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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Gleichwichtigkeit und Gewicht-Mittel.

Puncten die Lineen BM und Ot; und zu letzt auch derer ganzen Figuren AE
FGBHIKC und XSYQOZUTP, ihre Schwäre-Puncten die Lineen BD
und OR gleichförmig teihlen. W. Z. B. W.

Anmerkungen.

Dieses ist also Archimedis Beweiß/ wie wir denselben auf das allerdeutlichste haben
wissen vorzubringen. Die Sache ist am Tag/ und zu Bestättigung ihrer Gewißheit nichts
unbewiesenes oder noch zweifelhaftes angenommen/ als dieses fürnehmlich/ daß das Vierekk
AK gegen dem Vierekk EI eben die Verhältnis habe/ die da hat XT gegen SU, welches
dann (als wir bald hören werden) einig und allein auf gemeldter Vierekke Aehnlichkeit beru-
het. Welche Aehnlichkeit/ wann sie gewiß gemachet ist/ zugleich einen andern (meines Be-
dunkens nicht ungeschikkten) Beweiß des ganzen Lehrsatzes an die Hand gibt/ nehmlich diesen:
Weil das Vierekk AK dem Vierekk XT, und EI dem SU, und FH dem YZ, und endlich
das Dreyekk GBH dem Dreyekke QOZ, ähnlich ist/ so müssen nohtwendig auch beyde ganze
Figuren einander ähnlich seyn/ und daher ihre Schwäre-Puncten gleichförmig gesetzet seyn/
nach der 6. Forderung im I. B. Nun sind aber gedachte Schwäre-Puncten in denen Li-
neen BD und OR, vermög des vorhergehenden II. Lehrsatzes. Derowegen müssen sie
gedachte Lineen nach gleicher Verhältnis teihlen. Dann wo solches würde gelaugnet werden/
könnte leichtlich etwas ungereimtes geschlossen werden; nehmlich/ daß (obigem zu wider)
beyder ähnlicher Figuren Schwäre-Puncten nicht gleichförmig gesetzet seyen/ wie der verstän-
dige Leser leicht bemerken wird.

2. Daß aber/ zum Exempel/ die Vierung AK der Vierung XT ähnlich sey (wann
nehmlich/ wie in gegenwärtiger Figur Archimedis/ die Durchmesser BD und OR gleich-
förmig gezogen/ d. i. (nach der Ersten Betr. in V.) die Parabeln von gleichen beweglichen
Winkeln beschrieben/ sind) wird folgender Gestalt kundt gemachet: Die Durchmesser BD
und OR, machen mit ihren ordentlich-beygefügten Quehr-Liineen (ordinatim applicatis)
lauter gleiche Winkel/ also daß der Winkel ADL dem Winkel XRG, ELD dem SGR, &c.
gleich ist (vermög erstgemeldter I. Betr. und des 29sten im I. B.) Wann wir nun in Ge-
danken ziehen ED und SR, so folget/ weil EL gegen LD sich verhält/ wie SG gegen GR,
daß beyde Dreyekke EDL und SRG ganz gleichwinklicht/ und also der Winkel DEL dem
Winkel RSG, wie auch EDL dem SRG, gleich/ seyen/ nach dem 6ten des VI. B. und
folgends ED gegen DL sich verhalte/ wie SR gegen RG, nach dem 4ten des VI. Nun
verhält sich aber ferner DL gegen DA, wie RG gegen RX; darumb auch gleichdurchgehend
ED gegen DA, wie SR gegen RX, Krafft des 22sten im V. Nun ist auch der Winkel
EDA dem Winkel SRX gleich/ weil die ganzen LDA und GRX, wie auch die weggenom-
menen EDL und SRG gleich waren. Darumb sind (abermal nach dem 6ten des VI.)
die beyde Dreyekke EDA und SRX gleichwinklicht/ und also der Winkel DAE dem Win-
kel RXS, und AED dem XSR und (weil auch DEL dem RSG gleich war) der ganze
AEL dem ganzen XSG, gleich; und verhält sich wie EA gegen AD, also SX gegen XR,
wie auch gleichfalls AE gegen EL wie XS gegen SG, alles aus dem 4ten des VI. Auf
gleiche Weise wird bewiesen/ daß auf der andern Seiten die Winkel LKC und GTP, wie
auch DCK und RPT gleich/ und die/ umb solche Winkel stehende/ Seiten gleichverhaltend
seyen. Woraus dann ohne einige Schwärigkeit folget/ die Aehnlichkeit derer Vierekke AK
und XT, nach der 1sten Worterklärung des VI. B. und ebenfalls wird auch derer an-
dern Vierekke EI und SU, &c. Aehnlichkeit bestättiget. Worauf dann endlich der unfehl-
bare Schluß folget: Weil AC gegen EK sich verhält wie XP gegen ST, daß auch das
Vierekk AK gegen dem Vierekk EI sich verhalte/ wie XT gegen SU, vermög des 22sten
im VI. Welches zu beweisen war.

Und dieses hat also seine vollkommene Richtigkeit/ wann wir die Aehnlichkeit zweyer Pa-
rabel-Flächen innerhalb die jenige Schranken beschliessen/ die wir oben gesetzet/ und/ unseres
Bedunkens/ auch Archimedes gemeinet hat; also daß endlich/ aus bißher-besagtem/ noch
deutlicher die jenige Parabel-Flächen ähnlich möchten genennet werden/ innerhalb welchen
die/ oftberührter massen/ beschriebene Figuren einander ähnlich sind. Sonsten aber erzählet
Eutokius/ daß Apollonius im VI. Buch von denen Kegel-Lineen (welches heutiges Tages
nicht mehr vorhanden ist) die jenige Kegelschnitt: (worunter auch die Parabeln begriffen sind) "
ähnlich nenne/ in welchen gleichviele/ mit denen Grund-Lineen gleichlauffende/ Lineen die "
Durchmesser also zerschneiden/ daß gemeldte gleichlauffende gegen denen/ von der Spitz an "

genom-

Gleichwichtigkeit und Gewicht-Mittel.

Puncten die Lineen BM und Ot; und zu letzt auch derer ganzen Figuren AE
FGBHIKC und XSYQOZUTP, ihre Schwaͤre-Puncten die Lineen BD
und OR gleichfoͤrmig teihlen. W. Z. B. W.

Anmerkungen.

Dieſes iſt alſo Archimedis Beweiß/ wie wir denſelben auf das allerdeutlichſte haben
wiſſen vorzubringen. Die Sache iſt am Tag/ und zu Beſtaͤttigung ihrer Gewißheit nichts
unbewieſenes oder noch zweifelhaftes angenommen/ als dieſes fuͤrnehmlich/ daß das Vierekk
AK gegen dem Vierekk EI eben die Verhaͤltnis habe/ die da hat XT gegen SU, welches
dann (als wir bald hoͤren werden) einig und allein auf gemeldter Vierekke Aehnlichkeit beru-
het. Welche Aehnlichkeit/ wann ſie gewiß gemachet iſt/ zugleich einen andern (meines Be-
dunkens nicht ungeſchikkten) Beweiß des ganzen Lehrſatzes an die Hand gibt/ nehmlich dieſen:
Weil das Vierekk AK dem Vierekk XT, und EI dem SU, und FH dem YZ, und endlich
das Dreyekk GBH dem Dreyekke QOZ, aͤhnlich iſt/ ſo muͤſſen nohtwendig auch beyde ganze
Figuren einander aͤhnlich ſeyn/ und daher ihre Schwaͤre-Puncten gleichfoͤrmig geſetzet ſeyn/
nach der 6. Forderung im I. B. Nun ſind aber gedachte Schwaͤre-Puncten in denen Li-
neen BD und OR, vermoͤg des vorhergehenden II. Lehrſatzes. Derowegen muͤſſen ſie
gedachte Lineen nach gleicher Verhaͤltnis teihlen. Dann wo ſolches wuͤrde gelaugnet werden/
koͤnnte leichtlich etwas ungereimtes geſchloſſen werden; nehmlich/ daß (obigem zu wider)
beyder aͤhnlicher Figuren Schwaͤre-Puncten nicht gleichfoͤrmig geſetzet ſeyen/ wie der verſtaͤn-
dige Leſer leicht bemerken wird.

2. Daß aber/ zum Exempel/ die Vierung AK der Vierung XT aͤhnlich ſey (wann
nehmlich/ wie in gegenwaͤrtiger Figur Archimedis/ die Durchmeſſer BD und OR gleich-
foͤrmig gezogen/ d. i. (nach der Erſten Betr. in V.) die Parabeln von gleichen beweglichen
Winkeln beſchrieben/ ſind) wird folgender Geſtalt kundt gemachet: Die Durchmeſſer BD
und OR, machen mit ihren ordentlich-beygefuͤgten Quehr-Liineen (ordinatim applicatis)
lauter gleiche Winkel/ alſo daß der Winkel ADL dem Winkel XRG, ELD dem SGR, &c.
gleich iſt (vermoͤg erſtgemeldter I. Betr. und des 29ſten im I. B.) Wann wir nun in Ge-
danken ziehen ED und SR, ſo folget/ weil EL gegen LD ſich verhaͤlt/ wie SG gegen GR,
daß beyde Dreyekke EDL und SRG ganz gleichwinklicht/ und alſo der Winkel DEL dem
Winkel RSG, wie auch EDL dem SRG, gleich/ ſeyen/ nach dem 6ten des VI. B. und
folgends ED gegen DL ſich verhalte/ wie SR gegen RG, nach dem 4ten des VI. Nun
verhaͤlt ſich aber ferner DL gegen DA, wie RG gegen RX; darumb auch gleichdurchgehend
ED gegen DA, wie SR gegen RX, Krafft des 22ſten im V. Nun iſt auch der Winkel
EDA dem Winkel SRX gleich/ weil die ganzen LDA und GRX, wie auch die weggenom-
menen EDL und SRG gleich waren. Darumb ſind (abermal nach dem 6ten des VI.)
die beyde Dreyekke EDA und SRX gleichwinklicht/ und alſo der Winkel DAE dem Win-
kel RXS, und AED dem XSR und (weil auch DEL dem RSG gleich war) der ganze
AEL dem ganzen XSG, gleich; und verhaͤlt ſich wie EA gegen AD, alſo SX gegen XR,
wie auch gleichfalls AE gegen EL wie XS gegen SG, alles aus dem 4ten des VI. Auf
gleiche Weiſe wird bewieſen/ daß auf der andern Seiten die Winkel LKC und GTP, wie
auch DCK und RPT gleich/ und die/ umb ſolche Winkel ſtehende/ Seiten gleichverhaltend
ſeyen. Woraus dann ohne einige Schwaͤrigkeit folget/ die Aehnlichkeit derer Vierekke AK
und XT, nach der 1ſten Worterklaͤrung des VI. B. und ebenfalls wird auch derer an-
dern Vierekke EI und SU, &c. Aehnlichkeit beſtaͤttiget. Worauf dann endlich der unfehl-
bare Schluß folget: Weil AC gegen EK ſich verhaͤlt wie XP gegen ST, daß auch das
Vierekk AK gegen dem Vierekk EI ſich verhalte/ wie XT gegen SU, vermoͤg des 22ſten
im VI. Welches zu beweiſen war.

Und dieſes hat alſo ſeine vollkommene Richtigkeit/ wann wir die Aehnlichkeit zweyer Pa-
rabel-Flaͤchen innerhalb die jenige Schranken beſchlieſſen/ die wir oben geſetzet/ und/ unſeres
Bedunkens/ auch Archimedes gemeinet hat; alſo daß endlich/ aus bißher-beſagtem/ noch
deutlicher die jenige Parabel-Flaͤchen aͤhnlich moͤchten genennet werden/ innerhalb welchen
die/ oftberuͤhrter maſſen/ beſchriebene Figuren einander aͤhnlich ſind. Sonſten aber erzaͤhlet
Eutokius/ daß Apollonius im VI. Buch von denen Kegel-Lineen (welches heutiges Tages
nicht mehr vorhanden iſt) die jenige Kegelſchnitt: (worunter auch die Parabeln begriffen ſind) “
aͤhnlich nenne/ in welchen gleichviele/ mit denen Grund-Lineen gleichlauffende/ Lineen die “
Durchmeſſer alſo zerſchneiden/ daß gemeldte gleichlauffende gegen denen/ von der Spitz an “

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[263/0291] Gleichwichtigkeit und Gewicht-Mittel. Puncten die Lineen BM und Ot; und zu letzt auch derer ganzen Figuren AE FGBHIKC und XSYQOZUTP, ihre Schwaͤre-Puncten die Lineen BD und OR gleichfoͤrmig teihlen. W. Z. B. W. Anmerkungen. Dieſes iſt alſo Archimedis Beweiß/ wie wir denſelben auf das allerdeutlichſte haben wiſſen vorzubringen. Die Sache iſt am Tag/ und zu Beſtaͤttigung ihrer Gewißheit nichts unbewieſenes oder noch zweifelhaftes angenommen/ als dieſes fuͤrnehmlich/ daß das Vierekk AK gegen dem Vierekk EI eben die Verhaͤltnis habe/ die da hat XT gegen SU, welches dann (als wir bald hoͤren werden) einig und allein auf gemeldter Vierekke Aehnlichkeit beru- het. Welche Aehnlichkeit/ wann ſie gewiß gemachet iſt/ zugleich einen andern (meines Be- dunkens nicht ungeſchikkten) Beweiß des ganzen Lehrſatzes an die Hand gibt/ nehmlich dieſen: Weil das Vierekk AK dem Vierekk XT, und EI dem SU, und FH dem YZ, und endlich das Dreyekk GBH dem Dreyekke QOZ, aͤhnlich iſt/ ſo muͤſſen nohtwendig auch beyde ganze Figuren einander aͤhnlich ſeyn/ und daher ihre Schwaͤre-Puncten gleichfoͤrmig geſetzet ſeyn/ nach der 6. Forderung im I. B. Nun ſind aber gedachte Schwaͤre-Puncten in denen Li- neen BD und OR, vermoͤg des vorhergehenden II. Lehrſatzes. Derowegen muͤſſen ſie gedachte Lineen nach gleicher Verhaͤltnis teihlen. Dann wo ſolches wuͤrde gelaugnet werden/ koͤnnte leichtlich etwas ungereimtes geſchloſſen werden; nehmlich/ daß (obigem zu wider) beyder aͤhnlicher Figuren Schwaͤre-Puncten nicht gleichfoͤrmig geſetzet ſeyen/ wie der verſtaͤn- dige Leſer leicht bemerken wird. 2. Daß aber/ zum Exempel/ die Vierung AK der Vierung XT aͤhnlich ſey (wann nehmlich/ wie in gegenwaͤrtiger Figur Archimedis/ die Durchmeſſer BD und OR gleich- foͤrmig gezogen/ d. i. (nach der Erſten Betr. in V.) die Parabeln von gleichen beweglichen Winkeln beſchrieben/ ſind) wird folgender Geſtalt kundt gemachet: Die Durchmeſſer BD und OR, machen mit ihren ordentlich-beygefuͤgten Quehr-Liineen (ordinatim applicatis) lauter gleiche Winkel/ alſo daß der Winkel ADL dem Winkel XRG, ELD dem SGR, &c. gleich iſt (vermoͤg erſtgemeldter I. Betr. und des 29ſten im I. B.) Wann wir nun in Ge- danken ziehen ED und SR, ſo folget/ weil EL gegen LD ſich verhaͤlt/ wie SG gegen GR, daß beyde Dreyekke EDL und SRG ganz gleichwinklicht/ und alſo der Winkel DEL dem Winkel RSG, wie auch EDL dem SRG, gleich/ ſeyen/ nach dem 6ten des VI. B. und folgends ED gegen DL ſich verhalte/ wie SR gegen RG, nach dem 4ten des VI. Nun verhaͤlt ſich aber ferner DL gegen DA, wie RG gegen RX; darumb auch gleichdurchgehend ED gegen DA, wie SR gegen RX, Krafft des 22ſten im V. Nun iſt auch der Winkel EDA dem Winkel SRX gleich/ weil die ganzen LDA und GRX, wie auch die weggenom- menen EDL und SRG gleich waren. Darumb ſind (abermal nach dem 6ten des VI.) die beyde Dreyekke EDA und SRX gleichwinklicht/ und alſo der Winkel DAE dem Win- kel RXS, und AED dem XSR und (weil auch DEL dem RSG gleich war) der ganze AEL dem ganzen XSG, gleich; und verhaͤlt ſich wie EA gegen AD, alſo SX gegen XR, wie auch gleichfalls AE gegen EL wie XS gegen SG, alles aus dem 4ten des VI. Auf gleiche Weiſe wird bewieſen/ daß auf der andern Seiten die Winkel LKC und GTP, wie auch DCK und RPT gleich/ und die/ umb ſolche Winkel ſtehende/ Seiten gleichverhaltend ſeyen. Woraus dann ohne einige Schwaͤrigkeit folget/ die Aehnlichkeit derer Vierekke AK und XT, nach der 1ſten Worterklaͤrung des VI. B. und ebenfalls wird auch derer an- dern Vierekke EI und SU, &c. Aehnlichkeit beſtaͤttiget. Worauf dann endlich der unfehl- bare Schluß folget: Weil AC gegen EK ſich verhaͤlt wie XP gegen ST, daß auch das Vierekk AK gegen dem Vierekk EI ſich verhalte/ wie XT gegen SU, vermoͤg des 22ſten im VI. Welches zu beweiſen war. Und dieſes hat alſo ſeine vollkommene Richtigkeit/ wann wir die Aehnlichkeit zweyer Pa- rabel-Flaͤchen innerhalb die jenige Schranken beſchlieſſen/ die wir oben geſetzet/ und/ unſeres Bedunkens/ auch Archimedes gemeinet hat; alſo daß endlich/ aus bißher-beſagtem/ noch deutlicher die jenige Parabel-Flaͤchen aͤhnlich moͤchten genennet werden/ innerhalb welchen die/ oftberuͤhrter maſſen/ beſchriebene Figuren einander aͤhnlich ſind. Sonſten aber erzaͤhlet Eutokius/ daß Apollonius im VI. Buch von denen Kegel-Lineen (welches heutiges Tages nicht mehr vorhanden iſt) die jenige Kegelſchnitt: (worunter auch die Parabeln begriffen ſind) “ aͤhnlich nenne/ in welchen gleichviele/ mit denen Grund-Lineen gleichlauffende/ Lineen die “ Durchmeſſer alſo zerſchneiden/ daß gemeldte gleichlauffende gegen denen/ von der Spitz an “ genom-

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Zitationshilfe:	Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 263. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/291>, abgerufen am 11.05.2024.

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