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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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bel ist/ und das Rechtekk ade dem Rechtekk abc gleich/ vermög des 17den im VI. so
wird auch der Punct e in der Hyperbel seyn/ vermög obiger dritten Betrachtung. Fer-
ner/ weil da dem de, und also auch (vermög des 5ten im I. B.) der Winkel dae dem Win-
kel dea, das ist (Laut des 29sten im I. B.) dem Winkel eak gleich ist; die Winkel bey e
aber auch einander gleich gemachet worden/ so sind beyde Dreyekke aei, aek gleichwinklicht/
und (weil sie die Seite ae gemein haben) einander gleich/ Laut des 26sten im I. daß also
auch die Lineen ie und ek einander gleich seyn müssen. Weil aber nun (wie oben bewiesen)
der Punct e in der Hyperbel ist/ und ik, die an beyde Unberührende stösset/ halbteihlet; so
folget (nach der VI. Betrachtung) daß ik die Hyperbel in e berühre/ und daß dannenhero/
weil aei, aek gerade Winkel sind/ fe und ik die zwey Creutzende Achsen seyen.

Die Achte Betrachtung.

Jede berührende Lineen schneiden von deme/ zwischen beyden Unbe-
rührenden begriffenen Winkel der Hyperbel gleiche Dreyekke ab: und die/
von eben deroselben Dreyekke Seiten begriffene/ Rechtekke sind auch einan-
der gleich: Uber dieses werden die grössere Seiten bemeldter Dreyekke
von denen Berührenden; die Berührenden selbst in ihrem gemeinen Durch-
schnitt; wie auch derer Berührenden/ zwischen solchem Durchschnitt und
denen Unberührenden enthaltene/ Teihle/ in denen Anrührungspuncten/
nach gleicher Verhältnis zerschnitten.

Es berühren/ zum Exempel/ die Hyperbel ce (deren unberührende Lineen sind ag, ak)
zwey gerade/ beyderseits in denen Unberührenden geendigte/ Lineen gh und ik in denen Pun-
cten c und e: Wird nun gesagt/ daß beyde/ so wol Recht- als Dreyekke gah, iak einander
gleich seyen; und daß über dieses gi gegen ia, wie kh gegen ha, und gr gegen rh, wie kr
gegen ri; endlich auch gc gegen cr, wie ke gegen er, sich verhalte.

Dann so man aus denen Anrührungspuncten
c und e ziehet cb und ed gleichlauffend mit der ei-
nen Unberührenden/ als ah; Weil sich verhält
(Krafft des 4ten im VI.) wie gc gegen gh, al-
so gb gegen ga und bc gegen ah; und aber (ver-
mög obiger VI. Betrachtung) gh zweymal so
groß ist als gc, so muß auch ga zweymal so groß als
gb, und ah zweymal so groß als bc, und folgends
(Laut des 20sten im VI.) das Rechtekk gah
viermal so groß seyn als das Rechtekk gbc oder
abc. Gleicher gestalt wird erwiesen/ daß das Recht-
ekk iak viermal so groß sey als das Rechtekk ade.
Nun sind aber die beyde Rechtekke abc und ade
(Krafft obiger III. Betrachtung) einander
[Abbildung] gleich. Derohalben müssen auch beyder vierfältige Rechtekke/ gah und iak, einander
gleich seyn. Und diß ist eines.

Dieweil nun hieraus ferner folget (vermög des 16den im VI.) daß ga gegen ak sich
verhalte/ wie ia gegen ah, so sind auch beyde Dreyekke gah und iak einander gleich/ ver-
mög des 15den im VI. weil nehmlich ihre Seiten umb den gemeinen Winkel eine wieder-
kehrliche Verhältnis haben. Und diß ist das andere.

Und weil ferner auch wechselweis ga gegen ia sich verhält/ wie ak gegen ah: so ver-
hält sich auch zerteihlt gi gegen ia, wie kh gegen ha. Welches das dritte ist.

Ferner/ so man von beyden gleichen Dreyekken gah und iak, die gemeine vierseitige
Figur irha, hinweg nimmet/ so werden die übrige beyde Dreyekke gri und krh einander
gleich seyn/ und dannenhero (Krafft des 15den im VI.) ihre Seiten umb die gleiche Win-
kel bey r sich wiederkehrlich/ das ist/ gr gegen rh wie kr gegen ri, verhalten. Welches das
vierdte ist.

Endlich/ weil auch zusammgesetzet/ gh gegen rh wie ki gegen ri, oder halb gh (das
ist/ ch) gegen rh wie halb ki (das ist/ ei) gegen ri; so verhält sich auch rukkwerts (ver-

mög
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bel iſt/ und das Rechtekk ade dem Rechtekk abc gleich/ vermoͤg des 17den im VI. ſo
wird auch der Punct e in der Hyperbel ſeyn/ vermoͤg obiger dritten Betrachtung. Fer-
ner/ weil da dem de, und alſo auch (vermoͤg des 5ten im I. B.) der Winkel dae dem Win-
kel dea, das iſt (Laut des 29ſten im I. B.) dem Winkel eak gleich iſt; die Winkel bey e
aber auch einander gleich gemachet worden/ ſo ſind beyde Dreyekke aei, aek gleichwinklicht/
und (weil ſie die Seite ae gemein haben) einander gleich/ Laut des 26ſten im I. daß alſo
auch die Lineen ie und ek einander gleich ſeyn muͤſſen. Weil aber nun (wie oben bewieſen)
der Punct e in der Hyperbel iſt/ und ik, die an beyde Unberuͤhrende ſtoͤſſet/ halbteihlet; ſo
folget (nach der VI. Betrachtung) daß ik die Hyperbel in e beruͤhre/ und daß dannenhero/
weil aei, aek gerade Winkel ſind/ fe und ik die zwey Creutzende Achſen ſeyen.

Die Achte Betrachtung.

Jede beruͤhrende Lineen ſchneiden von deme/ zwiſchen beyden Unbe-
ruͤhrenden begriffenen Winkel der Hyperbel gleiche Dreyekke ab: und die/
von eben deroſelben Dreyekke Seiten begriffene/ Rechtekke ſind auch einan-
der gleich: Uber dieſes werden die groͤſſere Seiten bemeldter Dreyekke
von denen Beruͤhrenden; die Beruͤhrenden ſelbſt in ihrem gemeinen Durch-
ſchnitt; wie auch derer Beruͤhrenden/ zwiſchen ſolchem Durchſchnitt und
denen Unberuͤhrenden enthaltene/ Teihle/ in denen Anruͤhrungspuncten/
nach gleicher Verhaͤltnis zerſchnitten.

Es beruͤhren/ zum Exempel/ die Hyperbel ce (deren unberuͤhrende Lineen ſind ag, ak)
zwey gerade/ beyderſeits in denen Unberuͤhrenden geendigte/ Lineen gh und ik in denen Pun-
cten c und e: Wird nun geſagt/ daß beyde/ ſo wol Recht- als Dreyekke gah, iak einander
gleich ſeyen; und daß uͤber dieſes gi gegen ia, wie kh gegen ha, und gr gegen rh, wie kr
gegen ri; endlich auch gc gegen cr, wie ke gegen er, ſich verhalte.

Dann ſo man aus denen Anruͤhrungspuncten
c und e ziehet cb und ed gleichlauffend mit der ei-
nen Unberuͤhrenden/ als ah; Weil ſich verhaͤlt
(Krafft des 4ten im VI.) wie gc gegen gh, al-
ſo gb gegen ga und bc gegen ah; und aber (ver-
moͤg obiger VI. Betrachtung) gh zweymal ſo
groß iſt als gc, ſo muß auch ga zweymal ſo groß als
gb, und ah zweymal ſo groß als bc, und folgends
(Laut des 20ſten im VI.) das Rechtekk gah
viermal ſo groß ſeyn als das Rechtekk gbc oder
abc. Gleicher geſtalt wird erwieſen/ daß das Recht-
ekk iak viermal ſo groß ſey als das Rechtekk ade.
Nun ſind aber die beyde Rechtekke abc und ade
(Krafft obiger III. Betrachtung) einander
[Abbildung] gleich. Derohalben muͤſſen auch beyder vierfaͤltige Rechtekke/ gah und iak, einander
gleich ſeyn. Und diß iſt eines.

Dieweil nun hieraus ferner folget (vermoͤg des 16den im VI.) daß ga gegen ak ſich
verhalte/ wie ia gegen ah, ſo ſind auch beyde Dreyekke gah und iak einander gleich/ ver-
moͤg des 15den im VI. weil nehmlich ihre Seiten umb den gemeinen Winkel eine wieder-
kehrliche Verhaͤltnis haben. Und diß iſt das andere.

Und weil ferner auch wechſelweis ga gegen ia ſich verhaͤlt/ wie ak gegen ah: ſo ver-
haͤlt ſich auch zerteihlt gi gegen ia, wie kh gegen ha. Welches das dritte iſt.

Ferner/ ſo man von beyden gleichen Dreyekken gah und iak, die gemeine vierſeitige
Figur irha, hinweg nimmet/ ſo werden die uͤbrige beyde Dreyekke gri und krh einander
gleich ſeyn/ und dannenhero (Krafft des 15den im VI.) ihre Seiten umb die gleiche Win-
kel bey r ſich wiederkehrlich/ das iſt/ gr gegen rh wie kr gegen ri, verhalten. Welches das
vierdte iſt.

Endlich/ weil auch zuſammgeſetzet/ gh gegen rh wie ki gegen ri, oder halb gh (das
iſt/ ch) gegen rh wie halb ki (das iſt/ ei) gegen ri; ſo verhaͤlt ſich auch rukkwerts (ver-

moͤg
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[211/0239] bel iſt/ und das Rechtekk ade dem Rechtekk abc gleich/ vermoͤg des 17den im VI. ſo wird auch der Punct e in der Hyperbel ſeyn/ vermoͤg obiger dritten Betrachtung. Fer- ner/ weil da dem de, und alſo auch (vermoͤg des 5ten im I. B.) der Winkel dae dem Win- kel dea, das iſt (Laut des 29ſten im I. B.) dem Winkel eak gleich iſt; die Winkel bey e aber auch einander gleich gemachet worden/ ſo ſind beyde Dreyekke aei, aek gleichwinklicht/ und (weil ſie die Seite ae gemein haben) einander gleich/ Laut des 26ſten im I. daß alſo auch die Lineen ie und ek einander gleich ſeyn muͤſſen. Weil aber nun (wie oben bewieſen) der Punct e in der Hyperbel iſt/ und ik, die an beyde Unberuͤhrende ſtoͤſſet/ halbteihlet; ſo folget (nach der VI. Betrachtung) daß ik die Hyperbel in e beruͤhre/ und daß dannenhero/ weil aei, aek gerade Winkel ſind/ fe und ik die zwey Creutzende Achſen ſeyen. Die Achte Betrachtung. Jede beruͤhrende Lineen ſchneiden von deme/ zwiſchen beyden Unbe- ruͤhrenden begriffenen Winkel der Hyperbel gleiche Dreyekke ab: und die/ von eben deroſelben Dreyekke Seiten begriffene/ Rechtekke ſind auch einan- der gleich: Uber dieſes werden die groͤſſere Seiten bemeldter Dreyekke von denen Beruͤhrenden; die Beruͤhrenden ſelbſt in ihrem gemeinen Durch- ſchnitt; wie auch derer Beruͤhrenden/ zwiſchen ſolchem Durchſchnitt und denen Unberuͤhrenden enthaltene/ Teihle/ in denen Anruͤhrungspuncten/ nach gleicher Verhaͤltnis zerſchnitten. Es beruͤhren/ zum Exempel/ die Hyperbel ce (deren unberuͤhrende Lineen ſind ag, ak) zwey gerade/ beyderſeits in denen Unberuͤhrenden geendigte/ Lineen gh und ik in denen Pun- cten c und e: Wird nun geſagt/ daß beyde/ ſo wol Recht- als Dreyekke gah, iak einander gleich ſeyen; und daß uͤber dieſes gi gegen ia, wie kh gegen ha, und gr gegen rh, wie kr gegen ri; endlich auch gc gegen cr, wie ke gegen er, ſich verhalte. Dann ſo man aus denen Anruͤhrungspuncten c und e ziehet cb und ed gleichlauffend mit der ei- nen Unberuͤhrenden/ als ah; Weil ſich verhaͤlt (Krafft des 4ten im VI.) wie gc gegen gh, al- ſo gb gegen ga und bc gegen ah; und aber (ver- moͤg obiger VI. Betrachtung) gh zweymal ſo groß iſt als gc, ſo muß auch ga zweymal ſo groß als gb, und ah zweymal ſo groß als bc, und folgends (Laut des 20ſten im VI.) das Rechtekk gah viermal ſo groß ſeyn als das Rechtekk gbc oder abc. Gleicher geſtalt wird erwieſen/ daß das Recht- ekk iak viermal ſo groß ſey als das Rechtekk ade. Nun ſind aber die beyde Rechtekke abc und ade (Krafft obiger III. Betrachtung) einander [Abbildung] gleich. Derohalben muͤſſen auch beyder vierfaͤltige Rechtekke/ gah und iak, einander gleich ſeyn. Und diß iſt eines. Dieweil nun hieraus ferner folget (vermoͤg des 16den im VI.) daß ga gegen ak ſich verhalte/ wie ia gegen ah, ſo ſind auch beyde Dreyekke gah und iak einander gleich/ ver- moͤg des 15den im VI. weil nehmlich ihre Seiten umb den gemeinen Winkel eine wieder- kehrliche Verhaͤltnis haben. Und diß iſt das andere. Und weil ferner auch wechſelweis ga gegen ia ſich verhaͤlt/ wie ak gegen ah: ſo ver- haͤlt ſich auch zerteihlt gi gegen ia, wie kh gegen ha. Welches das dritte iſt. Ferner/ ſo man von beyden gleichen Dreyekken gah und iak, die gemeine vierſeitige Figur irha, hinweg nimmet/ ſo werden die uͤbrige beyde Dreyekke gri und krh einander gleich ſeyn/ und dannenhero (Krafft des 15den im VI.) ihre Seiten umb die gleiche Win- kel bey r ſich wiederkehrlich/ das iſt/ gr gegen rh wie kr gegen ri, verhalten. Welches das vierdte iſt. Endlich/ weil auch zuſammgeſetzet/ gh gegen rh wie ki gegen ri, oder halb gh (das iſt/ ch) gegen rh wie halb ki (das iſt/ ei) gegen ri; ſo verhaͤlt ſich auch rukkwerts (ver- moͤg D d ij

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Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 211. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/239>, abgerufen am 27.11.2024.