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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Archimedis
VX, TW und NO gegen denen Vierungen Vb, TZ und NQ sich verhalten/ wie
die Lineen MD, VX, TW und NO, gegen denen Lineen Va, TY und NP; so fol-
get/ daß auch alle Lineen MD, VX, TW und NO zusammen mehr dann dreymal so
groß seyen als Va, TY und NP miteinander; und also (Krafft des 1sten im VI.)
die Vierekk XM, WV, OT und CN zusammen/ d. i. das Vierekk CM, mehr dann
dreymal so groß als die Vierekke aM, YV und PT zusammen. Welches fürs andere
hat sollen bewiesen werden.

NB. Damit man des Archimedis angezogenen Lehrsatz gar nicht bedürfe/ kan/
daß die Vierungen MD, VX, TW und NO zusammen nicht gar dreymal
so groß seyen als die Vierungen MD, Vb, TZ und NQ; mehr aber dann
dreymal so groß als die Vierungen Vb, TZ und NQ, für sich selbsten
also bewiesen werden: Man setze für NQ, b, so ist TZ 2b, Vb 3b und
MD 4b. Derer Vierungen zusammen machen 30bb. Die Vierungen de-
rer drey ersten aber ohne MD, machen 14bb. Alle Vierungen aber derer
gleichen Lineen/ deren jede ist 4b, machen zusammen 64bb. So ist nun
offenbar/ daß 64 nicht gar dreymal so groß sey als 30, mehr aber dann
dreymal so groß als 14.

IV.

So man nun/ über bißher-besagtes/ die Fläche i setzet zu seyn den
dritten Teihl des Vierekkes CM; so sage ich/ die dreyekkichte Fläche
APYaDM sey der Fläche i gleich.

Dann/ wo sie derselben nicht gleich ist/ so wird sie entweder grösser oder klei-
ner seyn.

I. Satz. Man setze fürs erste/ sie sey grösser/ und vervielfältige den Uberrest so
oft/ biß die Summ übertreffe das Vierekk CM. So kan demnach ein gewisser auf-
hebender Teihl des bemeldten Vierekkes gegeben werden/ welcher kleiner ist als besagter
Rest/ zum Exempel das Vierekk CN; welchem nach auch AN ein gewisser aufheben-
der Teihl der Lini AM seyn wird. So teihle man dann die ganze AM in lauter solche
Teihle wie AN, und verrichte das übrige/ was oben gesagt worden. Dieweil nun CN
kleiner ist als der Rest/ mit welchem APYaDM das i übertrifft/ so folget/ daß CN
sambt i kleiner sey als erstgenannte Fläche APYaDM; und umb so viel mehr kleiner
als die Vierekke cN, eT, gV und XM. Nun sind aber dem Vierekk CN gleich die
Vierekke cN, ed, gf und Xh. Derowegen/ so man beyderseits ersterwähnte Vier-
ekke hinweg thut/ so bleibt i kleiner als PT, YV und aM; und weil CM dreymal so
groß ist als i, so muß folgends CM nicht gar dreymal so groß seyn als PT, YV, und
aM: Welches aber unmöglich/ und vorhergehenden III. Satz zu wider ist. Kan dere-
wegen die Fläche APYaDM nicht grösser seyn als i.

II. Satz. Man setze fürs andere/ sie sey kleiner/ und setze den Uberrest des i über
besagte Fläche wieder so oft zu ihm selber/ biß die Summ übertreffe das Vierekk CM, &c.
wie oben.

Dieweil nun CN kleiner ist als der Rest des i über APYaDM, so ist APY
aDM sambt CN kleiner als i. Es ist aber i kleiner als die Vierekke cN, eT, gV
und XM zusammen; [dann CM ist dreymal so groß als i gesetzet/ und aber nicht gar
dreymal so groß als erzehlte Vierekke/ Laut vorhergehenden III. Satzes.] Dero-
wegen ist umb so viel mehr APYaDM sambt CN kleiner als cN, eT, gV und XM
zusammen. So man nun beyderseits die Fläche APYaDM hinweg nimmt/ so muß
CN annoch kleiner bleiben als die übrige Flächen cAP, ePY, gYa und XaD: Wel-
ches aber unmöglich ist/ sintemal CN gleich ist dem cN sambt ed, gf und Xh. Kan
derowegen die Fläche APYaDM nicht kleiner seyn als i, sondern muß (weil sie auch
nicht grösser ist) demselben nohtwendig gleich seyn. W. Z. B. W.

V. Hier-

Archimedis
VX, TW und NO gegen denen Vierungen Vb, TZ und NQ ſich verhalten/ wie
die Lineen MD, VX, TW und NO, gegen denen Lineen Va, TY und NP; ſo fol-
get/ daß auch alle Lineen MD, VX, TW und NO zuſammen mehr dann dreymal ſo
groß ſeyen als Va, TY und NP miteinander; und alſo (Krafft des 1ſten im VI.)
die Vierekk XM, WV, OT und CN zuſammen/ d. i. das Vierekk CM, mehr dann
dreymal ſo groß als die Vierekke aM, YV und PT zuſammen. Welches fuͤrs andere
hat ſollen bewieſen werden.

NB. Damit man des Archimedis angezogenen Lehrſatz gar nicht beduͤrfe/ kan/
daß die Vierungen MD, VX, TW und NO zuſammen nicht gar dreymal
ſo groß ſeyen als die Vierungen MD, Vb, TZ und NQ; mehr aber dann
dreymal ſo groß als die Vierungen Vb, TZ und NQ, fuͤr ſich ſelbſten
alſo bewieſen werden: Man ſetze fuͤr NQ, b, ſo iſt TZ 2b, Vb 3b und
MD 4b. Derer Vierungen zuſammen machen 30bb. Die Vierungen de-
rer drey erſten aber ohne MD, machen 14bb. Alle Vierungen aber derer
gleichen Lineen/ deren jede iſt 4b, machen zuſammen 64bb. So iſt nun
offenbar/ daß 64 nicht gar dreymal ſo groß ſey als 30, mehr aber dann
dreymal ſo groß als 14.

IV.

So man nun/ uͤber bißher-beſagtes/ die Flaͤche i ſetzet zu ſeyn den
dritten Teihl des Vierekkes CM; ſo ſage ich/ die dreyekkichte Flaͤche
APYaDM ſey der Flaͤche i gleich.

Dann/ wo ſie derſelben nicht gleich iſt/ ſo wird ſie entweder groͤſſer oder klei-
ner ſeyn.

I. Satz. Man ſetze fuͤrs erſte/ ſie ſey groͤſſer/ und vervielfaͤltige den Uberreſt ſo
oft/ biß die Summ uͤbertreffe das Vierekk CM. So kan demnach ein gewiſſer auf-
hebender Teihl des bemeldten Vierekkes gegeben werden/ welcher kleiner iſt als beſagter
Reſt/ zum Exempel das Vierekk CN; welchem nach auch AN ein gewiſſer aufheben-
der Teihl der Lini AM ſeyn wird. So teihle man dann die ganze AM in lauter ſolche
Teihle wie AN, und verrichte das uͤbrige/ was oben geſagt worden. Dieweil nun CN
kleiner iſt als der Reſt/ mit welchem APYaDM das i uͤbertrifft/ ſo folget/ daß CN
ſambt i kleiner ſey als erſtgenannte Flaͤche APYaDM; und umb ſo viel mehr kleiner
als die Vierekke cN, eT, gV und XM. Nun ſind aber dem Vierekk CN gleich die
Vierekke cN, ed, gf und Xh. Derowegen/ ſo man beyderſeits erſterwaͤhnte Vier-
ekke hinweg thut/ ſo bleibt i kleiner als PT, YV und aM; und weil CM dreymal ſo
groß iſt als i, ſo muß folgends CM nicht gar dreymal ſo groß ſeyn als PT, YV, und
aM: Welches aber unmoͤglich/ und vorhergehenden III. Satz zu wider iſt. Kan dere-
wegen die Flaͤche APYaDM nicht groͤſſer ſeyn als i.

II. Satz. Man ſetze fuͤrs andere/ ſie ſey kleiner/ und ſetze den Uberreſt des i uͤber
beſagte Flaͤche wieder ſo oft zu ihm ſelber/ biß die Summ uͤbertreffe das Vierekk CM, &c.
wie oben.

Dieweil nun CN kleiner iſt als der Reſt des i uͤber APYaDM, ſo iſt APY
aDM ſambt CN kleiner als i. Es iſt aber i kleiner als die Vierekke cN, eT, gV
und XM zuſammen; [dann CM iſt dreymal ſo groß als i geſetzet/ und aber nicht gar
dreymal ſo groß als erzehlte Vierekke/ Laut vorhergehenden III. Satzes.] Dero-
wegen iſt umb ſo viel mehr APYaDM ſambt CN kleiner als cN, eT, gV und XM
zuſammen. So man nun beyderſeits die Flaͤche APYaDM hinweg nimmt/ ſo muß
CN annoch kleiner bleiben als die uͤbrige Flaͤchen cAP, ePY, gYa und XaD: Wel-
ches aber unmoͤglich iſt/ ſintemal CN gleich iſt dem cN ſambt ed, gf und Xh. Kan
derowegen die Flaͤche APYaDM nicht kleiner ſeyn als i, ſondern muß (weil ſie auch
nicht groͤſſer iſt) demſelben nohtwendig gleich ſeyn. W. Z. B. W.

V. Hier-
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[310/0338] Archimedis VX, TW und NO gegen denen Vierungen Vb, TZ und NQ ſich verhalten/ wie die Lineen MD, VX, TW und NO, gegen denen Lineen Va, TY und NP; ſo fol- get/ daß auch alle Lineen MD, VX, TW und NO zuſammen mehr dann dreymal ſo groß ſeyen als Va, TY und NP miteinander; und alſo (Krafft des 1ſten im VI.) die Vierekk XM, WV, OT und CN zuſammen/ d. i. das Vierekk CM, mehr dann dreymal ſo groß als die Vierekke aM, YV und PT zuſammen. Welches fuͤrs andere hat ſollen bewieſen werden. NB. Damit man des Archimedis angezogenen Lehrſatz gar nicht beduͤrfe/ kan/ daß die Vierungen MD, VX, TW und NO zuſammen nicht gar dreymal ſo groß ſeyen als die Vierungen MD, Vb, TZ und NQ; mehr aber dann dreymal ſo groß als die Vierungen Vb, TZ und NQ, fuͤr ſich ſelbſten alſo bewieſen werden: Man ſetze fuͤr NQ, b, ſo iſt TZ 2b, Vb 3b und MD 4b. Derer Vierungen zuſammen machen 30bb. Die Vierungen de- rer drey erſten aber ohne MD, machen 14bb. Alle Vierungen aber derer gleichen Lineen/ deren jede iſt 4b, machen zuſammen 64bb. So iſt nun offenbar/ daß 64 nicht gar dreymal ſo groß ſey als 30, mehr aber dann dreymal ſo groß als 14. IV. So man nun/ uͤber bißher-beſagtes/ die Flaͤche i ſetzet zu ſeyn den dritten Teihl des Vierekkes CM; ſo ſage ich/ die dreyekkichte Flaͤche APYaDM ſey der Flaͤche i gleich. Dann/ wo ſie derſelben nicht gleich iſt/ ſo wird ſie entweder groͤſſer oder klei- ner ſeyn. I. Satz. Man ſetze fuͤrs erſte/ ſie ſey groͤſſer/ und vervielfaͤltige den Uberreſt ſo oft/ biß die Summ uͤbertreffe das Vierekk CM. So kan demnach ein gewiſſer auf- hebender Teihl des bemeldten Vierekkes gegeben werden/ welcher kleiner iſt als beſagter Reſt/ zum Exempel das Vierekk CN; welchem nach auch AN ein gewiſſer aufheben- der Teihl der Lini AM ſeyn wird. So teihle man dann die ganze AM in lauter ſolche Teihle wie AN, und verrichte das uͤbrige/ was oben geſagt worden. Dieweil nun CN kleiner iſt als der Reſt/ mit welchem APYaDM das i uͤbertrifft/ ſo folget/ daß CN ſambt i kleiner ſey als erſtgenannte Flaͤche APYaDM; und umb ſo viel mehr kleiner als die Vierekke cN, eT, gV und XM. Nun ſind aber dem Vierekk CN gleich die Vierekke cN, ed, gf und Xh. Derowegen/ ſo man beyderſeits erſterwaͤhnte Vier- ekke hinweg thut/ ſo bleibt i kleiner als PT, YV und aM; und weil CM dreymal ſo groß iſt als i, ſo muß folgends CM nicht gar dreymal ſo groß ſeyn als PT, YV, und aM: Welches aber unmoͤglich/ und vorhergehenden III. Satz zu wider iſt. Kan dere- wegen die Flaͤche APYaDM nicht groͤſſer ſeyn als i. II. Satz. Man ſetze fuͤrs andere/ ſie ſey kleiner/ und ſetze den Uberreſt des i uͤber beſagte Flaͤche wieder ſo oft zu ihm ſelber/ biß die Summ uͤbertreffe das Vierekk CM, &c. wie oben. Dieweil nun CN kleiner iſt als der Reſt des i uͤber APYaDM, ſo iſt APY aDM ſambt CN kleiner als i. Es iſt aber i kleiner als die Vierekke cN, eT, gV und XM zuſammen; [dann CM iſt dreymal ſo groß als i geſetzet/ und aber nicht gar dreymal ſo groß als erzehlte Vierekke/ Laut vorhergehenden III. Satzes.] Dero- wegen iſt umb ſo viel mehr APYaDM ſambt CN kleiner als cN, eT, gV und XM zuſammen. So man nun beyderſeits die Flaͤche APYaDM hinweg nimmt/ ſo muß CN annoch kleiner bleiben als die uͤbrige Flaͤchen cAP, ePY, gYa und XaD: Wel- ches aber unmoͤglich iſt/ ſintemal CN gleich iſt dem cN ſambt ed, gf und Xh. Kan derowegen die Flaͤche APYaDM nicht kleiner ſeyn als i, ſondern muß (weil ſie auch nicht groͤſſer iſt) demſelben nohtwendig gleich ſeyn. W. Z. B. W. V. Hier-

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Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 310. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/338>, abgerufen am 12.05.2024.