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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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entgegen-gesetzte Hyperbel: und die/ welche auf den andern Creutzenden
Durchmesser/ jedes nach Belieben genommenen/ ordentlich-gezogen wird/
ist gleichlauffend mit besagtem genommenen Durchmesser.

Beweiß.

Es sey einer/ oder zweyer entgegen-gesetzter Hyperbolen/ ic und he (deren Unberührende
sind bgdf) nach Belieben genommener Quehrmesser ce, und durch desselben Endpunct/ e,
gezogen feg gleichlauffend mit bd, welche die Hyperbel ic in c berühret/ also daß so wol
diese als jene denen beyden Unberührenden begegne in b, d und f, g: Wird nun gesagt/ daß
feg auch die entgegen-gesetzte Hyperbel in e berühre; und/ so man durch a ziehet den an-
dern Creutzenden Durchmesser ak, daß alle/ auf solchen/ Ordentlich-gezogene mit dem Quehr-
messer ce gleichlauffen.

[Abbildung]

Dann dieweil (wegen Aehnlichkeit beyder Drey-
ekke aeg, acb) wie ae gegen eg, also ac gegen cb,
und wie ae gegen ef, also ac gegen cd sich verhält
(Krafft des 4ten im VI. B.) und aber ae und ac
(nach der fünften Betrachtung 2ter Folge) wie
auch (nach der sechsten Betrachtung) cb und cd,
einander gleich sind; so werden auch (Laut des 14den
im V.) eg und cb, wie auch ef und cd, und folgends
auch eg und ef einander gleich seyn. Welchem nach
(vermög der sechsten Betrachtung) fg die entgegen-
gesetzte Hyperbel he in dem Punct e berühret. Und diß
ist eines. Ferner/ (wann man durch g und d ziehet
die Lini gd, welche den Durchmesser ak durchschnei-
det in k, und beyde Hyperbolen belanget in h und i,)
dieweil eg, cd gleich und gleichlauffend sind/ so wer-
den auch ec und gd gleichlauffend und einander gleich
seyn/ vermög des 33sten im I. B. Derowegen/ weil
der andere Durchmesser ak (als des Durchmessers ce Creutzmesser) denen berührenden bd
und fg, das ist/ [vermög der VI. Betrachtung 3. Folge] denen/ auf ce ordentlich-gezo-
genen gleichlauffet/ so werden auch (Laut des 34sten im I. B.) gk, ea, wie auch kd und
ac, und folgends auch gk und kd, und (so man gh und di, welche nach der fünften
Betrachtung zweyter Folge auch einander gleich sind/ beyderseits darzu nimmet) endlich
auch kh und ki, einander gleich seyn. Derohalben/ weil hi (Krafft der V. Betrachtung
6ter Folge) auf den andern Durchmesser ak ordentlich-gezogen ist/ so werden auch die andere
Ordentlich-gezogene alle (vermög bemeldter 6ten und vorhergehender 5ten Folge) mit
hi, das ist/ mit dem Durchmesser ce gleichlauffen. Und diß ist das andere.

Die Erste Aufgab.

Wann zwey Creutzende Durchmesser nach Belieben gegeben sind/ der
Hyperbel beyde Creutzende Achsen zu finden.

[Abbildung]

Es seyen gegeben zwey Creutzende Durchmesser
(diametri conjugatae) einer Hyperbel/ pc, gh, und
sollen eben deroselben Hyperbel Creutzende Achsen (axes
conjugati) gefunden werden.

So ziehe man nun aus dem Mittelpunct a, durch g
und h die beyde Unberührende ag, ah, und auf eine
deroselben aus c die Lini cb gleichlauffend mit der an-
dern; finde so dann zwischen ab und bc die mittlere
gleichverhaltende ad. Wann man nun ferner aus d
ziehet de gleich ad und gleichlauffend mit ah, so wird
eaf, welche durch e und a streichet/ und zweymal so
groß/ als ea, ist/ die begehrte Quehr-Achse/ und iek,
welche auf eaf senkrecht fället und in beyden Unberüh-
renden sich endet/ die andere Creutzende Achse seyn.
Dann weil (dem Satz nach) der Punct c in der Hyper-

bel ist/

entgegen-geſetzte Hyperbel: und die/ welche auf den andern Creutzenden
Durchmeſſer/ jedes nach Belieben genommenen/ ordentlich-gezogen wird/
iſt gleichlauffend mit beſagtem genommenen Durchmeſſer.

Beweiß.

Es ſey einer/ oder zweyer entgegen-geſetzter Hyperbolen/ ic und he (deren Unberuͤhrende
ſind bgdf) nach Belieben genommener Quehrmeſſer ce, und durch deſſelben Endpunct/ e,
gezogen feg gleichlauffend mit bd, welche die Hyperbel ic in c beruͤhret/ alſo daß ſo wol
dieſe als jene denen beyden Unberuͤhrenden begegne in b, d und f, g: Wird nun geſagt/ daß
feg auch die entgegen-geſetzte Hyperbel in e beruͤhre; und/ ſo man durch a ziehet den an-
dern Creutzenden Durchmeſſer ak, daß alle/ auf ſolchen/ Ordentlich-gezogene mit dem Quehr-
meſſer ce gleichlauffen.

[Abbildung]

Dann dieweil (wegen Aehnlichkeit beyder Drey-
ekke aeg, acb) wie ae gegen eg, alſo ac gegen cb,
und wie ae gegen ef, alſo ac gegen cd ſich verhaͤlt
(Krafft des 4ten im VI. B.) und aber ae und ac
(nach der fünften Betrachtung 2ter Folge) wie
auch (nach der ſechſten Betrachtung) cb und cd,
einander gleich ſind; ſo werden auch (Laut des 14den
im V.) eg und cb, wie auch ef und cd, und folgends
auch eg und ef einander gleich ſeyn. Welchem nach
(vermoͤg der ſechſten Betrachtung) fg die entgegen-
geſetzte Hyperbel he in dem Punct e beruͤhret. Und diß
iſt eines. Ferner/ (wann man durch g und d ziehet
die Lini gd, welche den Durchmeſſer ak durchſchnei-
det in k, und beyde Hyperbolen belanget in h und i,)
dieweil eg, cd gleich und gleichlauffend ſind/ ſo wer-
den auch ec und gd gleichlauffend und einander gleich
ſeyn/ vermoͤg des 33ſten im I. B. Derowegen/ weil
der andere Durchmeſſer ak (als des Durchmeſſers ce Creutzmeſſer) denen beruͤhrenden bd
und fg, das iſt/ [vermoͤg der VI. Betrachtung 3. Folge] denen/ auf ce ordentlich-gezo-
genen gleichlauffet/ ſo werden auch (Laut des 34ſten im I. B.) gk, ea, wie auch kd und
ac, und folgends auch gk und kd, und (ſo man gh und di, welche nach der fuͤnften
Betrachtung zweyter Folge auch einander gleich ſind/ beyderſeits darzu nimmet) endlich
auch kh und ki, einander gleich ſeyn. Derohalben/ weil hi (Krafft der V. Betrachtung
6ter Folge) auf den andern Durchmeſſer ak ordentlich-gezogen iſt/ ſo werden auch die andere
Ordentlich-gezogene alle (vermoͤg bemeldter 6ten und vorhergehender 5ten Folge) mit
hi, das iſt/ mit dem Durchmeſſer ce gleichlauffen. Und diß iſt das andere.

Die Erſte Aufgab.

Wann zwey Creutzende Durchmeſſer nach Belieben gegeben ſind/ der
Hyperbel beyde Creutzende Achſen zu finden.

[Abbildung]

Es ſeyen gegeben zwey Creutzende Durchmeſſer
(diametri conjugatæ) einer Hyperbel/ pc, gh, und
ſollen eben deroſelben Hyperbel Creutzende Achſen (axes
conjugati) gefunden werden.

So ziehe man nun aus dem Mittelpunct a, durch g
und h die beyde Unberuͤhrende ag, ah, und auf eine
deroſelben aus c die Lini cb gleichlauffend mit der an-
dern; finde ſo dann zwiſchen ab und bc die mittlere
gleichverhaltende ad. Wann man nun ferner aus d
ziehet de gleich ad und gleichlauffend mit ah, ſo wird
eaf, welche durch e und a ſtreichet/ und zweymal ſo
groß/ als ea, iſt/ die begehrte Quehr-Achſe/ und iek,
welche auf eaf ſenkrecht faͤllet und in beyden Unberuͤh-
renden ſich endet/ die andere Creutzende Achſe ſeyn.
Dann weil (dem Satz nach) der Punct c in der Hyper-

bel iſt/
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[210/0238] entgegen-geſetzte Hyperbel: und die/ welche auf den andern Creutzenden Durchmeſſer/ jedes nach Belieben genommenen/ ordentlich-gezogen wird/ iſt gleichlauffend mit beſagtem genommenen Durchmeſſer. Beweiß. Es ſey einer/ oder zweyer entgegen-geſetzter Hyperbolen/ ic und he (deren Unberuͤhrende ſind bgdf) nach Belieben genommener Quehrmeſſer ce, und durch deſſelben Endpunct/ e, gezogen feg gleichlauffend mit bd, welche die Hyperbel ic in c beruͤhret/ alſo daß ſo wol dieſe als jene denen beyden Unberuͤhrenden begegne in b, d und f, g: Wird nun geſagt/ daß feg auch die entgegen-geſetzte Hyperbel in e beruͤhre; und/ ſo man durch a ziehet den an- dern Creutzenden Durchmeſſer ak, daß alle/ auf ſolchen/ Ordentlich-gezogene mit dem Quehr- meſſer ce gleichlauffen. [Abbildung] Dann dieweil (wegen Aehnlichkeit beyder Drey- ekke aeg, acb) wie ae gegen eg, alſo ac gegen cb, und wie ae gegen ef, alſo ac gegen cd ſich verhaͤlt (Krafft des 4ten im VI. B.) und aber ae und ac (nach der fünften Betrachtung 2ter Folge) wie auch (nach der ſechſten Betrachtung) cb und cd, einander gleich ſind; ſo werden auch (Laut des 14den im V.) eg und cb, wie auch ef und cd, und folgends auch eg und ef einander gleich ſeyn. Welchem nach (vermoͤg der ſechſten Betrachtung) fg die entgegen- geſetzte Hyperbel he in dem Punct e beruͤhret. Und diß iſt eines. Ferner/ (wann man durch g und d ziehet die Lini gd, welche den Durchmeſſer ak durchſchnei- det in k, und beyde Hyperbolen belanget in h und i,) dieweil eg, cd gleich und gleichlauffend ſind/ ſo wer- den auch ec und gd gleichlauffend und einander gleich ſeyn/ vermoͤg des 33ſten im I. B. Derowegen/ weil der andere Durchmeſſer ak (als des Durchmeſſers ce Creutzmeſſer) denen beruͤhrenden bd und fg, das iſt/ [vermoͤg der VI. Betrachtung 3. Folge] denen/ auf ce ordentlich-gezo- genen gleichlauffet/ ſo werden auch (Laut des 34ſten im I. B.) gk, ea, wie auch kd und ac, und folgends auch gk und kd, und (ſo man gh und di, welche nach der fuͤnften Betrachtung zweyter Folge auch einander gleich ſind/ beyderſeits darzu nimmet) endlich auch kh und ki, einander gleich ſeyn. Derohalben/ weil hi (Krafft der V. Betrachtung 6ter Folge) auf den andern Durchmeſſer ak ordentlich-gezogen iſt/ ſo werden auch die andere Ordentlich-gezogene alle (vermoͤg bemeldter 6ten und vorhergehender 5ten Folge) mit hi, das iſt/ mit dem Durchmeſſer ce gleichlauffen. Und diß iſt das andere. Die Erſte Aufgab. Wann zwey Creutzende Durchmeſſer nach Belieben gegeben ſind/ der Hyperbel beyde Creutzende Achſen zu finden. [Abbildung] Es ſeyen gegeben zwey Creutzende Durchmeſſer (diametri conjugatæ) einer Hyperbel/ pc, gh, und ſollen eben deroſelben Hyperbel Creutzende Achſen (axes conjugati) gefunden werden. So ziehe man nun aus dem Mittelpunct a, durch g und h die beyde Unberuͤhrende ag, ah, und auf eine deroſelben aus c die Lini cb gleichlauffend mit der an- dern; finde ſo dann zwiſchen ab und bc die mittlere gleichverhaltende ad. Wann man nun ferner aus d ziehet de gleich ad und gleichlauffend mit ah, ſo wird eaf, welche durch e und a ſtreichet/ und zweymal ſo groß/ als ea, iſt/ die begehrte Quehr-Achſe/ und iek, welche auf eaf ſenkrecht faͤllet und in beyden Unberuͤh- renden ſich endet/ die andere Creutzende Achſe ſeyn. Dann weil (dem Satz nach) der Punct c in der Hyper- bel iſt/

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Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 210. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/238>, abgerufen am 05.05.2024.