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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Gleichwichtigkeit und Gewicht-Mittel.
QR) gegen RI: Woraus dann nun endlich folget (vermög des VIII. Lehr-
satzes im I. Buch) daß I der Schwäre-Punct des abgenommenen Stükkes
ADEC sey: Welches eben hat sollen bewiesen werden.

Anmerkungen.

1. Hier muß zu förderst dieses noch gewiß gemachet werden/ daß ABC gegen DBE
sich verhalte/ wie der Würfel AF gegen dem Würfel DG. Solches nun wird/ nach An-
leitung Eutokii/ folgender Gestalt verrichtet: Wann man im Sinn innerhalb beyden Para-
beln beschreibet die Dreyekke ABC, DBE, so verhält sich (vermög der Parabel-Vierung)
wie die Parabel ABC gegen ihrem gleichso-genannten Dreyekk/ also die Parabel DBE ge-
gen ihrem Dreyekk; und verwechselt/ die Parabeln gegen einander/ wie ihre Dreyekke/ oder
(welches gleich viel ist/ vermög des 15den im V. B.) wie die Helften ihrer Dreyekke/
nehmlich wie ABF gegen DBG. Nun aber haben diese beyde Dreyekke ABF und DBG
bey G und F gleiche Winkel/ weil AF und DG gleichlauffen/ nach dem 29sten im I. B.
Derowegen ist ihre Verhältnis (und also auch die Verhältnis der Parabel ABC gegen der
Parabel DBG) zusammgesetzet aus beyden Verhältnissen/ der Lini AF gegen DG und BF
gegen BG, vermög der Folge des 23sten im VI. B. Es verhält sich aber wie BF gegen
BG, also die Vierung AF gegen der Vierung DG (Laut der I. Betr. 7der Folge in V.)
Derohalben ist die Verhältnis der Parabel ABC gegen der Parabel DBG zusammgesetzet
aus zweyen Verhältnissen/ nehmlich der Lini AF gegen der Lini DG und der Vierung von
AF gegen der Vierung von DG. Eben aus diesen beyden Verhältnissen aber ist zusammge-
setzet die Verhältnis des Würfels von AF gegen dem Würfel von DG, vermög des 33sten
im XI. B. und der 10den Worterklärung im V. B. [Besihe hierbeneben unsere
1. Anmerkung bey dem IV. Lehrsatz des II. Buchs von der Kugel und Rund-
Säule;] Daß also schließlichen die Parabel ABC gegen der Parabel DBG eben die Ver-
hältnis hat/ welche da hat der Würfel von AF gegen dem Würfel von DG.

2. Noch eines ist/ zu mehrerer Gewißheit obigen Beweises/ zu erläutern/ nehmlich die
Waarheit dieses allgemeinen Lehrsatzes/

Daß/ wann ein Ding gegen zweyen (gegen jedem insonderheit) sich
verhält/ wie ein anders gegen zweyen anderen/ auch absonderlich; alsdann
auch das erste gegen seinen zweyen zusammgenommenen sich verhalte wie
das andere gegen seinen zweyen auch zusammgenommen.

Zum Exempel/ wann a gegen b sich verhält wie ea gegen eb, und wiederumb a gegen c
wie ea gegen ec; daß auch a gegen b+c sich verhalte/ wie ea gegen eb+ec: Wie dann
in diesem allgemeinen Exempel die Waarheit des Lehrsatzes allbereit für Augen liget.


Zugab.

BEy Beschluß dieses Andern Buches Archimedis/ wollen wir denen Anfänglingen zum
besten (gleich wie wir bey dem Ersten auch gethan) die Haupt-Betrachtungen desselben
Frags- oder Aufgabs-weise fürstellen. Sey derowegen

Die Erste Aufgab.

Einer jeden gegebenen Parabel-Fläche Gewicht-Mittel finden.

Es sey gegeben eine Parabel-Fläche ABC (Nimm für dich die Figur des obigen
VIII. Lehrsatzes) und zu finden ihr Gewicht-Mittel oder Schwäre-Punct. Solches zu
vollbringen teihle den Durchmesser BD in Q, also daß BQ anderthalbmal so groß sey als
QD; oder deutlicher/ teihle BD in fünf gleiche Teihle/ und zehle von D an aufwerts zwey/
oder von B an herunterwerts drey/ solche Teihle biß in Q: so wird eben der Punct Q das be-
gehrte Gewicht-Mittel seyn/ vermög erstangezogenen VIII. Lehrsatzes.

Die

Gleichwichtigkeit und Gewicht-Mittel.
QR) gegen RI: Woraus dann nun endlich folget (vermoͤg des VIII. Lehr-
ſatzes im I. Buch) daß I der Schwaͤre-Punct des abgenommenen Stuͤkkes
ADEC ſey: Welches eben hat ſollen bewieſen werden.

Anmerkungen.

1. Hier muß zu foͤrderſt dieſes noch gewiß gemachet werden/ daß ABC gegen DBE
ſich verhalte/ wie der Wuͤrfel AF gegen dem Wuͤrfel DG. Solches nun wird/ nach An-
leitung Eutokii/ folgender Geſtalt verrichtet: Wann man im Sinn innerhalb beyden Para-
beln beſchreibet die Dreyekke ABC, DBE, ſo verhaͤlt ſich (vermoͤg der Parabel-Vierung)
wie die Parabel ABC gegen ihrem gleichſo-genannten Dreyekk/ alſo die Parabel DBE ge-
gen ihrem Dreyekk; und verwechſelt/ die Parabeln gegen einander/ wie ihre Dreyekke/ oder
(welches gleich viel iſt/ vermoͤg des 15den im V. B.) wie die Helften ihrer Dreyekke/
nehmlich wie ABF gegen DBG. Nun aber haben dieſe beyde Dreyekke ABF und DBG
bey G und F gleiche Winkel/ weil AF und DG gleichlauffen/ nach dem 29ſten im I. B.
Derowegen iſt ihre Verhaͤltnis (und alſo auch die Verhaͤltnis der Parabel ABC gegen der
Parabel DBG) zuſammgeſetzet aus beyden Verhaͤltniſſen/ der Lini AF gegen DG und BF
gegen BG, vermoͤg der Folge des 23ſten im VI. B. Es verhaͤlt ſich aber wie BF gegen
BG, alſo die Vierung AF gegen der Vierung DG (Laut der I. Betr. 7der Folge in V.)
Derohalben iſt die Verhaͤltnis der Parabel ABC gegen der Parabel DBG zuſammgeſetzet
aus zweyen Verhaͤltniſſen/ nehmlich der Lini AF gegen der Lini DG und der Vierung von
AF gegen der Vierung von DG. Eben aus dieſen beyden Verhaͤltniſſen aber iſt zuſammge-
ſetzet die Verhaͤltnis des Wuͤrfels von AF gegen dem Wuͤrfel von DG, vermoͤg des 33ſten
im XI. B. und der 10den Worterklaͤrung im V. B. [Beſihe hierbeneben unſere
1. Anmerkung bey dem IV. Lehrſatz des II. Buchs von der Kugel und Rund-
Saͤule;] Daß alſo ſchließlichen die Parabel ABC gegen der Parabel DBG eben die Ver-
haͤltnis hat/ welche da hat der Wuͤrfel von AF gegen dem Wuͤrfel von DG.

2. Noch eines iſt/ zu mehrerer Gewißheit obigen Beweiſes/ zu erlaͤutern/ nehmlich die
Waarheit dieſes allgemeinen Lehrſatzes/

Daß/ wann ein Ding gegen zweyen (gegen jedem inſonderheit) ſich
verhaͤlt/ wie ein anders gegen zweyen anderen/ auch abſonderlich; alsdann
auch das erſte gegen ſeinen zweyen zuſammgenommenen ſich verhalte wie
das andere gegen ſeinen zweyen auch zuſammgenommen.

Zum Exempel/ wann a gegen b ſich verhaͤlt wie ea gegen eb, und wiederumb a gegen c
wie ea gegen ec; daß auch a gegen b+c ſich verhalte/ wie ea gegen eb+ec: Wie dann
in dieſem allgemeinen Exempel die Waarheit des Lehrſatzes allbereit fuͤr Augen liget.


Zugab.

BEy Beſchluß dieſes Andern Buches Archimedis/ wollen wir denen Anfaͤnglingen zum
beſten (gleich wie wir bey dem Erſten auch gethan) die Haupt-Betrachtungen deſſelben
Frags- oder Aufgabs-weiſe fuͤrſtellen. Sey derowegen

Die Erſte Aufgab.

Einer jeden gegebenen Parabel-Flaͤche Gewicht-Mittel finden.

Es ſey gegeben eine Parabel-Flaͤche ABC (Nimm fuͤr dich die Figur des obigen
VIII. Lehrſatzes) und zu finden ihr Gewicht-Mittel oder Schwaͤre-Punct. Solches zu
vollbringen teihle den Durchmeſſer BD in Q, alſo daß BQ anderthalbmal ſo groß ſey als
QD; oder deutlicher/ teihle BD in fuͤnf gleiche Teihle/ und zehle von D an aufwerts zwey/
oder von B an herunterwerts drey/ ſolche Teihle biß in Q: ſo wird eben der Punct Q das be-
gehrte Gewicht-Mittel ſeyn/ vermoͤg erſtangezogenen VIII. Lehrſatzes.

Die
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[279/0307] Gleichwichtigkeit und Gewicht-Mittel. QR) gegen RI: Woraus dann nun endlich folget (vermoͤg des VIII. Lehr- ſatzes im I. Buch) daß I der Schwaͤre-Punct des abgenommenen Stuͤkkes ADEC ſey: Welches eben hat ſollen bewieſen werden. Anmerkungen. 1. Hier muß zu foͤrderſt dieſes noch gewiß gemachet werden/ daß ABC gegen DBE ſich verhalte/ wie der Wuͤrfel AF gegen dem Wuͤrfel DG. Solches nun wird/ nach An- leitung Eutokii/ folgender Geſtalt verrichtet: Wann man im Sinn innerhalb beyden Para- beln beſchreibet die Dreyekke ABC, DBE, ſo verhaͤlt ſich (vermoͤg der Parabel-Vierung) wie die Parabel ABC gegen ihrem gleichſo-genannten Dreyekk/ alſo die Parabel DBE ge- gen ihrem Dreyekk; und verwechſelt/ die Parabeln gegen einander/ wie ihre Dreyekke/ oder (welches gleich viel iſt/ vermoͤg des 15den im V. B.) wie die Helften ihrer Dreyekke/ nehmlich wie ABF gegen DBG. Nun aber haben dieſe beyde Dreyekke ABF und DBG bey G und F gleiche Winkel/ weil AF und DG gleichlauffen/ nach dem 29ſten im I. B. Derowegen iſt ihre Verhaͤltnis (und alſo auch die Verhaͤltnis der Parabel ABC gegen der Parabel DBG) zuſammgeſetzet aus beyden Verhaͤltniſſen/ der Lini AF gegen DG und BF gegen BG, vermoͤg der Folge des 23ſten im VI. B. Es verhaͤlt ſich aber wie BF gegen BG, alſo die Vierung AF gegen der Vierung DG (Laut der I. Betr. 7der Folge in V.) Derohalben iſt die Verhaͤltnis der Parabel ABC gegen der Parabel DBG zuſammgeſetzet aus zweyen Verhaͤltniſſen/ nehmlich der Lini AF gegen der Lini DG und der Vierung von AF gegen der Vierung von DG. Eben aus dieſen beyden Verhaͤltniſſen aber iſt zuſammge- ſetzet die Verhaͤltnis des Wuͤrfels von AF gegen dem Wuͤrfel von DG, vermoͤg des 33ſten im XI. B. und der 10den Worterklaͤrung im V. B. [Beſihe hierbeneben unſere 1. Anmerkung bey dem IV. Lehrſatz des II. Buchs von der Kugel und Rund- Saͤule;] Daß alſo ſchließlichen die Parabel ABC gegen der Parabel DBG eben die Ver- haͤltnis hat/ welche da hat der Wuͤrfel von AF gegen dem Wuͤrfel von DG. 2. Noch eines iſt/ zu mehrerer Gewißheit obigen Beweiſes/ zu erlaͤutern/ nehmlich die Waarheit dieſes allgemeinen Lehrſatzes/ Daß/ wann ein Ding gegen zweyen (gegen jedem inſonderheit) ſich verhaͤlt/ wie ein anders gegen zweyen anderen/ auch abſonderlich; alsdann auch das erſte gegen ſeinen zweyen zuſammgenommenen ſich verhalte wie das andere gegen ſeinen zweyen auch zuſammgenommen. Zum Exempel/ wann a gegen b ſich verhaͤlt wie ea gegen eb, und wiederumb a gegen c wie ea gegen ec; daß auch a gegen b+c ſich verhalte/ wie ea gegen eb+ec: Wie dann in dieſem allgemeinen Exempel die Waarheit des Lehrſatzes allbereit fuͤr Augen liget. Zugab. BEy Beſchluß dieſes Andern Buches Archimedis/ wollen wir denen Anfaͤnglingen zum beſten (gleich wie wir bey dem Erſten auch gethan) die Haupt-Betrachtungen deſſelben Frags- oder Aufgabs-weiſe fuͤrſtellen. Sey derowegen Die Erſte Aufgab. Einer jeden gegebenen Parabel-Flaͤche Gewicht-Mittel finden. Es ſey gegeben eine Parabel-Flaͤche ABC (Nimm fuͤr dich die Figur des obigen VIII. Lehrſatzes) und zu finden ihr Gewicht-Mittel oder Schwaͤre-Punct. Solches zu vollbringen teihle den Durchmeſſer BD in Q, alſo daß BQ anderthalbmal ſo groß ſey als QD; oder deutlicher/ teihle BD in fuͤnf gleiche Teihle/ und zehle von D an aufwerts zwey/ oder von B an herunterwerts drey/ ſolche Teihle biß in Q: ſo wird eben der Punct Q das be- gehrte Gewicht-Mittel ſeyn/ vermoͤg erſtangezogenen VIII. Lehrſatzes. Die

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Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 279. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/307>, abgerufen am 12.05.2024.