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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Kugel-ähnlichen Figuren.
Anmerkung.

Wir wollen dieses durch einen augenscheinlichen Beweiß (wie wir bißher oft gethan)
also kund machen: Es sey die erste Reihe/ a, b, ea, die andere/ ea, eb, eea; da man dann
mit Augen sihet/ daß/ wie a gegen b, also ea gegen eb, und ferner wie b gegen ea, also eb gegen
eea sich verhalte. Nun sey weiter der ersten Reihe entgegen gesetzet diese: xa, zb, yea;
der andern diese: xea, zeb, yeea; da sich dann abermals/ wie a gegen xa, also in der an-
deren Reihe ea gegen xea, und wie b gegen zb, also eb gegen zeb, und wie endlich ea in
der ersten Reihe gegen yea, also eea in der andern gegen yeea sich verhält/
[Formel 1] So sage ich nun/ die ganze erste Reihe verhalte sich gegen ihrer entgegen-gesetzten (a+b+
ea gegen xa+zb+yea) wie die ganze andere Reihe gegen ihrer entgegen-gesetzten (ea+
eb+eea gegen xea+zeb+yea) welches dann/ so man das andere unter diesen vieren
durch das erste/ und das vierdte durch das dritte teihlet/ also augenscheinlich erhellet
[Formel 2] ist gleich [Formel 3]
Wer die andere Prob gebrauchen/ und die beyde äussere/ wie auch die beyde mittlere durchein-
ander führen will/ wird gleichfalls mit Augen sehen/ daß einerley beyderseits heraus komme/
und also wegen der gleichen Verhältnis dieser vier Summen desto gewisser werden.

Es deutet aber Archimedes nicht allein in dem Lehrsatz selbsten an/ sondern bemerket auch
am End seines Beweißthumes/ daß eben der Schluß folge/ wann gleich nur etliche Dinge der
ersten und anderen Reihe/ und nicht alle/ ihren Gegenstand haben/ mit welchem sie verglichen
werden; also daß/ wann gleich/ zum Exempel/ nur a gegen xa und b gegen zb, ingleichen ea
gegen xea und eb gegen zeb, die lezten aber/ ea und eea gegen nichts mehr/ gehalten wer-
den/ dannoch a+b+ea gegen xa+zb sich verhalte/ wie ea+eb+eea gegen xea
+zeb. Daß dieses gewiß sey/ wird der Augenschein geben/ wann wir die beyde äussere und
die beyde mittlere durcheinander führen/ und beyderseits einerley heraus bringen:
[Formel 4]

L. e. D.

Der III. Lehrsatz.

Wann etliche gleiche Lineen (so viel man will) gesetzet sind/
und jeder eine gewisse Fläche sambt dem Rest einer Vierung zu-
kommet/ also zwar/ daß die Seiten solcher Rest-Vierungen ein-
ander ordentlich gleich-übertreffen; der Ubertreffungs-Rest aber
gleich sey der Seiten der kleinesten Vierung; nachmals eben so
viel andere Flächen genommen werden/ deren jede der grössesten
unter denen vorigen (sambt ihrer Vierung) gleich sey: so werden
alle diese lezte Flächen zusammen/ gegen allen vorigen miteinan-
der eine kleinere Verhältnis haben/ als die jenige Lini/ welche aus
der Seite der grössesten Vierung und einer aus denen gleichen
erstgesetzten zusammgesetzet ist/ gegen einer andern/ welche dem

dritten
S s iij
Kugel-aͤhnlichen Figuren.
Anmerkung.

Wir wollen dieſes durch einen augenſcheinlichen Beweiß (wie wir bißher oft gethan)
alſo kund machen: Es ſey die erſte Reihe/ a, b, ea, die andere/ ea, eb, eea; da man dann
mit Augen ſihet/ daß/ wie a gegen b, alſo ea gegen eb, und ferner wie b gegen ea, alſo eb gegen
eea ſich verhalte. Nun ſey weiter der erſten Reihe entgegen geſetzet dieſe: xa, zb, yea;
der andern dieſe: xea, zeb, yeea; da ſich dann abermals/ wie a gegen xa, alſo in der an-
deren Reihe ea gegen xea, und wie b gegen zb, alſo eb gegen zeb, und wie endlich ea in
der erſten Reihe gegen yea, alſo eea in der andern gegen yeea ſich verhaͤlt/
[Formel 1] So ſage ich nun/ die ganze erſte Reihe verhalte ſich gegen ihrer entgegen-geſetzten (a+b+
ea gegen xa+zb+yea) wie die ganze andere Reihe gegen ihrer entgegen-geſetzten (ea+
eb+eea gegen xea+zeb+yea) welches dann/ ſo man das andere unter dieſen vieren
durch das erſte/ und das vierdte durch das dritte teihlet/ alſo augenſcheinlich erhellet
[Formel 2] iſt gleich [Formel 3]
Wer die andere Prob gebrauchen/ und die beyde aͤuſſere/ wie auch die beyde mittlere durchein-
ander fuͤhren will/ wird gleichfalls mit Augen ſehen/ daß einerley beyderſeits heraus komme/
und alſo wegen der gleichen Verhaͤltnis dieſer vier Summen deſto gewiſſer werden.

Es deutet aber Archimedes nicht allein in dem Lehrſatz ſelbſten an/ ſondern bemerket auch
am End ſeines Beweißthumes/ daß eben der Schluß folge/ wann gleich nur etliche Dinge der
erſten und anderen Reihe/ und nicht alle/ ihren Gegenſtand haben/ mit welchem ſie verglichen
werden; alſo daß/ wann gleich/ zum Exempel/ nur a gegen xa und b gegen zb, ingleichen ea
gegen xea und eb gegen zeb, die lezten aber/ ea und eea gegen nichts mehr/ gehalten wer-
den/ dannoch a+b+ea gegen xa+zb ſich verhalte/ wie ea+eb+eea gegen xea
+zeb. Daß dieſes gewiß ſey/ wird der Augenſchein geben/ wann wir die beyde aͤuſſere und
die beyde mittlere durcheinander fuͤhren/ und beyderſeits einerley heraus bringen:
[Formel 4]

L. ε. D.

Der III. Lehrſatz.

Wann etliche gleiche Lineen (ſo viel man will) geſetzet ſind/
und jeder eine gewiſſe Flaͤche ſambt dem Reſt einer Vierung zu-
kommet/ alſo zwar/ daß die Seiten ſolcher Reſt-Vierungen ein-
ander ordentlich gleich-uͤbertreffen; der Ubertreffungs-Reſt aber
gleich ſey der Seiten der kleineſten Vierung; nachmals eben ſo
viel andere Flaͤchen genommen werden/ deren jede der groͤſſeſten
unter denen vorigen (ſambt ihrer Vierung) gleich ſey: ſo werden
alle dieſe lezte Flaͤchen zuſammen/ gegen allen vorigen miteinan-
der eine kleinere Verhaͤltnis haben/ als die jenige Lini/ welche aus
der Seite der groͤſſeſten Vierung und einer aus denen gleichen
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dritten
S s iij
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[325/0353] Kugel-aͤhnlichen Figuren. Anmerkung. Wir wollen dieſes durch einen augenſcheinlichen Beweiß (wie wir bißher oft gethan) alſo kund machen: Es ſey die erſte Reihe/ a, b, ea, die andere/ ea, eb, eea; da man dann mit Augen ſihet/ daß/ wie a gegen b, alſo ea gegen eb, und ferner wie b gegen ea, alſo eb gegen eea ſich verhalte. Nun ſey weiter der erſten Reihe entgegen geſetzet dieſe: xa, zb, yea; der andern dieſe: xea, zeb, yeea; da ſich dann abermals/ wie a gegen xa, alſo in der an- deren Reihe ea gegen xea, und wie b gegen zb, alſo eb gegen zeb, und wie endlich ea in der erſten Reihe gegen yea, alſo eea in der andern gegen yeea ſich verhaͤlt/ [FORMEL] So ſage ich nun/ die ganze erſte Reihe verhalte ſich gegen ihrer entgegen-geſetzten (a+b+ ea gegen xa+zb+yea) wie die ganze andere Reihe gegen ihrer entgegen-geſetzten (ea+ eb+eea gegen xea+zeb+yea) welches dann/ ſo man das andere unter dieſen vieren durch das erſte/ und das vierdte durch das dritte teihlet/ alſo augenſcheinlich erhellet [FORMEL] iſt gleich [FORMEL] Wer die andere Prob gebrauchen/ und die beyde aͤuſſere/ wie auch die beyde mittlere durchein- ander fuͤhren will/ wird gleichfalls mit Augen ſehen/ daß einerley beyderſeits heraus komme/ und alſo wegen der gleichen Verhaͤltnis dieſer vier Summen deſto gewiſſer werden. Es deutet aber Archimedes nicht allein in dem Lehrſatz ſelbſten an/ ſondern bemerket auch am End ſeines Beweißthumes/ daß eben der Schluß folge/ wann gleich nur etliche Dinge der erſten und anderen Reihe/ und nicht alle/ ihren Gegenſtand haben/ mit welchem ſie verglichen werden; alſo daß/ wann gleich/ zum Exempel/ nur a gegen xa und b gegen zb, ingleichen ea gegen xea und eb gegen zeb, die lezten aber/ ea und eea gegen nichts mehr/ gehalten wer- den/ dannoch a+b+ea gegen xa+zb ſich verhalte/ wie ea+eb+eea gegen xea +zeb. Daß dieſes gewiß ſey/ wird der Augenſchein geben/ wann wir die beyde aͤuſſere und die beyde mittlere durcheinander fuͤhren/ und beyderſeits einerley heraus bringen: [FORMEL] L. ε. D. Der III. Lehrſatz. Wann etliche gleiche Lineen (ſo viel man will) geſetzet ſind/ und jeder eine gewiſſe Flaͤche ſambt dem Reſt einer Vierung zu- kommet/ alſo zwar/ daß die Seiten ſolcher Reſt-Vierungen ein- ander ordentlich gleich-uͤbertreffen; der Ubertreffungs-Reſt aber gleich ſey der Seiten der kleineſten Vierung; nachmals eben ſo viel andere Flaͤchen genommen werden/ deren jede der groͤſſeſten unter denen vorigen (ſambt ihrer Vierung) gleich ſey: ſo werden alle dieſe lezte Flaͤchen zuſammen/ gegen allen vorigen miteinan- der eine kleinere Verhaͤltnis haben/ als die jenige Lini/ welche aus der Seite der groͤſſeſten Vierung und einer aus denen gleichen erſtgeſetzten zuſammgeſetzet iſt/ gegen einer andern/ welche dem dritten S s iij

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Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 325. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/353>, abgerufen am 19.05.2024.