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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Kugel-ähnlichen Figuren.

hergehendem I. Lehrsatz. Woraus dann folget/ daß die Helfte aller I kleiner
sey als alle A, grösser aber als alle A ohne das grösseste. Wiederumb sind
etliche Vierungen/ deren Seiten gleich-übertreffend sind/ nehmlich B, C, D, &c.
und eben so viel andere/ mit HL bezeichnete und in 3. gleiche Teihl geteihlet/
deren jede so groß ist als die Vierung B, d. i. als die grösseste unter denen vori-
gen. Derowegen sind alle diese Vierungen HL zusammen nicht gar dreymal
so groß als alle vorige Vierungen/ B, C, D, &c. auch zusammen; mehr aber
als dreymal so groß/ wann von denen vorigen die grösseste Vierung B hinweg
kommt/ vermög folgender 2. Anmerkung. Woraus wieder folget/ daß der
dritte Teihl aller Vierungen HL (d. i. alle Flächen H, oder K,) kleiner sey als
alle vorige Vierungen/ B, C, D, &c. grösser aber/ wann die Vierung B hinweg
kommet. Und folgends/ daß die Helfte aller I sambt allen H kleiner seyen als
alle A sambt allen Vierungen B, C, D, &c. d. i. als alle Flächen AB, AC,
AD, &c. grösser aber/ wann die grösseste AB hinweg kommt. Derowegen ha-
ben alle ganze Flächen IL zusammen/ gegen allen ganzen Flächen AB, AC,
AD, &c. zusammen eine kleinere Verhältnis/ als gegen der Helfte aller I sambt
allen H; oder eine grössere/ wann man dorten AB davon thut/ vermög des
8ten im V. B. Nun aber/ wie sich verhalten die ganzen Flächen IL, gegen
denen Helften von I sambt denen Flächen H, so verhält sich auch die ganze Lini
IL (d. i. AB) gegen der halben Lini I, (d. i. halb A) sambt der Lini H (d. i.
dem dritten Teihl von B) nach dem 1sten im VI. B. Derowegen haben alle
Flächen IL zusammen/ gegen allen Flächen AB, AC, AD, &c. zusammen eine
kleinere Verhältnis/ als die ganze Lini IL (d. i. AB) gegen 1/2 A sambt 1/3 B, eine
grössere aber/ wann die grösseste Fläche AB von denen andern hinweg genom-
men wird. Welches hat sollen bewiesen werden.

Anmerkungen.

1. Eben dieses können wir abermals sichtlich und augenscheinlich also beweisen: Es
seyen 6. gleiche Lineen a, und werde zu der ersten ein Stükklein g gesetzet/ und folgends die an-
dern ordentlich mit diesem Zusatz verlängert/ daß sie einander ordentlich gleich-übertreffen.
Welchem nach die erste also verlängerte Lini heissen wird a+g, die andere a+2g, die dritte
a+3g, und so fort/ die letzte und sechste endlich a+6g. So wir nun jede solche Lini durch
ihren Zusatz oder Höhe führen/ werden ihre Rechtekke oder Flächen nachfolgender Gestalt
heraus kommen:

Die erste und kleineste Fläche ist -- -- ag+gg.
Die andere -- -- -- 2ag+4gg.
Die dritte -- -- -- 3ag+9gg.
Die vierdte -- -- -- 4ag+16gg.
Die fünfte -- -- -- 5ag+25gg.
Die sechste endlich -- -- 6ag+36gg. Also daß dero-
selben Summa ist -- -- -- 21ag+91gg.

Nun sind neben diesen sechs andere Flächen gegeben/ deren jede so groß ist als die grösseste
unter denen vorigen/ nehmlich 6ag+91gg, also daß sie alle sechse zusammen machen 36ag+
216gg. Soll nun augenscheinlich bewiesen werden

1. Daß 36ag+216gg gegen 21ag+91gg eine kleinere Verhältnis habe als a+6g
gegen 1/2a+2g.

2. Daß eben dieselbe 36ag+216gg (d. i. die Summ aller gleichen Flächen) gegen
15ag+55gg (der Summ aller ungleichen Flächen/ ohne die grösseste) eine
grössere Verhältnis habe/ als a+6g gegen 1/2a+2g.

Hierzu muß nun wiederholet werden/ was wir oben/ in der 3. Anmerkung des VIII. Lehrsatzes
im II. B. von der Kugel und Rund-Säule/ auf gleiche Art bewiesen haben; daß nehmlich/

wann

Kugel-aͤhnlichen Figuren.

hergehendem I. Lehrſatz. Woraus dann folget/ daß die Helfte aller I kleiner
ſey als alle A, groͤſſer aber als alle A ohne das groͤſſeſte. Wiederumb ſind
etliche Vierungen/ deren Seiten gleich-uͤbertreffend ſind/ nehmlich B, C, D, &c.
und eben ſo viel andere/ mit HL bezeichnete und in 3. gleiche Teihl geteihlet/
deren jede ſo groß iſt als die Vierung B, d. i. als die groͤſſeſte unter denen vori-
gen. Derowegen ſind alle dieſe Vierungen HL zuſammen nicht gar dreymal
ſo groß als alle vorige Vierungen/ B, C, D, &c. auch zuſammen; mehr aber
als dreymal ſo groß/ wann von denen vorigen die groͤſſeſte Vierung B hinweg
kommt/ vermoͤg folgender 2. Anmerkung. Woraus wieder folget/ daß der
dritte Teihl aller Vierungen HL (d. i. alle Flaͤchen H, oder K,) kleiner ſey als
alle vorige Vierungen/ B, C, D, &c. groͤſſer aber/ wann die Vierung B hinweg
kommet. Und folgends/ daß die Helfte aller I ſambt allen H kleiner ſeyen als
alle A ſambt allen Vierungen B, C, D, &c. d. i. als alle Flaͤchen AB, AC,
AD, &c. groͤſſer aber/ wann die groͤſſeſte AB hinweg kommt. Derowegen ha-
ben alle ganze Flaͤchen IL zuſammen/ gegen allen ganzen Flaͤchen AB, AC,
AD, &c. zuſammen eine kleinere Verhaͤltnis/ als gegen der Helfte aller I ſambt
allen H; oder eine groͤſſere/ wann man dorten AB davon thut/ vermoͤg des
8ten im V. B. Nun aber/ wie ſich verhalten die ganzen Flaͤchen IL, gegen
denen Helften von I ſambt denen Flaͤchen H, ſo verhaͤlt ſich auch die ganze Lini
IL (d. i. AB) gegen der halben Lini I, (d. i. halb A) ſambt der Lini H (d. i.
dem dritten Teihl von B) nach dem 1ſten im VI. B. Derowegen haben alle
Flaͤchen IL zuſammen/ gegen allen Flaͤchen AB, AC, AD, &c. zuſammen eine
kleinere Verhaͤltnis/ als die ganze Lini IL (d. i. AB) gegen ½ A ſambt ⅓ B, eine
groͤſſere aber/ wann die groͤſſeſte Flaͤche AB von denen andern hinweg genom-
men wird. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Anmerkungen.

1. Eben dieſes koͤnnen wir abermals ſichtlich und augenſcheinlich alſo beweiſen: Es
ſeyen 6. gleiche Lineen a, und werde zu der erſten ein Stuͤkklein g geſetzet/ und folgends die an-
dern ordentlich mit dieſem Zuſatz verlaͤngert/ daß ſie einander ordentlich gleich-uͤbertreffen.
Welchem nach die erſte alſo verlaͤngerte Lini heiſſen wird a+g, die andere a+2g, die dritte
a+3g, und ſo fort/ die letzte und ſechſte endlich a+6g. So wir nun jede ſolche Lini durch
ihren Zuſatz oder Hoͤhe fuͤhren/ werden ihre Rechtekke oder Flaͤchen nachfolgender Geſtalt
heraus kommen:

Die erſte und kleineſte Flaͤche iſt — — ag+gg.
Die andere — — — 2ag+4gg.
Die dritte — — — 3ag+9gg.
Die vierdte — — — 4ag+16gg.
Die fuͤnfte — — — 5ag+25gg.
Die ſechſte endlich — — 6ag+36gg. Alſo daß dero-
ſelben Summa iſt — — — 21ag+91gg.

Nun ſind neben dieſen ſechs andere Flaͤchen gegeben/ deren jede ſo groß iſt als die groͤſſeſte
unter denen vorigen/ nehmlich 6ag+91gg, alſo daß ſie alle ſechſe zuſammen machen 36ag+
216gg. Soll nun augenſcheinlich bewieſen werden

1. Daß 36ag+216gg gegen 21ag+91gg eine kleinere Verhaͤltnis habe als a+6g
gegen ½a+2g.

2. Daß eben dieſelbe 36ag+216gg (d. i. die Summ aller gleichen Flaͤchen) gegen
15ag+55gg (der Summ aller ungleichen Flaͤchen/ ohne die groͤſſeſte) eine
groͤſſere Verhaͤltnis habe/ als a+6g gegen ½a+2g.

Hierzu muß nun wiederholet werden/ was wir oben/ in der 3. Anmerkung des VIII. Lehrſatzes
im II. B. von der Kugel und Rund-Saͤule/ auf gleiche Art bewieſen haben; daß nehmlich/

wann

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[327/0355] Kugel-aͤhnlichen Figuren. hergehendem I. Lehrſatz. Woraus dann folget/ daß die Helfte aller I kleiner ſey als alle A, groͤſſer aber als alle A ohne das groͤſſeſte. Wiederumb ſind etliche Vierungen/ deren Seiten gleich-uͤbertreffend ſind/ nehmlich B, C, D, &c. und eben ſo viel andere/ mit HL bezeichnete und in 3. gleiche Teihl geteihlet/ deren jede ſo groß iſt als die Vierung B, d. i. als die groͤſſeſte unter denen vori- gen. Derowegen ſind alle dieſe Vierungen HL zuſammen nicht gar dreymal ſo groß als alle vorige Vierungen/ B, C, D, &c. auch zuſammen; mehr aber als dreymal ſo groß/ wann von denen vorigen die groͤſſeſte Vierung B hinweg kommt/ vermoͤg folgender 2. Anmerkung. Woraus wieder folget/ daß der dritte Teihl aller Vierungen HL (d. i. alle Flaͤchen H, oder K,) kleiner ſey als alle vorige Vierungen/ B, C, D, &c. groͤſſer aber/ wann die Vierung B hinweg kommet. Und folgends/ daß die Helfte aller I ſambt allen H kleiner ſeyen als alle A ſambt allen Vierungen B, C, D, &c. d. i. als alle Flaͤchen AB, AC, AD, &c. groͤſſer aber/ wann die groͤſſeſte AB hinweg kommt. Derowegen ha- ben alle ganze Flaͤchen IL zuſammen/ gegen allen ganzen Flaͤchen AB, AC, AD, &c. zuſammen eine kleinere Verhaͤltnis/ als gegen der Helfte aller I ſambt allen H; oder eine groͤſſere/ wann man dorten AB davon thut/ vermoͤg des 8ten im V. B. Nun aber/ wie ſich verhalten die ganzen Flaͤchen IL, gegen denen Helften von I ſambt denen Flaͤchen H, ſo verhaͤlt ſich auch die ganze Lini IL (d. i. AB) gegen der halben Lini I, (d. i. halb A) ſambt der Lini H (d. i. dem dritten Teihl von B) nach dem 1ſten im VI. B. Derowegen haben alle Flaͤchen IL zuſammen/ gegen allen Flaͤchen AB, AC, AD, &c. zuſammen eine kleinere Verhaͤltnis/ als die ganze Lini IL (d. i. AB) gegen ½ A ſambt ⅓ B, eine groͤſſere aber/ wann die groͤſſeſte Flaͤche AB von denen andern hinweg genom- men wird. Welches hat ſollen bewieſen werden. Anmerkungen. 1. Eben dieſes koͤnnen wir abermals ſichtlich und augenſcheinlich alſo beweiſen: Es ſeyen 6. gleiche Lineen a, und werde zu der erſten ein Stuͤkklein g geſetzet/ und folgends die an- dern ordentlich mit dieſem Zuſatz verlaͤngert/ daß ſie einander ordentlich gleich-uͤbertreffen. Welchem nach die erſte alſo verlaͤngerte Lini heiſſen wird a+g, die andere a+2g, die dritte a+3g, und ſo fort/ die letzte und ſechſte endlich a+6g. So wir nun jede ſolche Lini durch ihren Zuſatz oder Hoͤhe fuͤhren/ werden ihre Rechtekke oder Flaͤchen nachfolgender Geſtalt heraus kommen: Die erſte und kleineſte Flaͤche iſt — — ag+gg. Die andere — — — 2ag+4gg. Die dritte — — — 3ag+9gg. Die vierdte — — — 4ag+16gg. Die fuͤnfte — — — 5ag+25gg. Die ſechſte endlich — — 6ag+36gg. Alſo daß dero- ſelben Summa iſt — — — 21ag+91gg. Nun ſind neben dieſen ſechs andere Flaͤchen gegeben/ deren jede ſo groß iſt als die groͤſſeſte unter denen vorigen/ nehmlich 6ag+91gg, alſo daß ſie alle ſechſe zuſammen machen 36ag+ 216gg. Soll nun augenſcheinlich bewieſen werden 1. Daß 36ag+216gg gegen 21ag+91gg eine kleinere Verhaͤltnis habe als a+6g gegen ½a+2g. 2. Daß eben dieſelbe 36ag+216gg (d. i. die Summ aller gleichen Flaͤchen) gegen 15ag+55gg (der Summ aller ungleichen Flaͤchen/ ohne die groͤſſeſte) eine groͤſſere Verhaͤltnis habe/ als a+6g gegen ½a+2g. Hierzu muß nun wiederholet werden/ was wir oben/ in der 3. Anmerkung des VIII. Lehrſatzes im II. B. von der Kugel und Rund-Saͤule/ auf gleiche Art bewieſen haben; daß nehmlich/ wann

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Zitationshilfe:	Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 327. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/355>, abgerufen am 19.05.2024.

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