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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Kugel-ähnlichen Figuren.

Der I. Lehrsatz.

Wann etliche/ einander gleich-übertreffende Grössen sind/ und
der Rest/ mit welchem eine die andere übertrifft/ gleich ist der klei-
nesten unter denselben; so dann eben so viel andere/ deren jede der
grössesten unter den vorigen gleich ist: so werden diese letzere mit-
einander nicht gar zweymal so groß seyn als die vorigen alle mit-
einander; mehr aber dann zweymal so groß als die vorigen alle
ohne die grösseste.

Beweiß.

Archimedes sagt/ der Beweiß dieses Lehrsatzes sey offenbar/ und lässet
deswegen denselben gar aus: weswegen dann Flurantius denselben auf zweyer-
ley Weise zu ersetzen bemühet ist. Wir können seine Waarheit folgender Gestalt
nicht nur kund/ sondern zugleich allgemein machen/ daß sie nicht nur von Lineen
und Grössen/ sondern auch von allen andern Dingen/ in welchen einige Un-
gleichheit statt findet/ kan gesagt werden:

Es sey der Unterscheid oder Rest etlicher gleich-übertreffenden Dinge a,
und also das kleineste unter gemeldten gleich-übertreffenden Dingen auch a,
so wird das nächste nach dem kleinesten seyn 2a, das folgende 3a, das fernere
4a, &c. Wann wir nun/ zum Exempel diese viere setzen/ welche alle zusammen
machen 10a; und so dann eben so viel andere nehmen/ deren jedes so groß ist
als das grösseste unter denen vorigen/ nehmlich als 4a; so machen diese vier
letzere zusammen 16a, welche dann nicht gar zweymal so viel sind als die vori-
ge 10a: wann aber das grösseste von denen vorigen hinweg kombt/ und also
6a verbleiben/ mehr als zweymal so viel/ wie offenbar und vor Augen ist.
Mangeln also dort zu völliger Doppelung 4a, hier aber sind über die gesche-
hene Doppelung 4a übrig. So man die Reihe derer gleich-übertreffenden umb
eine Stelle verlängert/ wird ihre Summ seyn 15a, die Summ aber derer
letzern/ welche alle dem grössesten in jener Reihe (nehmlich 5a) gleich sind/
25a; und endlich der Mangel oder Uberrest der Verdoppelung 5a. Und also/
wann man ferner gehet/ wird zugleich befunden werden/ daß solcher Mangel
oder Uberrest jederzeit gleich sey dem grössesten in der Reihe derer gleich-über-
treffenden.

Der II. Lehrsatz.

Wann in zweyen Reihen gleich-vieler Grössen/ allezeit zwey
und zwey ordentlich-gleichverhaltend sind; Die in der ersten Reihe
aber entweder alle/ oder etliche/ gegen etlichen andern sich wie-
derumb eben so verhalten/ wie die in der andern Reihe wieder ge-
gen etlichen andern: so wird die Summ der ganzen ersten Reihe
gegen der Summ ihrer entgegen-gesetzten/ sich eben so verhalten/
wie die Summ der andern Reihe gegen der Summ ihrer auch
entgegen-gesetzten.

Erklä-

S s ij

Kugel-aͤhnlichen Figuren.

Der I. Lehrſatz.

Wann etliche/ einander gleich-uͤbertreffende Groͤſſen ſind/ und
der Reſt/ mit welchem eine die andere uͤbertrifft/ gleich iſt der klei-
neſten unter denſelben; ſo dann eben ſo viel andere/ deren jede der
groͤſſeſten unter den vorigen gleich iſt: ſo werden dieſe letzere mit-
einander nicht gar zweymal ſo groß ſeyn als die vorigen alle mit-
einander; mehr aber dann zweymal ſo groß als die vorigen alle
ohne die groͤſſeſte.

Beweiß.

Archimedes ſagt/ der Beweiß dieſes Lehrſatzes ſey offenbar/ und laͤſſet
deswegen denſelben gar aus: weswegen dann Flurantius denſelben auf zweyer-
ley Weiſe zu erſetzen bemuͤhet iſt. Wir koͤnnen ſeine Waarheit folgender Geſtalt
nicht nur kund/ ſondern zugleich allgemein machen/ daß ſie nicht nur von Lineen
und Groͤſſen/ ſondern auch von allen andern Dingen/ in welchen einige Un-
gleichheit ſtatt findet/ kan geſagt werden:

Es ſey der Unterſcheid oder Reſt etlicher gleich-uͤbertreffenden Dinge a,
und alſo das kleineſte unter gemeldten gleich-uͤbertreffenden Dingen auch a,
ſo wird das naͤchſte nach dem kleineſten ſeyn 2a, das folgende 3a, das fernere
4a, &c. Wann wir nun/ zum Exempel dieſe viere ſetzen/ welche alle zuſammen
machen 10a; und ſo dann eben ſo viel andere nehmen/ deren jedes ſo groß iſt
als das groͤſſeſte unter denen vorigen/ nehmlich als 4a; ſo machen dieſe vier
letzere zuſammen 16a, welche dann nicht gar zweymal ſo viel ſind als die vori-
ge 10a: wann aber das groͤſſeſte von denen vorigen hinweg kombt/ und alſo
6a verbleiben/ mehr als zweymal ſo viel/ wie offenbar und vor Augen iſt.
Mangeln alſo dort zu voͤlliger Doppelung 4a, hier aber ſind uͤber die geſche-
hene Doppelung 4a uͤbrig. So man die Reihe derer gleich-uͤbertreffenden umb
eine Stelle verlaͤngert/ wird ihre Summ ſeyn 15a, die Summ aber derer
letzern/ welche alle dem groͤſſeſten in jener Reihe (nehmlich 5a) gleich ſind/
25a; und endlich der Mangel oder Uberreſt der Verdoppelung 5a. Und alſo/
wann man ferner gehet/ wird zugleich befunden werden/ daß ſolcher Mangel
oder Uberreſt jederzeit gleich ſey dem groͤſſeſten in der Reihe derer gleich-uͤber-
treffenden.

Der II. Lehrſatz.

Wann in zweyen Reihen gleich-vieler Groͤſſen/ allezeit zwey
und zwey ordentlich-gleichverhaltend ſind; Die in der erſten Reihe
aber entweder alle/ oder etliche/ gegen etlichen andern ſich wie-
derumb eben ſo verhalten/ wie die in der andern Reihe wieder ge-
gen etlichen andern: ſo wird die Summ der ganzen erſten Reihe
gegen der Summ ihrer entgegen-geſetzten/ ſich eben ſo verhalten/
wie die Summ der andern Reihe gegen der Summ ihrer auch
entgegen-geſetzten.

Erklaͤ-

S s ij

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[323/0351] Kugel-aͤhnlichen Figuren. Der I. Lehrſatz. Wann etliche/ einander gleich-uͤbertreffende Groͤſſen ſind/ und der Reſt/ mit welchem eine die andere uͤbertrifft/ gleich iſt der klei- neſten unter denſelben; ſo dann eben ſo viel andere/ deren jede der groͤſſeſten unter den vorigen gleich iſt: ſo werden dieſe letzere mit- einander nicht gar zweymal ſo groß ſeyn als die vorigen alle mit- einander; mehr aber dann zweymal ſo groß als die vorigen alle ohne die groͤſſeſte. Beweiß. Archimedes ſagt/ der Beweiß dieſes Lehrſatzes ſey offenbar/ und laͤſſet deswegen denſelben gar aus: weswegen dann Flurantius denſelben auf zweyer- ley Weiſe zu erſetzen bemuͤhet iſt. Wir koͤnnen ſeine Waarheit folgender Geſtalt nicht nur kund/ ſondern zugleich allgemein machen/ daß ſie nicht nur von Lineen und Groͤſſen/ ſondern auch von allen andern Dingen/ in welchen einige Un- gleichheit ſtatt findet/ kan geſagt werden: Es ſey der Unterſcheid oder Reſt etlicher gleich-uͤbertreffenden Dinge a, und alſo das kleineſte unter gemeldten gleich-uͤbertreffenden Dingen auch a, ſo wird das naͤchſte nach dem kleineſten ſeyn 2a, das folgende 3a, das fernere 4a, &c. Wann wir nun/ zum Exempel dieſe viere ſetzen/ welche alle zuſammen machen 10a; und ſo dann eben ſo viel andere nehmen/ deren jedes ſo groß iſt als das groͤſſeſte unter denen vorigen/ nehmlich als 4a; ſo machen dieſe vier letzere zuſammen 16a, welche dann nicht gar zweymal ſo viel ſind als die vori- ge 10a: wann aber das groͤſſeſte von denen vorigen hinweg kombt/ und alſo 6a verbleiben/ mehr als zweymal ſo viel/ wie offenbar und vor Augen iſt. Mangeln alſo dort zu voͤlliger Doppelung 4a, hier aber ſind uͤber die geſche- hene Doppelung 4a uͤbrig. So man die Reihe derer gleich-uͤbertreffenden umb eine Stelle verlaͤngert/ wird ihre Summ ſeyn 15a, die Summ aber derer letzern/ welche alle dem groͤſſeſten in jener Reihe (nehmlich 5a) gleich ſind/ 25a; und endlich der Mangel oder Uberreſt der Verdoppelung 5a. Und alſo/ wann man ferner gehet/ wird zugleich befunden werden/ daß ſolcher Mangel oder Uberreſt jederzeit gleich ſey dem groͤſſeſten in der Reihe derer gleich-uͤber- treffenden. Der II. Lehrſatz. Wann in zweyen Reihen gleich-vieler Groͤſſen/ allezeit zwey und zwey ordentlich-gleichverhaltend ſind; Die in der erſten Reihe aber entweder alle/ oder etliche/ gegen etlichen andern ſich wie- derumb eben ſo verhalten/ wie die in der andern Reihe wieder ge- gen etlichen andern: ſo wird die Summ der ganzen erſten Reihe gegen der Summ ihrer entgegen-geſetzten/ ſich eben ſo verhalten/ wie die Summ der andern Reihe gegen der Summ ihrer auch entgegen-geſetzten. Erklaͤ- S s ij

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Zitationshilfe:	Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 323. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/351>, abgerufen am 19.05.2024.

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