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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Archimedes von denen Kegel- und
[Abbildung] sey/ und ac ihr Durchmesser. Daß aber ac eben der grösseste Durchmesser
sey/ wird hier absonderlich also bewiesen: Die gedoppelte HK (als der andere
Durchmesser) verhält sich gegen ac, wie bt gegen tn, weil die Vierungen sol-
cher Lineen oben gleichverhaltend waren/ vermög des 22sten im VI. B. Nun
ist aber (vermög einer Hyperbolischen Eigenschafft/ die wir in folgender
Anmerkung beweisen wollen) bt kleiner als tn. Derowegen ist auch die ge-
doppelte HK kleiner als ac, und also ac der grösseste Durchmesser. W.Z.B.W.

Anmerkung.

Wie in vielen andern/ also auch in diesem Stükk sind die Hyperbel und Parabel unter-
schieden: Wann beyderseits den Durchmesser eine berührende Lini oberhalb des Scheitel-
puncts/ und eine aus dem Anrührungspunct ordentlich-gezogene unterhalb desselben/ durch-
schneidet (wie in beyden vorhergehenden Figuren nm und nr) so ist in der Parabel der obere
abgeschnittene Teihl des Durchmessers/ nehmlich bm, dem untern/ br gleich/ wie aus der
II. Betr. 2. Folge in V. zu ersehen; in der Hyperbel aber ist bm allezeit kleiner als br,
welches wir aus der X. Betr. in V. also erweisen: Jn dem daselbstigen Aufriß ist ci die be-
rührende Lini/ an statt nm, ch die ordentlich-gezogene/ an statt nr, der Punct h für r, und
k für b, und i für m; also daß wir nur beweisen dürfen/ daß ik kleiner sey als kh. Solches
nun folget dergestalt: Vermög derselbigen Betrachtung/ verhält sich ha gegen ka wie ka ge-
gen ia. Derowegen auch der Rest des ha über ka, gegen dem Rest des ka über ia, d.i.
hk gegen ki, wie ha gegen ka, welches für sich selbsten bekannt genug/ und doch auch von
uns in der 2. Anmerkung des IX. Lehrsatzes im II. B. von denen Gleichwichtigen
bewiesen ist. Nun ist aber ha grösser als ka, und darumb auch hk grösser als ki, oder umb-
gekehrt ki kleiner als kh, d.i. (in unsern gegenwärtigen Figuren) bm kleiner als br. Wor-
aus dann nun ferner folget/ daß auch mt kleiner sey als tn, Krafft des 2ten im VI. und
endlich (weil mt noch grösser ist als bt, vermög des 19den im I.) bt umb so viel mehr klei-
ner als tn: welches dann eben das jenige ist/ worauf sich obiger Beweiß beruffet.

Gleich wie nun in der Parabel/ oberwähnter massen/ der obere Teihl des Durchmessers
dem untern allezeit gleich/ in der Hyperbel aber der obere kleiner als der untere ist; so ist hin-
gegen in der ablangen Rundung (deren wir in diesem Fall auch noch gedenken müssen) der
obere Teihl allezeit grösser als der untere. Vermittelst nachfolgender Figur wollen wir sol-
ches kürzlich auch noch beweisen: ng ist die berührende; aus n ziehe man in Gedanken eine
Lini ordentlich/ d.i. gleichlauffend mit tb, und wo sie den Durchmesser betrifft/ sey x. Run
ist (vermög der XVI. Betr. in V.) das Rechtekk aus xq in qg gleich der Vierung qb,
d.i. (nach dem 17den des VI.) xq verhält sich gegen qb wie qb gegen qg, oder umbge-
kehrt qg gegen qb wie qb gegen qx; und derowegen auch der Rest des qg über qb, gegen
dem Rest des qb über qx, d.i. gb gegen bx, wie qg gegen qb. Nun ist aber qg grösser
als qb. Derowegen ist auch gb grösser als bx. Welches hat sollen bewiesen werden.

Der XV. Lehrsatz.

Wann eine ablange Afterkugel von einer ebenen Fläche/ schräg
auf die Achse/ zerschnitten wird; so ist solcher Durchschnitt eine ab-

lange

Archimedes von denen Kegel- und
[Abbildung] ſey/ und ac ihr Durchmeſſer. Daß aber ac eben der groͤſſeſte Durchmeſſer
ſey/ wird hier abſonderlich alſo bewieſen: Die gedoppelte HK (als der andere
Durchmeſſer) verhaͤlt ſich gegen ac, wie bt gegen tn, weil die Vierungen ſol-
cher Lineen oben gleichverhaltend waren/ vermoͤg des 22ſten im VI. B. Nun
iſt aber (vermoͤg einer Hyperboliſchen Eigenſchafft/ die wir in folgender
Anmerkung beweiſen wollen) bt kleiner als tn. Derowegen iſt auch die ge-
doppelte HK kleiner als ac, und alſo ac der groͤſſeſte Durchmeſſer. W.Z.B.W.

Anmerkung.

Wie in vielen andern/ alſo auch in dieſem Stuͤkk ſind die Hyperbel und Parabel unter-
ſchieden: Wann beyderſeits den Durchmeſſer eine beruͤhrende Lini oberhalb des Scheitel-
puncts/ und eine aus dem Anruͤhrungspunct ordentlich-gezogene unterhalb deſſelben/ durch-
ſchneidet (wie in beyden vorhergehenden Figuren nm und nr) ſo iſt in der Parabel der obere
abgeſchnittene Teihl des Durchmeſſers/ nehmlich bm, dem untern/ br gleich/ wie aus der
II. Betr. 2. Folge in V. zu erſehen; in der Hyperbel aber iſt bm allezeit kleiner als br,
welches wir aus der X. Betr. in V. alſo erweiſen: Jn dem daſelbſtigen Aufriß iſt ci die be-
ruͤhrende Lini/ an ſtatt nm, ch die ordentlich-gezogene/ an ſtatt nr, der Punct h fuͤr r, und
k fuͤr b, und i fuͤr m; alſo daß wir nur beweiſen duͤrfen/ daß ik kleiner ſey als kh. Solches
nun folget dergeſtalt: Vermoͤg derſelbigen Betrachtung/ verhaͤlt ſich ha gegen ka wie ka ge-
gen ia. Derowegen auch der Reſt des ha uͤber ka, gegen dem Reſt des ka uͤber ia, d.i.
hk gegen ki, wie ha gegen ka, welches fuͤr ſich ſelbſten bekannt genug/ und doch auch von
uns in der 2. Anmerkung des IX. Lehrſatzes im II. B. von denen Gleichwichtigen
bewieſen iſt. Nun iſt aber ha groͤſſer als ka, und darumb auch hk groͤſſer als ki, oder umb-
gekehrt ki kleiner als kh, d.i. (in unſern gegenwaͤrtigen Figuren) bm kleiner als br. Wor-
aus dann nun ferner folget/ daß auch mt kleiner ſey als tn, Krafft des 2ten im VI. und
endlich (weil mt noch groͤſſer iſt als bt, vermoͤg des 19den im I.) bt umb ſo viel mehr klei-
ner als tn: welches dann eben das jenige iſt/ worauf ſich obiger Beweiß beruffet.

Gleich wie nun in der Parabel/ oberwaͤhnter maſſen/ der obere Teihl des Durchmeſſers
dem untern allezeit gleich/ in der Hyperbel aber der obere kleiner als der untere iſt; ſo iſt hin-
gegen in der ablangen Rundung (deren wir in dieſem Fall auch noch gedenken muͤſſen) der
obere Teihl allezeit groͤſſer als der untere. Vermittelſt nachfolgender Figur wollen wir ſol-
ches kuͤrzlich auch noch beweiſen: ng iſt die beruͤhrende; aus n ziehe man in Gedanken eine
Lini ordentlich/ d.i. gleichlauffend mit tb, und wo ſie den Durchmeſſer betrifft/ ſey x. Run
iſt (vermoͤg der XVI. Betr. in V.) das Rechtekk aus xq in qg gleich der Vierung qb,
d.i. (nach dem 17den des VI.) xq verhaͤlt ſich gegen qb wie qb gegen qg, oder umbge-
kehrt qg gegen qb wie qb gegen qx; und derowegen auch der Reſt des qg uͤber qb, gegen
dem Reſt des qb uͤber qx, d.i. gb gegen bx, wie qg gegen qb. Nun iſt aber qg groͤſſer
als qb. Derowegen iſt auch gb groͤſſer als bx. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Der XV. Lehrſatz.

Wann eine ablange Afterkugel von einer ebenen Flaͤche/ ſchraͤg
auf die Achſe/ zerſchnitten wird; ſo iſt ſolcher Durchſchnitt eine ab-

lange
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[348/0376] Archimedes von denen Kegel- und [Abbildung] ſey/ und ac ihr Durchmeſſer. Daß aber ac eben der groͤſſeſte Durchmeſſer ſey/ wird hier abſonderlich alſo bewieſen: Die gedoppelte HK (als der andere Durchmeſſer) verhaͤlt ſich gegen ac, wie bt gegen tn, weil die Vierungen ſol- cher Lineen oben gleichverhaltend waren/ vermoͤg des 22ſten im VI. B. Nun iſt aber (vermoͤg einer Hyperboliſchen Eigenſchafft/ die wir in folgender Anmerkung beweiſen wollen) bt kleiner als tn. Derowegen iſt auch die ge- doppelte HK kleiner als ac, und alſo ac der groͤſſeſte Durchmeſſer. W.Z.B.W. Anmerkung. Wie in vielen andern/ alſo auch in dieſem Stuͤkk ſind die Hyperbel und Parabel unter- ſchieden: Wann beyderſeits den Durchmeſſer eine beruͤhrende Lini oberhalb des Scheitel- puncts/ und eine aus dem Anruͤhrungspunct ordentlich-gezogene unterhalb deſſelben/ durch- ſchneidet (wie in beyden vorhergehenden Figuren nm und nr) ſo iſt in der Parabel der obere abgeſchnittene Teihl des Durchmeſſers/ nehmlich bm, dem untern/ br gleich/ wie aus der II. Betr. 2. Folge in V. zu erſehen; in der Hyperbel aber iſt bm allezeit kleiner als br, welches wir aus der X. Betr. in V. alſo erweiſen: Jn dem daſelbſtigen Aufriß iſt ci die be- ruͤhrende Lini/ an ſtatt nm, ch die ordentlich-gezogene/ an ſtatt nr, der Punct h fuͤr r, und k fuͤr b, und i fuͤr m; alſo daß wir nur beweiſen duͤrfen/ daß ik kleiner ſey als kh. Solches nun folget dergeſtalt: Vermoͤg derſelbigen Betrachtung/ verhaͤlt ſich ha gegen ka wie ka ge- gen ia. Derowegen auch der Reſt des ha uͤber ka, gegen dem Reſt des ka uͤber ia, d.i. hk gegen ki, wie ha gegen ka, welches fuͤr ſich ſelbſten bekannt genug/ und doch auch von uns in der 2. Anmerkung des IX. Lehrſatzes im II. B. von denen Gleichwichtigen bewieſen iſt. Nun iſt aber ha groͤſſer als ka, und darumb auch hk groͤſſer als ki, oder umb- gekehrt ki kleiner als kh, d.i. (in unſern gegenwaͤrtigen Figuren) bm kleiner als br. Wor- aus dann nun ferner folget/ daß auch mt kleiner ſey als tn, Krafft des 2ten im VI. und endlich (weil mt noch groͤſſer iſt als bt, vermoͤg des 19den im I.) bt umb ſo viel mehr klei- ner als tn: welches dann eben das jenige iſt/ worauf ſich obiger Beweiß beruffet. Gleich wie nun in der Parabel/ oberwaͤhnter maſſen/ der obere Teihl des Durchmeſſers dem untern allezeit gleich/ in der Hyperbel aber der obere kleiner als der untere iſt; ſo iſt hin- gegen in der ablangen Rundung (deren wir in dieſem Fall auch noch gedenken muͤſſen) der obere Teihl allezeit groͤſſer als der untere. Vermittelſt nachfolgender Figur wollen wir ſol- ches kuͤrzlich auch noch beweiſen: ng iſt die beruͤhrende; aus n ziehe man in Gedanken eine Lini ordentlich/ d.i. gleichlauffend mit tb, und wo ſie den Durchmeſſer betrifft/ ſey x. Run iſt (vermoͤg der XVI. Betr. in V.) das Rechtekk aus xq in qg gleich der Vierung qb, d.i. (nach dem 17den des VI.) xq verhaͤlt ſich gegen qb wie qb gegen qg, oder umbge- kehrt qg gegen qb wie qb gegen qx; und derowegen auch der Reſt des qg uͤber qb, gegen dem Reſt des qb uͤber qx, d.i. gb gegen bx, wie qg gegen qb. Nun iſt aber qg groͤſſer als qb. Derowegen iſt auch gb groͤſſer als bx. Welches hat ſollen bewieſen werden. Der XV. Lehrſatz. Wann eine ablange Afterkugel von einer ebenen Flaͤche/ ſchraͤg auf die Achſe/ zerſchnitten wird; ſo iſt ſolcher Durchſchnitt eine ab- lange

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Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 348. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/376>, abgerufen am 25.11.2024.