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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Kugel-ähnlichen Figuren.
Cörperliche Figur/ nach dem I. Lehrsatz. Woraus dann endlich folget/ (weil
eben diese Rund-Säule zweymal so groß ist als der Kegel Z) daß dieser Kegel
Z kleiner sey als die umbgeschriebene Cörperliche Figur/ da doch kurz vorher
das Gegenspiel erwiesen worden. Kan derowegen der Abschnitt ABC nicht
kleiner seyn als der Kegel Z. Er ist aber auch nicht grösser/ wie zuvor erwiesen.
Derohalben muß er demselben gleich/ und folgends anderthalbmal so groß
als der Kegel ABC seyn. Welches hat sollen erwiesen werden.

Anmerkungen.

1. Jn dem ersten Satz sind vier unterschiedliche Grössen/ als die umbgeschriebene Figur/
der Abschnitt des Afterkegels/ die eingeschriebene Figur/ und endlich der Kegel Z; und zwar ist
die erste grösser als die andere/ der ersten Uberrest über die dritte aber kleiner als der zweyten ih-
rer über die vierdte: daraus ist geschlossen worden/ daß die dritte (d.i. die eingeschriebene Figur)
grösser sey als die vierdte (nehmlich als der Kegel Z.) Welches Schlusses Waarheit dann
aus beygesetztem allgemeinen Exempel (in welchem b grösser als c, und c grösser als d zu seyn
gesetzet ist) klärlich kan ersehen werden.

[Formel 1]

Jn dem andern Satz sind abermal vier unterschiedliche Grössen/ nehmlich die eingeschrie-
bene Figur/ der Abschnitt des Afterkegels/ die umbgeschriebene Figur/ und endlich der Kegel Z;
und zwar ist umbgekehrt die erste kleiner als die andere/ der dritten Uberrest über die erste aber
auch kleiner als der vierdten ihrer über die zweyte: daraus ist geschlossen worden/ daß die dritte
(nehmlich die umbgeschriebene Figur) kleiner sey als die vierdte/ d.i. als der Kegel Z. Wel-
ches Schlusses Gewißheit abermal aus beygesetztem allgemeinen Exempel erhellet: [Formel 2]

2. Daß die/ umb den Abschnitt ABC beschriebene/ Rundsäuligen einander gleichüber-
treffen/ und zwar der Uberrest des einen über das andere allezeit gleich sey dem kleinesten Rund-
säuligen/ dessen Grundscheibe ist ST, die Höhe aber BH; wird also erwiesen: Das erste grös-
seste Rundsäuligen/ dessen Grundscheibe AC ist/ verhält sich gegen dem kleinesten/ auf der
Grundscheibe ST, wie die Vierung AC gegen der Vierung ST, oder wie die Vierung AD
gegen der Vierung SH, Krafft des 11ten und 2. im XII. B. oder/ wann die Grund-
flächen ablange und einander ähnliche Rundungen sind/ nach der Folge des obigen VII.
Lehrsatzes; d.i. (nach der I. Betr. 7. Folge in V) wie BD gegen BH, d.i. wie 6 gegen
1, also daß das grösseste Rundsäuligen hier sechsmal so groß ist als das kleineste. Gleicher wei-
se wird geschlossen/ daß das andere fünfmal/ das dritte viermal/ das vierdte dreymal/ das fünfte
endlich zweymal so groß sey als das kleineste und letzte: welches dann eben das jenige ist/ das
oben gesagt worden. Worbey noch zu merken/ daß Archimedis Beweiß in diesem Stükk ein
wenig anderst gehe/ aber/ meines Bedunkens/ nicht so leicht und deutlich; daß dannenhero
nicht ohne Ursach dieser Weg zu schliessen vor jenem beliebet worden.

Der XXIV. Lehrsatz.

Wann auch gleich der Abschnitt eines Parabolischen After-
kegels von einer/ auf die Achse nicht senkrechten/ Fläche abge-
schnitten worden; so ist derselbe dannoch anderthalbmal so groß
als der Abschnitt eines Kegels/ welcher mit ihm einerley Grund-
fläche und Achse/ oder Höhe/ hat.

Beweiß.

Dieser ist dem vorigen ganz ähnlich/ wann man nur etliche wenige Puncten
beobachtet. 1. Daß die Grundflächen AC, KL, ST, &c. welche zuvor Schei-

ben ge-

Kugel-aͤhnlichen Figuren.
Coͤrperliche Figur/ nach dem I. Lehrſatz. Woraus dann endlich folget/ (weil
eben dieſe Rund-Saͤule zweymal ſo groß iſt als der Kegel Z) daß dieſer Kegel
Z kleiner ſey als die umbgeſchriebene Coͤrperliche Figur/ da doch kurz vorher
das Gegenſpiel erwieſen worden. Kan derowegen der Abſchnitt ABC nicht
kleiner ſeyn als der Kegel Z. Er iſt aber auch nicht groͤſſer/ wie zuvor erwieſen.
Derohalben muß er demſelben gleich/ und folgends anderthalbmal ſo groß
als der Kegel ABC ſeyn. Welches hat ſollen erwieſen werden.

Anmerkungen.

1. Jn dem erſten Satz ſind vier unterſchiedliche Groͤſſen/ als die umbgeſchriebene Figur/
der Abſchnitt des Afterkegels/ die eingeſchriebene Figur/ und endlich der Kegel Z; und zwar iſt
die erſte groͤſſer als die andere/ der erſten Uberreſt uͤber die dritte aber kleiner als der zweyten ih-
rer uͤber die vierdte: daraus iſt geſchloſſen worden/ daß die dritte (d.i. die eingeſchriebene Figur)
groͤſſer ſey als die vierdte (nehmlich als der Kegel Z.) Welches Schluſſes Waarheit dann
aus beygeſetztem allgemeinen Exempel (in welchem b groͤſſer als c, und c groͤſſer als d zu ſeyn
geſetzet iſt) klaͤrlich kan erſehen werden.

[Formel 1]

Jn dem andern Satz ſind abermal vier unterſchiedliche Groͤſſen/ nehmlich die eingeſchrie-
bene Figur/ der Abſchnitt des Afterkegels/ die umbgeſchriebene Figur/ und endlich der Kegel Z;
und zwar iſt umbgekehrt die erſte kleiner als die andere/ der dritten Uberreſt uͤber die erſte aber
auch kleiner als der vierdten ihrer uͤber die zweyte: daraus iſt geſchloſſen worden/ daß die dritte
(nehmlich die umbgeſchriebene Figur) kleiner ſey als die vierdte/ d.i. als der Kegel Z. Wel-
ches Schluſſes Gewißheit abermal aus beygeſetztem allgemeinen Exempel erhellet: [Formel 2]

2. Daß die/ umb den Abſchnitt ABC beſchriebene/ Rundſaͤuligen einander gleichuͤber-
treffen/ und zwar der Uberreſt des einen uͤber das andere allezeit gleich ſey dem kleineſten Rund-
ſaͤuligen/ deſſen Grundſcheibe iſt ST, die Hoͤhe aber BH; wird alſo erwieſen: Das erſte groͤſ-
ſeſte Rundſaͤuligen/ deſſen Grundſcheibe AC iſt/ verhaͤlt ſich gegen dem kleineſten/ auf der
Grundſcheibe ST, wie die Vierung AC gegen der Vierung ST, oder wie die Vierung AD
gegen der Vierung SH, Krafft des 11ten und 2. im XII. B. oder/ wann die Grund-
flaͤchen ablange und einander aͤhnliche Rundungen ſind/ nach der Folge des obigen VII.
Lehrſatzes; d.i. (nach der I. Betr. 7. Folge in V) wie BD gegen BH, d.i. wie 6 gegen
1, alſo daß das groͤſſeſte Rundſaͤuligen hier ſechsmal ſo groß iſt als das kleineſte. Gleicher wei-
ſe wird geſchloſſen/ daß das andere fuͤnfmal/ das dritte viermal/ das vierdte dreymal/ das fuͤnfte
endlich zweymal ſo groß ſey als das kleineſte und letzte: welches dann eben das jenige iſt/ das
oben geſagt worden. Worbey noch zu merken/ daß Archimedis Beweiß in dieſem Stuͤkk ein
wenig anderſt gehe/ aber/ meines Bedunkens/ nicht ſo leicht und deutlich; daß dannenhero
nicht ohne Urſach dieſer Weg zu ſchlieſſen vor jenem beliebet worden.

Der XXIV. Lehrſatz.

Wann auch gleich der Abſchnitt eines Paraboliſchen After-
kegels von einer/ auf die Achſe nicht ſenkrechten/ Flaͤche abge-
ſchnitten worden; ſo iſt derſelbe dannoch anderthalbmal ſo groß
als der Abſchnitt eines Kegels/ welcher mit ihm einerley Grund-
flaͤche und Achſe/ oder Hoͤhe/ hat.

Beweiß.

Dieſer iſt dem vorigen ganz aͤhnlich/ wann man nur etliche wenige Puncten
beobachtet. 1. Daß die Grundflaͤchen AC, KL, ST, &c. welche zuvor Schei-

ben ge-
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[359/0387] Kugel-aͤhnlichen Figuren. Coͤrperliche Figur/ nach dem I. Lehrſatz. Woraus dann endlich folget/ (weil eben dieſe Rund-Saͤule zweymal ſo groß iſt als der Kegel Z) daß dieſer Kegel Z kleiner ſey als die umbgeſchriebene Coͤrperliche Figur/ da doch kurz vorher das Gegenſpiel erwieſen worden. Kan derowegen der Abſchnitt ABC nicht kleiner ſeyn als der Kegel Z. Er iſt aber auch nicht groͤſſer/ wie zuvor erwieſen. Derohalben muß er demſelben gleich/ und folgends anderthalbmal ſo groß als der Kegel ABC ſeyn. Welches hat ſollen erwieſen werden. Anmerkungen. 1. Jn dem erſten Satz ſind vier unterſchiedliche Groͤſſen/ als die umbgeſchriebene Figur/ der Abſchnitt des Afterkegels/ die eingeſchriebene Figur/ und endlich der Kegel Z; und zwar iſt die erſte groͤſſer als die andere/ der erſten Uberreſt uͤber die dritte aber kleiner als der zweyten ih- rer uͤber die vierdte: daraus iſt geſchloſſen worden/ daß die dritte (d.i. die eingeſchriebene Figur) groͤſſer ſey als die vierdte (nehmlich als der Kegel Z.) Welches Schluſſes Waarheit dann aus beygeſetztem allgemeinen Exempel (in welchem b groͤſſer als c, und c groͤſſer als d zu ſeyn geſetzet iſt) klaͤrlich kan erſehen werden. [FORMEL] Jn dem andern Satz ſind abermal vier unterſchiedliche Groͤſſen/ nehmlich die eingeſchrie- bene Figur/ der Abſchnitt des Afterkegels/ die umbgeſchriebene Figur/ und endlich der Kegel Z; und zwar iſt umbgekehrt die erſte kleiner als die andere/ der dritten Uberreſt uͤber die erſte aber auch kleiner als der vierdten ihrer uͤber die zweyte: daraus iſt geſchloſſen worden/ daß die dritte (nehmlich die umbgeſchriebene Figur) kleiner ſey als die vierdte/ d.i. als der Kegel Z. Wel- ches Schluſſes Gewißheit abermal aus beygeſetztem allgemeinen Exempel erhellet:[FORMEL] 2. Daß die/ umb den Abſchnitt ABC beſchriebene/ Rundſaͤuligen einander gleichuͤber- treffen/ und zwar der Uberreſt des einen uͤber das andere allezeit gleich ſey dem kleineſten Rund- ſaͤuligen/ deſſen Grundſcheibe iſt ST, die Hoͤhe aber BH; wird alſo erwieſen: Das erſte groͤſ- ſeſte Rundſaͤuligen/ deſſen Grundſcheibe AC iſt/ verhaͤlt ſich gegen dem kleineſten/ auf der Grundſcheibe ST, wie die Vierung AC gegen der Vierung ST, oder wie die Vierung AD gegen der Vierung SH, Krafft des 11ten und 2. im XII. B. oder/ wann die Grund- flaͤchen ablange und einander aͤhnliche Rundungen ſind/ nach der Folge des obigen VII. Lehrſatzes; d.i. (nach der I. Betr. 7. Folge in V) wie BD gegen BH, d.i. wie 6 gegen 1, alſo daß das groͤſſeſte Rundſaͤuligen hier ſechsmal ſo groß iſt als das kleineſte. Gleicher wei- ſe wird geſchloſſen/ daß das andere fuͤnfmal/ das dritte viermal/ das vierdte dreymal/ das fuͤnfte endlich zweymal ſo groß ſey als das kleineſte und letzte: welches dann eben das jenige iſt/ das oben geſagt worden. Worbey noch zu merken/ daß Archimedis Beweiß in dieſem Stuͤkk ein wenig anderſt gehe/ aber/ meines Bedunkens/ nicht ſo leicht und deutlich; daß dannenhero nicht ohne Urſach dieſer Weg zu ſchlieſſen vor jenem beliebet worden. Der XXIV. Lehrſatz. Wann auch gleich der Abſchnitt eines Paraboliſchen After- kegels von einer/ auf die Achſe nicht ſenkrechten/ Flaͤche abge- ſchnitten worden; ſo iſt derſelbe dannoch anderthalbmal ſo groß als der Abſchnitt eines Kegels/ welcher mit ihm einerley Grund- flaͤche und Achſe/ oder Hoͤhe/ hat. Beweiß. Dieſer iſt dem vorigen ganz aͤhnlich/ wann man nur etliche wenige Puncten beobachtet. 1. Daß die Grundflaͤchen AC, KL, ST, &c. welche zuvor Schei- ben ge-

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Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 359. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/387>, abgerufen am 19.05.2024.