole obige Vorbereitung. So wird aus obigen Gruͤnden zu
foͤrderſt (allermaſſen wie in dem II. Satz des XXVII. Lehrſatzes) geſchloſſen
werden/ daß die umbgeſchriebene Figur kleiner ſey als der Kegel Z: Hernach
daß die ganze Rund-Saͤule gegen der ganzen umbgeſchriebenen Figur ſich ver-
halte/ wie alle gleiche Vierungen X, gegen allen ungleichen Winkelhaken ſambt
noch einer gleichen Vierung X. Nun aber ſind alle gleiche Vierungen X zuſam-
men nicht gar anderthalbmal ſo groß als eine Vierung X ſambt allen unglei-
chen Winkelhaken/ vermoͤg folgender Anmerkung. Derowegen iſt auch die
ganze aͤuſſere Rund-Saͤule nicht gar anderthalbmal ſo groß als die umbge-
ſchriebene Figur. Sie iſt aber anderthalbmal ſo groß als der Kegel Z, als
oben bewieſen: Muͤſte demnach die umbgeſchriebene Figur groͤſſer ſeyn als
der Kegel Z, da ſie doch vorhero kleiner zu ſeyn erwieſen worden. Jſt demnach
auch dieſer andere Satz (weil etwas ungereimtes daraus erfolget) unmoͤglich/
und die halbe Afterkugel nicht kleiner als der Kegel Z. So muß ſie demnach
ſchließlichen (weil ſie auch nicht groͤſſer iſt) demſelben nohtwendig gleich ſeyn.
W. Z. B. W.

Anmerkung.

Jn dem I. Satz des obigen Beweiſes iſt kundt worden/ daß die Seiten derer ungleichen
Vierungen X, XS, XT, XU, XY einander ordentlich gleich-uͤbertreffen/ und zwar der
Ubertreffungs-Reſt allenthalben gleich der kleineſten Seite XY; und daß ferner eben ſo viel
andere/ und zwar alle der Vierung X gleiche/ Vierungen gegeben ſind. Woraus dann Archi-
medes in ſeinem Buch von denen Schnekken-Lineen/ (dahin er ſich dann auch diß Orts beruf-
fet) wir aber in des obigen III. Lehrſatzes 2. Anmerkung/ beweiſen: daß alle gleiche
Vierungen miteinander nicht gar dreymal ſo groß ſeyen als alle jene ungleiche zuſammen; mehr
aber als dreymal ſo groß/ wann die groͤſſeſte unter denen ungleichen davon kommt. Hieraus
folget nun ferner leichtlich/ was Archimedes in beyden obigen Saͤtzen fuͤr gewiß annimmet:
Einmal nehmlich/ weil alle fuͤnf ungleiche Vierungen/ XY, XU, XT, XS und X mehr als
⅓ von allen fuͤnf gleichen ſind/ daß nohtwendig die vier uͤbrige Winkelhaken weniger ſeyen als
⅔, und alſo alle fuͤnf gleiche Vierungen gegen gedachten vier Winkelhaken eine groͤſſere Ver-
haͤltnis haben als 3 gegen 2, d.i. mehr als anderthalbmal ſo groß ſeyen; Andersmal/ weil alle
ungleiche Vierungen/ ohne die groͤſſeſte X, weniger ſind als ⅓ von allen fuͤnf gleichen/ daß noht-
wendig die vier uͤbrige Winkelhaken ſambt der noch ganzen uͤbrigen Vierung X mehr als ⅔ ſeyen/
und dannenhero alle fuͤnf gleiche Vierungen gegen gedachten vier Winkelhaken ſambt der Vie-
rung X eine kleinere Verhaͤltnis haben als 3 gegen 2, d.i. nicht gar anderthalbmal ſo großſeyen.

Es kan aber beydes auch auf die jenige Weiſe dargethan werden/ deren wir uns in des III.
Lehrſatzes 2. Anmerkung bedienet haben. Dann/ ſo die Vierung XY wird geſetzet gleich
gg, ſo iſt die Vierung XU gleich 4gg, XT 9gg, XS 16gg, und endlich die ganze X gleich
25gg. Welchem nach der erſte Winkelhakk iſt 24gg, der andere 21, der dritte 16, der vierdte
endlich 9gg. Die Summa nun aller fuͤnf gleicher Vierungen iſt folgends 125gg. Die Sum-
ma derer vier Winkelhaken iſt 70gg. Die Summa aber eben dieſer fuͤnf Winkelhaken ſambt
der ganzen Vierung X, macht 95gg. Nun aber iſt augenſcheinlich 125 mehr dann andert-
halbmal ſo groß als 70; nicht gar anderthalbmal ſo groß aber als 95.

Der
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[368/0396] Archimedes von denen Kegel- und Grundflaͤche und Achſe hat/ Laut des 10den im XII. der Kegel Z aber zwey- mal ſo groß als eben der vorige Kegel/ Krafft obigen Satzes; alſo daß die Rund-Saͤule gegen dem Kegel Z ſich verhaͤlt wie 3 gegen 2.) Worausdann endlich folget/ daß die eingeſchriebene Figur muͤſte kleiner ſeyn als der Kegel Z, da ſie doch oben/ im I. Schluß/ groͤſſer zu ſeyn bewieſen worden. Jſt demnach dieſer I. Satz unmoͤglich/ und die halbe Afterkugel ABC nicht groͤſſer als der Kegel Z. II. Satz. Man ſetze fuͤrs andere/ ſie ſey kleiner/ nehmlich wieder umb den Reſt a, und widerhole obige Vorbereitung. So wird aus obigen Gruͤnden zu foͤrderſt (allermaſſen wie in dem II. Satz des XXVII. Lehrſatzes) geſchloſſen werden/ daß die umbgeſchriebene Figur kleiner ſey als der Kegel Z: Hernach daß die ganze Rund-Saͤule gegen der ganzen umbgeſchriebenen Figur ſich ver- halte/ wie alle gleiche Vierungen X, gegen allen ungleichen Winkelhaken ſambt noch einer gleichen Vierung X. Nun aber ſind alle gleiche Vierungen X zuſam- men nicht gar anderthalbmal ſo groß als eine Vierung X ſambt allen unglei- chen Winkelhaken/ vermoͤg folgender Anmerkung. Derowegen iſt auch die ganze aͤuſſere Rund-Saͤule nicht gar anderthalbmal ſo groß als die umbge- ſchriebene Figur. Sie iſt aber anderthalbmal ſo groß als der Kegel Z, als oben bewieſen: Muͤſte demnach die umbgeſchriebene Figur groͤſſer ſeyn als der Kegel Z, da ſie doch vorhero kleiner zu ſeyn erwieſen worden. Jſt demnach auch dieſer andere Satz (weil etwas ungereimtes daraus erfolget) unmoͤglich/ und die halbe Afterkugel nicht kleiner als der Kegel Z. So muß ſie demnach ſchließlichen (weil ſie auch nicht groͤſſer iſt) demſelben nohtwendig gleich ſeyn. W. Z. B. W. Anmerkung. Jn dem I. Satz des obigen Beweiſes iſt kundt worden/ daß die Seiten derer ungleichen Vierungen X, XS, XT, XU, XY einander ordentlich gleich-uͤbertreffen/ und zwar der Ubertreffungs-Reſt allenthalben gleich der kleineſten Seite XY; und daß ferner eben ſo viel andere/ und zwar alle der Vierung X gleiche/ Vierungen gegeben ſind. Woraus dann Archi- medes in ſeinem Buch von denen Schnekken-Lineen/ (dahin er ſich dann auch diß Orts beruf- fet) wir aber in des obigen III. Lehrſatzes 2. Anmerkung/ beweiſen: daß alle gleiche Vierungen miteinander nicht gar dreymal ſo groß ſeyen als alle jene ungleiche zuſammen; mehr aber als dreymal ſo groß/ wann die groͤſſeſte unter denen ungleichen davon kommt. Hieraus folget nun ferner leichtlich/ was Archimedes in beyden obigen Saͤtzen fuͤr gewiß annimmet: Einmal nehmlich/ weil alle fuͤnf ungleiche Vierungen/ XY, XU, XT, XS und X mehr als ⅓ von allen fuͤnf gleichen ſind/ daß nohtwendig die vier uͤbrige Winkelhaken weniger ſeyen als ⅔, und alſo alle fuͤnf gleiche Vierungen gegen gedachten vier Winkelhaken eine groͤſſere Ver- haͤltnis haben als 3 gegen 2, d.i. mehr als anderthalbmal ſo groß ſeyen; Andersmal/ weil alle ungleiche Vierungen/ ohne die groͤſſeſte X, weniger ſind als ⅓ von allen fuͤnf gleichen/ daß noht- wendig die vier uͤbrige Winkelhaken ſambt der noch ganzen uͤbrigen Vierung X mehr als ⅔ ſeyen/ und dannenhero alle fuͤnf gleiche Vierungen gegen gedachten vier Winkelhaken ſambt der Vie- rung X eine kleinere Verhaͤltnis haben als 3 gegen 2, d.i. nicht gar anderthalbmal ſo großſeyen. Es kan aber beydes auch auf die jenige Weiſe dargethan werden/ deren wir uns in des III. Lehrſatzes 2. Anmerkung bedienet haben. Dann/ ſo die Vierung XY wird geſetzet gleich gg, ſo iſt die Vierung XU gleich 4gg, XT 9gg, XS 16gg, und endlich die ganze X gleich 25gg. Welchem nach der erſte Winkelhakk iſt 24gg, der andere 21, der dritte 16, der vierdte endlich 9gg. Die Summa nun aller fuͤnf gleicher Vierungen iſt folgends 125gg. Die Sum- ma derer vier Winkelhaken iſt 70gg. Die Summa aber eben dieſer fuͤnf Winkelhaken ſambt der ganzen Vierung X, macht 95gg. Nun aber iſt augenſcheinlich 125 mehr dann andert- halbmal ſo groß als 70; nicht gar anderthalbmal ſo groß aber als 95. Der

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Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 368. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/396>, abgerufen am 18.05.2024.