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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Parabel-Vierung.
V.

Hieraus ist nun offenbar/ daß jede Parabel-Fläche überdritteihlig
sey des Dreyekkes/ welches mit ihr einerley Grund-Lini und gleiche
Höhe hat.

Die Sache ist klar/ wann man in voriger Figur die Lini LA ziehet. Dann das
Dreyekk LAD ist gleich dem Vierekk CM. Derowegen/ wann LAD 3 ist/ so ist
(vermög des nächsten Beweises) APYaDM 1; die übrige Fläche APYaDC
aber 2, und folgends die ganze Parabel-Fläche LAPYaD, 4. Welches hat sollen be-
wiesen werden.

NB. Dieser Weg ist/ sonderlich in denen beyden lezten Sätzen/ des Archimedis seinem Er-
sten/ in dem XVI. und XVII. Lehrsatz enthaltenen/ sehr ähnlich/ wie aus dero Ge-
geneinanderhaltung erscheinen wird. Jm übrigen wollen wir zum Beschluß noch
versuchen/ unserem/ am End des II. Buchs von denen Gleichwichtigen und
Schwärepuncten geschehenen/ Versprechen ein Genügen zu leisten/ und folgende
beyde Aufgaben vermittelst der Buchstaben-Rechnung aufzulösen.

Die Erste Aufgab.

Einer jeden fürgegebenen Parabel-Fläche (als LBAPD)
Schwärepunct zu finden.

Man setze/ K sey der begehrte Schwärepunct/ und S der Schwärepunct des Drey-
ekkes LAD, V und X aber die Schwärepuncten beyder Parabel-Stükke LBA und
APD: Welchem nach T, der/ aus besagten Parabel-Stükken zusammgesetzten/
Grösse Schwärepunct seyn wird.

So man nun für CA setzet a, so wird EB oder
IP 1/4 a, (wie im 1. Weg dieses Anhangs bewiesen
worden) und AS 2/3 a. Darnach so man für AK
setzet z, ist CK gleich a-z. Dieweil nun CA
gegen KA, d. i. a gegen z, sich verhält/ wie EB
oder IP (d. i. 1/4 a) gegen BV oder PX; so ist BV
oder PX gleich 1/4 z, und folgends EV oder IX
1/4 a-1/4 z, oder . So man aber FE oder
HI (d. i. 1/2 a) hinzu setzet/ wird FV, oder HX,
oder CT, 3/4a-1/4z oder .

[Abbildung]

Ferner/ wann CK (a-z) von CT (das ist/ von ) genommen wird/ so
bleibt KT gleich . Wann aber AK, d. i. z, von AS ( 2/3 a) genommen wird/
bleibt KS gleich 2/3 a-z. Nun verhält sich aber KT gegen KS, wie das Dreyekk
LAD gegen denen beyden Parabel-Stükken LBA und APD zusammen/ d. i.
(Krafft vorhergehender Parabel-Vierung) wie 3 gegen 1. Derowegen ver-
hält sich
Wie gegen 2/3 a-z, also 3 gegen 1.
So man nun beyde äussere und beyde mittlere ineinander führet/ wird gleich
2a-3z. Und so man beydes mit 4 vervielfältiget/ 3z-a gleich 8a-12z; und/
so man beyderseits a darzu thut/ 3z gleich 9a-12z; und so man beyderseits 12z darzu
thut/ 15z gleich 9a; und endlich/ so man beydes durch 15 teihlet/ z gleich a, d. i. 3/5 a.
Woraus dann erhellet/ daß/ zu Bestimmung des Schwärepunctes K, AC müsse in 5
gleiche Teihl geteihlet/ und für AK 3 deroselben genommen werden; Welches dann mit
unsers Archimedis VIII. Lehrsatz im II. Buch von denen Gleichwichtigen richtig über-
ein stimmet.

Die
Parabel-Vierung.
V.

Hieraus iſt nun offenbar/ daß jede Parabel-Flaͤche uͤberdritteihlig
ſey des Dreyekkes/ welches mit ihr einerley Grund-Lini und gleiche
Hoͤhe hat.

Die Sache iſt klar/ wann man in voriger Figur die Lini LA ziehet. Dann das
Dreyekk LAD iſt gleich dem Vierekk CM. Derowegen/ wann LAD 3 iſt/ ſo iſt
(vermoͤg des naͤchſten Beweiſes) APYaDM 1; die uͤbrige Flaͤche APYaDC
aber 2, und folgends die ganze Parabel-Flaͤche LAPYaD, 4. Welches hat ſollen be-
wieſen werden.

NB. Dieſer Weg iſt/ ſonderlich in denen beyden lezten Saͤtzen/ des Archimedis ſeinem Er-
ſten/ in dem XVI. und XVII. Lehrſatz enthaltenen/ ſehr aͤhnlich/ wie aus dero Ge-
geneinanderhaltung erſcheinen wird. Jm uͤbrigen wollen wir zum Beſchluß noch
verſuchen/ unſerem/ am End des II. Buchs von denen Gleichwichtigen und
Schwaͤrepuncten geſchehenen/ Verſprechen ein Genuͤgen zu leiſten/ und folgende
beyde Aufgaben vermittelſt der Buchſtaben-Rechnung aufzuloͤſen.

Die Erſte Aufgab.

Einer jeden fuͤrgegebenen Parabel-Flaͤche (als LBAPD)
Schwaͤrepunct zu finden.

Man ſetze/ K ſey der begehrte Schwaͤrepunct/ und S der Schwaͤrepunct des Drey-
ekkes LAD, V und X aber die Schwaͤrepuncten beyder Parabel-Stuͤkke LBA und
APD: Welchem nach T, der/ aus beſagten Parabel-Stuͤkken zuſammgeſetzten/
Groͤſſe Schwaͤrepunct ſeyn wird.

So man nun fuͤr CA ſetzet a, ſo wird EB oder
IP ¼ a, (wie im 1. Weg dieſes Anhangs bewieſen
worden) und AS ⅔ a. Darnach ſo man fuͤr AK
ſetzet z, iſt CK gleich a-z. Dieweil nun CA
gegen KA, d. i. a gegen z, ſich verhaͤlt/ wie EB
oder IP (d. i. ¼ a) gegen BV oder PX; ſo iſt BV
oder PX gleich ¼ z, und folgends EV oder IX
¼ a-¼ z, oder . So man aber FE oder
HI (d. i. ½ a) hinzu ſetzet/ wird FV, oder HX,
oder CT, ¾a-¼z oder .

[Abbildung]

Ferner/ wann CK (a-z) von CT (das iſt/ von ) genommen wird/ ſo
bleibt KT gleich . Wann aber AK, d. i. z, von AS (⅔a) genommen wird/
bleibt KS gleich ⅔a-z. Nun verhaͤlt ſich aber KT gegen KS, wie das Dreyekk
LAD gegen denen beyden Parabel-Stuͤkken LBA und APD zuſammen/ d. i.
(Krafft vorhergehender Parabel-Vierung) wie 3 gegen 1. Derowegen ver-
haͤlt ſich
Wie gegen ⅔a-z, alſo 3 gegen 1.
So man nun beyde aͤuſſere und beyde mittlere ineinander fuͤhret/ wird gleich
2a-3z. Und ſo man beydes mit 4 vervielfaͤltiget/ 3z-a gleich 8a-12z; und/
ſo man beyderſeits a darzu thut/ 3z gleich 9a-12z; und ſo man beyderſeits 12z darzu
thut/ 15z gleich 9a; und endlich/ ſo man beydes durch 15 teihlet/ z gleich a, d. i. ⅗a.
Woraus dann erhellet/ daß/ zu Beſtimmung des Schwaͤrepunctes K, AC muͤſſe in 5
gleiche Teihl geteihlet/ und fuͤr AK 3 deroſelben genommen werden; Welches dann mit
unſers Archimedis VIII. Lehrſatz im II. Buch von denen Gleichwichtigen richtig uͤber-
ein ſtimmet.

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[311/0339] Parabel-Vierung. V. Hieraus iſt nun offenbar/ daß jede Parabel-Flaͤche uͤberdritteihlig ſey des Dreyekkes/ welches mit ihr einerley Grund-Lini und gleiche Hoͤhe hat. Die Sache iſt klar/ wann man in voriger Figur die Lini LA ziehet. Dann das Dreyekk LAD iſt gleich dem Vierekk CM. Derowegen/ wann LAD 3 iſt/ ſo iſt (vermoͤg des naͤchſten Beweiſes) APYaDM 1; die uͤbrige Flaͤche APYaDC aber 2, und folgends die ganze Parabel-Flaͤche LAPYaD, 4. Welches hat ſollen be- wieſen werden. NB. Dieſer Weg iſt/ ſonderlich in denen beyden lezten Saͤtzen/ des Archimedis ſeinem Er- ſten/ in dem XVI. und XVII. Lehrſatz enthaltenen/ ſehr aͤhnlich/ wie aus dero Ge- geneinanderhaltung erſcheinen wird. Jm uͤbrigen wollen wir zum Beſchluß noch verſuchen/ unſerem/ am End des II. Buchs von denen Gleichwichtigen und Schwaͤrepuncten geſchehenen/ Verſprechen ein Genuͤgen zu leiſten/ und folgende beyde Aufgaben vermittelſt der Buchſtaben-Rechnung aufzuloͤſen. Die Erſte Aufgab. Einer jeden fuͤrgegebenen Parabel-Flaͤche (als LBAPD) Schwaͤrepunct zu finden. Man ſetze/ K ſey der begehrte Schwaͤrepunct/ und S der Schwaͤrepunct des Drey- ekkes LAD, V und X aber die Schwaͤrepuncten beyder Parabel-Stuͤkke LBA und APD: Welchem nach T, der/ aus beſagten Parabel-Stuͤkken zuſammgeſetzten/ Groͤſſe Schwaͤrepunct ſeyn wird. So man nun fuͤr CA ſetzet a, ſo wird EB oder IP ¼ a, (wie im 1. Weg dieſes Anhangs bewieſen worden) und AS ⅔ a. Darnach ſo man fuͤr AK ſetzet z, iſt CK gleich a-z. Dieweil nun CA gegen KA, d. i. a gegen z, ſich verhaͤlt/ wie EB oder IP (d. i. ¼ a) gegen BV oder PX; ſo iſt BV oder PX gleich ¼ z, und folgends EV oder IX ¼ a-¼ z, oder [FORMEL]. So man aber FE oder HI (d. i. ½ a) hinzu ſetzet/ wird FV, oder HX, oder CT, ¾a-¼z oder [FORMEL]. [Abbildung] Ferner/ wann CK (a-z) von CT (das iſt/ von [FORMEL]) genommen wird/ ſo bleibt KT gleich [FORMEL]. Wann aber AK, d. i. z, von AS (⅔a) genommen wird/ bleibt KS gleich ⅔a-z. Nun verhaͤlt ſich aber KT gegen KS, wie das Dreyekk LAD gegen denen beyden Parabel-Stuͤkken LBA und APD zuſammen/ d. i. (Krafft vorhergehender Parabel-Vierung) wie 3 gegen 1. Derowegen ver- haͤlt ſich Wie [FORMEL] gegen ⅔a-z, alſo 3 gegen 1. So man nun beyde aͤuſſere und beyde mittlere ineinander fuͤhret/ wird [FORMEL] gleich 2a-3z. Und ſo man beydes mit 4 vervielfaͤltiget/ 3z-a gleich 8a-12z; und/ ſo man beyderſeits a darzu thut/ 3z gleich 9a-12z; und ſo man beyderſeits 12z darzu thut/ 15z gleich 9a; und endlich/ ſo man beydes durch 15 teihlet/ z gleich [FORMEL]a, d. i. ⅗a. Woraus dann erhellet/ daß/ zu Beſtimmung des Schwaͤrepunctes K, AC muͤſſe in 5 gleiche Teihl geteihlet/ und fuͤr AK 3 deroſelben genommen werden; Welches dann mit unſers Archimedis VIII. Lehrſatz im II. Buch von denen Gleichwichtigen richtig uͤber- ein ſtimmet. Die

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Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 311. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/339>, abgerufen am 22.11.2024.