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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Archimedis Andetes Buch von derer Flächen
" genommenen/ Abschnitten des Durchmessers beyderseits einerley Verhältnis haben (zum
" Exempel in obigen beyden Figuren/ wie FI gegen BM, also YU gegen Ot, und wie EK ge-
" gen BL, also ST gegen OG, &c. sich verhalte) wie auch die Abschnitte unter sich selbsten
" (nehmlich BM gegen BL wie Ot gegen OG.) Welche Beschreibung dann die Aehnlich-
keit zweyer Parabel-Flächen nicht so eng/ als unsere obige/ beschränket/ sondern also beschaffen
ist/ daß Krafft derselben (wie Eutokius recht mit anhänget) alle Parabeln einander ähnlich
seyn müssen; dieweilen in jeden zweyen/ sie seyen beschrieben wie sie wollen/ daß besagte sich be-
geben muß/ Krafft dessen/ was im Anhang des I. Lehrsatzes und dessen 1ster Anmer-
kung am End bewiesen worden.

Es scheinet aber nicht/ daß Archimedes in diesem unter Handen habenden Lehrsatz diese
letzere weitläuffige Aehnlichkeit verstanden habe/ sintemal er sonsten deroselben gar nicht hätte
gedenken/ und nicht sagen dörfen: Wann in zweyen ähnlichen Parabel-Flächen/ etc. son-
dern nur schlechter dinge: Wann in zweyen Parabel-Flächen/ etc. weil/ nach solcher letzten
Beschreibung keine der andern unähnlich ist. Wolte aber gleichwol jemand Archimedis
Lehrsatz so allgemein haben/ daß er von jeden zweyen Parabeln ohne Unterscheid redete/ so kan
jedennoch unser gegebener Beweiß unverändert bleiben/ wann nur die einige gleiche Verhält-
nis derer Vierekke AK und XT gegen EI und SU (die wir aus deroselben Aehnlichkeit her-
geleitet haben) auch in dem fall/ wann beyderseits Vierekke einander nicht ähnlich sind/ be-
wiesen wird. Solches nun hat Flurantius allbereit verrichtet in seinem IV. Hülf-Satz bey
diesem III. Lehrsatz/ welcher also/ im fall bedürsens/ hieher möchte gezogen werden.

3. Noch eines ist/ umb mehrerer Klarheit willen zu erläutern: Weil ek gegen ac sich
[Abbildung] verhält wie st gegen xp, so folget/
daß der Schwäre-Punct des Vierek-
kes ak (zum Exempel 2) die Lini ld
also teihle/ wie der Schwäre-Punct
des Vierekkes xt (nehmlich 5) die
Lini gr, (dann wie 2ac sambt ek ge-
gen 2ek sambt ac, also l2 gegen 2d;
und ingleichen/ wie 2xp sambt st ge-
gen 2st sambt xp, also g5 gegen 5r,
vermög des XV. im I. B. Nun aber
wie 2ac sambt ek gegen 2ek sambt
ac, so verhält sich auch 2xp sambt st
gen 2st sambt xp, nach der 4. An-
merkung gedachten Lehrsatzes.
Derowegen verhält sich auch/ wie l2
gegen 2d, also g5 gegen 5r.) Und glei-
cher Weise wird bewiesen/ daß mi ge-
gen il sich verhalte/ wie T4 gegen 4g; Und diß ist eines. Nun ist auch gewiß/ daß der
Schwäre-Punct der ganzen Grösse afic (nehmlich 3) die Lini i2 also teihle/ daß 1, 3 gegen
3, 2 sich verhält wie das Vierekk ak gegen dem Vierekk ei; und gleichsfalls verhält sich 4,
6 gegen 6, 5, wie xt gegen su, vermög des VI. und VII. Lehrsatzes im I. B. Es haben
aber (Krafft obbesagtens) ak gegen ei und xt gegen su gleiche Verhältnis; daher dann
auch 1, 3 gegen 3, 2 und 4, 6 gegen 6, 5, gleiche Verhältnis haben müssen. Jst nun noch
zu beweisen/ daß hierdurch auch die ganzen Lineen md, Tr, nach gleicher Verhältnis geteih-
let seyen/ also daß m3 gegen 3d sich verhalte/ wie T6, gegen 6r. Hierzu bedürfen wir nun
diesen folgenden allgemeinen Lehensatz:

Wann ein Ding gegen zweyen sich verhält/ wie ein anders gegen zweyen
andern (gegen jedem absonderlich verstehe) so verhält sich auch/ wie das
erste gegen der Summe der ersten beyden/ also das andere gegen der Sum-
me derer beyden andern;

D. i. Wann a gegen ea absonderlich/ und wieder absonderlich gegen ia sich verhält
wie b absonderlich gegen eb und wieder absonderlich gegen ib; so verhält sich auch a gegen
ea+ia zusammen/ wie b gegen eb+ib zusammen: wie dann in dieser Erläuterung zu-
gleich der völlige allgemeine Beweiß augenscheinlich zu sehen ist.

Nach

Archimedis Andetes Buch von derer Flaͤchen
” genommenen/ Abſchnitten des Durchmeſſers beyderſeits einerley Verhaͤltnis haben (zum
” Exempel in obigen beyden Figuren/ wie FI gegen BM, alſo YU gegen Ot, und wie EK ge-
” gen BL, alſo ST gegen OG, &c. ſich verhalte) wie auch die Abſchnitte unter ſich ſelbſten
” (nehmlich BM gegen BL wie Ot gegen OG.) Welche Beſchreibung dann die Aehnlich-
keit zweyer Parabel-Flaͤchen nicht ſo eng/ als unſere obige/ beſchraͤnket/ ſondern alſo beſchaffen
iſt/ daß Krafft derſelben (wie Eutokius recht mit anhaͤnget) alle Parabeln einander aͤhnlich
ſeyn muͤſſen; dieweilen in jeden zweyen/ ſie ſeyen beſchrieben wie ſie wollen/ daß beſagte ſich be-
geben muß/ Krafft deſſen/ was im Anhang des I. Lehrſatzes und deſſen 1ſter Anmer-
kung am End bewieſen worden.

Es ſcheinet aber nicht/ daß Archimedes in dieſem unter Handen habenden Lehrſatz dieſe
letzere weitlaͤuffige Aehnlichkeit verſtanden habe/ ſintemal er ſonſten deroſelben gar nicht haͤtte
gedenken/ und nicht ſagen doͤrfen: Wann in zweyen aͤhnlichen Parabel-Flaͤchen/ ꝛc. ſon-
dern nur ſchlechter dinge: Wann in zweyen Parabel-Flaͤchen/ ꝛc. weil/ nach ſolcher letzten
Beſchreibung keine der andern unaͤhnlich iſt. Wolte aber gleichwol jemand Archimedis
Lehrſatz ſo allgemein haben/ daß er von jeden zweyen Parabeln ohne Unterſcheid redete/ ſo kan
jedennoch unſer gegebener Beweiß unveraͤndert bleiben/ wann nur die einige gleiche Verhaͤlt-
nis derer Vierekke AK und XT gegen EI und SU (die wir aus deroſelben Aehnlichkeit her-
geleitet haben) auch in dem fall/ wann beyderſeits Vierekke einander nicht aͤhnlich ſind/ be-
wieſen wird. Solches nun hat Flurantius allbereit verrichtet in ſeinem IV. Huͤlf-Satz bey
dieſem III. Lehrſatz/ welcher alſo/ im fall beduͤrſens/ hieher moͤchte gezogen werden.

3. Noch eines iſt/ umb mehrerer Klarheit willen zu erlaͤutern: Weil ek gegen ac ſich
[Abbildung] verhaͤlt wie st gegen xp, ſo folget/
daß der Schwaͤre-Punct des Vierek-
kes ak (zum Exempel 2) die Lini ld
alſo teihle/ wie der Schwaͤre-Punct
des Vierekkes xt (nehmlich 5) die
Lini gr, (dann wie 2ac ſambt ek ge-
gen 2ek ſambt ac, alſo l2 gegen 2d;
und ingleichen/ wie 2xp ſambt st ge-
gen 2st ſambt xp, alſo g5 gegen 5r,
vermoͤg des XV. im I. B. Nun aber
wie 2ac ſambt ek gegen 2ek ſambt
ac, ſo verhaͤlt ſich auch 2xp ſambt st
gen 2st ſambt xp, nach der 4. An-
merkung gedachten Lehrſatzes.
Derowegen verhaͤlt ſich auch/ wie l2
gegen 2d, alſo g5 gegen 5r.) Und glei-
cher Weiſe wird bewieſen/ daß mi ge-
gen il ſich verhalte/ wie T4 gegen 4g; Und diß iſt eines. Nun iſt auch gewiß/ daß der
Schwaͤre-Punct der ganzen Groͤſſe afic (nehmlich 3) die Lini i2 alſo teihle/ daß 1, 3 gegen
3, 2 ſich verhaͤlt wie das Vierekk ak gegen dem Vierekk ei; und gleichsfalls verhaͤlt ſich 4,
6 gegen 6, 5, wie xt gegen su, vermoͤg des VI. und VII. Lehrſatzes im I. B. Es haben
aber (Krafft obbeſagtens) ak gegen ei und xt gegen su gleiche Verhaͤltnis; daher dann
auch 1, 3 gegen 3, 2 und 4, 6 gegen 6, 5, gleiche Verhaͤltnis haben muͤſſen. Jſt nun noch
zu beweiſen/ daß hierdurch auch die ganzen Lineen md, Tr, nach gleicher Verhaͤltnis geteih-
let ſeyen/ alſo daß m3 gegen 3d ſich verhalte/ wie T6, gegen 6r. Hierzu beduͤrfen wir nun
dieſen folgenden allgemeinen Lehenſatz:

Wann ein Ding gegen zweyen ſich verhaͤlt/ wie ein anders gegen zweyen
andern (gegen jedem abſonderlich verſtehe) ſo verhaͤlt ſich auch/ wie das
erſte gegen der Summe der erſten beyden/ alſo das andere gegen der Sum-
me derer beyden andern;

D. i. Wann a gegen ea abſonderlich/ und wieder abſonderlich gegen ia ſich verhaͤlt
wie b abſonderlich gegen eb und wieder abſonderlich gegen ib; ſo verhaͤlt ſich auch a gegen
ea+ia zuſammen/ wie b gegen eb+ib zuſammen: wie dann in dieſer Erlaͤuterung zu-
gleich der voͤllige allgemeine Beweiß augenſcheinlich zu ſehen iſt.

Nach
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[264/0292] Archimedis Andetes Buch von derer Flaͤchen ” genommenen/ Abſchnitten des Durchmeſſers beyderſeits einerley Verhaͤltnis haben (zum ” Exempel in obigen beyden Figuren/ wie FI gegen BM, alſo YU gegen Ot, und wie EK ge- ” gen BL, alſo ST gegen OG, &c. ſich verhalte) wie auch die Abſchnitte unter ſich ſelbſten ” (nehmlich BM gegen BL wie Ot gegen OG.) Welche Beſchreibung dann die Aehnlich- keit zweyer Parabel-Flaͤchen nicht ſo eng/ als unſere obige/ beſchraͤnket/ ſondern alſo beſchaffen iſt/ daß Krafft derſelben (wie Eutokius recht mit anhaͤnget) alle Parabeln einander aͤhnlich ſeyn muͤſſen; dieweilen in jeden zweyen/ ſie ſeyen beſchrieben wie ſie wollen/ daß beſagte ſich be- geben muß/ Krafft deſſen/ was im Anhang des I. Lehrſatzes und deſſen 1ſter Anmer- kung am End bewieſen worden. Es ſcheinet aber nicht/ daß Archimedes in dieſem unter Handen habenden Lehrſatz dieſe letzere weitlaͤuffige Aehnlichkeit verſtanden habe/ ſintemal er ſonſten deroſelben gar nicht haͤtte gedenken/ und nicht ſagen doͤrfen: Wann in zweyen aͤhnlichen Parabel-Flaͤchen/ ꝛc. ſon- dern nur ſchlechter dinge: Wann in zweyen Parabel-Flaͤchen/ ꝛc. weil/ nach ſolcher letzten Beſchreibung keine der andern unaͤhnlich iſt. Wolte aber gleichwol jemand Archimedis Lehrſatz ſo allgemein haben/ daß er von jeden zweyen Parabeln ohne Unterſcheid redete/ ſo kan jedennoch unſer gegebener Beweiß unveraͤndert bleiben/ wann nur die einige gleiche Verhaͤlt- nis derer Vierekke AK und XT gegen EI und SU (die wir aus deroſelben Aehnlichkeit her- geleitet haben) auch in dem fall/ wann beyderſeits Vierekke einander nicht aͤhnlich ſind/ be- wieſen wird. Solches nun hat Flurantius allbereit verrichtet in ſeinem IV. Huͤlf-Satz bey dieſem III. Lehrſatz/ welcher alſo/ im fall beduͤrſens/ hieher moͤchte gezogen werden. 3. Noch eines iſt/ umb mehrerer Klarheit willen zu erlaͤutern: Weil ek gegen ac ſich [Abbildung] verhaͤlt wie st gegen xp, ſo folget/ daß der Schwaͤre-Punct des Vierek- kes ak (zum Exempel 2) die Lini ld alſo teihle/ wie der Schwaͤre-Punct des Vierekkes xt (nehmlich 5) die Lini gr, (dann wie 2ac ſambt ek ge- gen 2ek ſambt ac, alſo l2 gegen 2d; und ingleichen/ wie 2xp ſambt st ge- gen 2st ſambt xp, alſo g5 gegen 5r, vermoͤg des XV. im I. B. Nun aber wie 2ac ſambt ek gegen 2ek ſambt ac, ſo verhaͤlt ſich auch 2xp ſambt st gen 2st ſambt xp, nach der 4. An- merkung gedachten Lehrſatzes. Derowegen verhaͤlt ſich auch/ wie l2 gegen 2d, alſo g5 gegen 5r.) Und glei- cher Weiſe wird bewieſen/ daß mi ge- gen il ſich verhalte/ wie T4 gegen 4g; Und diß iſt eines. Nun iſt auch gewiß/ daß der Schwaͤre-Punct der ganzen Groͤſſe afic (nehmlich 3) die Lini i2 alſo teihle/ daß 1, 3 gegen 3, 2 ſich verhaͤlt wie das Vierekk ak gegen dem Vierekk ei; und gleichsfalls verhaͤlt ſich 4, 6 gegen 6, 5, wie xt gegen su, vermoͤg des VI. und VII. Lehrſatzes im I. B. Es haben aber (Krafft obbeſagtens) ak gegen ei und xt gegen su gleiche Verhaͤltnis; daher dann auch 1, 3 gegen 3, 2 und 4, 6 gegen 6, 5, gleiche Verhaͤltnis haben muͤſſen. Jſt nun noch zu beweiſen/ daß hierdurch auch die ganzen Lineen md, Tr, nach gleicher Verhaͤltnis geteih- let ſeyen/ alſo daß m3 gegen 3d ſich verhalte/ wie T6, gegen 6r. Hierzu beduͤrfen wir nun dieſen folgenden allgemeinen Lehenſatz: Wann ein Ding gegen zweyen ſich verhaͤlt/ wie ein anders gegen zweyen andern (gegen jedem abſonderlich verſtehe) ſo verhaͤlt ſich auch/ wie das erſte gegen der Summe der erſten beyden/ alſo das andere gegen der Sum- me derer beyden andern; D. i. Wann a gegen ea abſonderlich/ und wieder abſonderlich gegen ia ſich verhaͤlt wie b abſonderlich gegen eb und wieder abſonderlich gegen ib; ſo verhaͤlt ſich auch a gegen ea+ia zuſammen/ wie b gegen eb+ib zuſammen: wie dann in dieſer Erlaͤuterung zu- gleich der voͤllige allgemeine Beweiß augenſcheinlich zu ſehen iſt. Nach

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Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 264. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/292>, abgerufen am 23.11.2024.