Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

Bild:
<< vorherige Seite
nächste Seite >>

Archimedis Anderes Buch
Teihlung von der gleichen geschehe/ das gemachte aus den ungleichen Teihlen immer kleiner
und kleiner werde; also daß der obige Satz in diesen wieder allgemeinen könte verwandelt
werden:

Wann ein Ganzes in zwey gleiche/ und wiederumb etlich mal in zwey
ungleiche Teihle geteihlet wird/ so ist das gemachte aus zweyen ungleichen
Teihlen/ welche der Gleichteihlung näher sind/ allezeit grösser als ein an-
deres/ welches aus zweyen/ von der Halbteihlung entfernetern Teihlen
gemachet wird.

[Abbildung]

Zu mehrer Erläuterung des Satzes (keines weges aber zum Beweiß desselben/
dann der muß allgemein werden) wollen wir/ an statt eines jeden andern ganzen/
eine Lini fürstellen/ welche da sey bey 1 halbgeteihlet; und heisse der halbe Teihl/ zum
Exempel/ A. Bey 2 sey die nächste ungleiche Teihlung/ und heisse der Uberrest des
grössesten Teihls über die Helste/ B; so ist der grösseste Teihl a+b, der kleinere aber
a-b. Bey 3 sey eine fernere ungleiche Teihlung/ und heisse der Rest des grössesten
Teihls über den grössesten der vorigen Teihlung/ C; so wird der grösseste Teihl die-
ser leztern Teihlung seyn a+b+c, der kleineste aber a-b-c. Soll nun be-
wiesen werden/ daß das gemachte aus den ersten ungleichen Teihlen (aus a+b
in a-b) grösser sey/ als das was kommt aus den beyden leztern/ von der Halb-
teihlung entfernetern/ nehmlich aus a+b+c in a-b-c. Solches nun sicht-
lich zu machen/ so ist aus dem vorhergehenden bekannt/ daß a+b in a-b bringe
aa-bb. Wann ich aber

[Formel 1]

5. Zum fünsten machet Archimedes am End seines Beweises den Schluß: Weil die
Vierung HF gegen der Vierung KF eine grössere Verhältnis hat/ als KF gegen FG, so habe
auch HF gegen FG eine grössere Verhältnis/ als KF gegen FG anderthalbmal genommen.
Welchen Schluß Eutokius gründet auf folgendem Lehensatz:

[Abbildung]

Wann aus dreyen Lineen (AB, C und D) die Vierung der
ersten (AB) gegen der Vierung der andern (C) eine grössere
Verhältnis hat/ als die andere (C) gegen der dritten (D;)
so hat die erste (AB) gegen der dritten (D) auch eine grössere
als die anderthalbige Verhältnis der jenigen/ welche da hat die
andere gegen der dritten (C gegen D.)

Dessen Beweiß ohngefehr dieser ist: Weil die Verhältnis der Vierung AB
gegen der Vierung C (das ist/ die Gedoppelte des AB gegen C) grösser ist als
die Verhältnis C gegen D (das ist/ als die gedoppelte des C gegen einer zwischen
C und D mittlern gleichverhaltenden/ E) so muß auch die einfache AB gegen C
grösser seyn als die einfache C gegen E oder E gegen D. Folgends muß die jeni-
ge Lini/ welche gegen C eben die Verhältnis hat/ welche da hat C gegen E, klei-
ner seyn als AB, zum Exempel BF, und derowegen auch AB gegen der lezten D eine grössere
Verhältnis haben/ als BF gegen eben derselben leztern/ D. Nun aber hat BF gegen D eine
anderthalbige Verhältnis der jenigen/ welche da hat C gegen D (dann sie bestehet aus dreyen
solchen Verhältnissen/ deren die Verhältnis C gegen D zwey in sich begreiffet) nach Anlei-

tung

Archimedis Anderes Buch
Teihlung von der gleichen geſchehe/ das gemachte aus den ungleichen Teihlen immer kleiner
und kleiner werde; alſo daß der obige Satz in dieſen wieder allgemeinen koͤnte verwandelt
werden:

Wann ein Ganzes in zwey gleiche/ und wiederumb etlich mal in zwey
ungleiche Teihle geteihlet wird/ ſo iſt das gemachte aus zweyen ungleichen
Teihlen/ welche der Gleichteihlung naͤher ſind/ allezeit groͤſſer als ein an-
deres/ welches aus zweyen/ von der Halbteihlung entfernetern Teihlen
gemachet wird.

[Abbildung]

Zu mehrer Erlaͤuterung des Satzes (keines weges aber zum Beweiß deſſelben/
dann der muß allgemein werden) wollen wir/ an ſtatt eines jeden andern ganzen/
eine Lini fuͤrſtellen/ welche da ſey bey 1 halbgeteihlet; und heiſſe der halbe Teihl/ zum
Exempel/ A. Bey 2 ſey die naͤchſte ungleiche Teihlung/ und heiſſe der Uberreſt des
groͤſſeſten Teihls uͤber die Helſte/ B; ſo iſt der groͤſſeſte Teihl a+b, der kleinere aber
a-b. Bey 3 ſey eine fernere ungleiche Teihlung/ und heiſſe der Reſt des groͤſſeſten
Teihls uͤber den groͤſſeſten der vorigen Teihlung/ C; ſo wird der groͤſſeſte Teihl die-
ſer leztern Teihlung ſeyn a+b+c, der kleineſte aber a-b-c. Soll nun be-
wieſen werden/ daß das gemachte aus den erſten ungleichen Teihlen (aus a+b
in a-b) groͤſſer ſey/ als das was kommt aus den beyden leztern/ von der Halb-
teihlung entfernetern/ nehmlich aus a+b+c in a-b-c. Solches nun ſicht-
lich zu machen/ ſo iſt aus dem vorhergehenden bekannt/ daß a+b in a-b bringe
aa-bb. Wann ich aber

[Formel 1]

5. Zum fuͤnſten machet Archimedes am End ſeines Beweiſes den Schluß: Weil die
Vierung HF gegen der Vierung KF eine groͤſſere Verhaͤltnis hat/ als KF gegen FG, ſo habe
auch HF gegen FG eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als KF gegen FG anderthalbmal genommen.
Welchen Schluß Eutokius gruͤndet auf folgendem Lehenſatz:

[Abbildung]

Wann aus dreyen Lineen (AB, C und D) die Vierung der
erſten (AB) gegen der Vierung der andern (C) eine groͤſſere
Verhaͤltnis hat/ als die andere (C) gegen der dritten (D;)
ſo hat die erſte (AB) gegen der dritten (D) auch eine groͤſſere
als die anderthalbige Verhaͤltnis der jenigen/ welche da hat die
andere gegen der dritten (C gegen D.)

Deſſen Beweiß ohngefehr dieſer iſt: Weil die Verhaͤltnis der Vierung AB
gegen der Vierung C (das iſt/ die Gedoppelte des AB gegen C) groͤſſer iſt als
die Verhaͤltnis C gegen D (das iſt/ als die gedoppelte des C gegen einer zwiſchen
C und D mittlern gleichverhaltenden/ E) ſo muß auch die einfache AB gegen C
groͤſſer ſeyn als die einfache C gegen E oder E gegen D. Folgends muß die jeni-
ge Lini/ welche gegen C eben die Verhaͤltnis hat/ welche da hat C gegen E, klei-
ner ſeyn als AB, zum Exempel BF, und derowegen auch AB gegen der lezten D eine groͤſſere
Verhaͤltnis haben/ als BF gegen eben derſelben leztern/ D. Nun aber hat BF gegen D eine
anderthalbige Verhaͤltnis der jenigen/ welche da hat C gegen D (dann ſie beſtehet aus dreyen
ſolchen Verhaͤltniſſen/ deren die Verhaͤltnis C gegen D zwey in ſich begreiffet) nach Anlei-

tung
<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <div n="3">
            <div n="3">
              <p><pb facs="#f0174" n="146"/><fw place="top" type="header"><hi rendition="#b">Archimedis Anderes Buch</hi></fw><lb/>
Teihlung von der gleichen ge&#x017F;chehe/ das gemachte aus den ungleichen Teihlen immer kleiner<lb/>
und kleiner werde; al&#x017F;o daß der obige Satz in die&#x017F;en wieder allgemeinen ko&#x0364;nte verwandelt<lb/>
werden:</p><lb/>
              <p> <hi rendition="#fr">Wann ein Ganzes in zwey gleiche/ und wiederumb etlich mal in zwey<lb/>
ungleiche Teihle geteihlet wird/ &#x017F;o i&#x017F;t das gemachte aus zweyen ungleichen<lb/>
Teihlen/ welche der Gleichteihlung na&#x0364;her &#x017F;ind/ allezeit gro&#x0364;&#x017F;&#x017F;er als ein an-<lb/>
deres/ welches aus zweyen/ von der Halbteihlung entfernetern Teihlen<lb/>
gemachet wird.</hi> </p><lb/>
              <figure/>
              <p>Zu mehrer Erla&#x0364;uterung des Satzes (keines weges aber zum Beweiß de&#x017F;&#x017F;elben/<lb/>
dann der muß allgemein werden) wollen wir/ an &#x017F;tatt eines jeden andern ganzen/<lb/>
eine Lini fu&#x0364;r&#x017F;tellen/ welche da &#x017F;ey bey 1 halbgeteihlet; und hei&#x017F;&#x017F;e der halbe Teihl/ zum<lb/>
Exempel/ <hi rendition="#aq">A.</hi> Bey 2 &#x017F;ey die na&#x0364;ch&#x017F;te ungleiche Teihlung/ und hei&#x017F;&#x017F;e der Uberre&#x017F;t des<lb/>
gro&#x0364;&#x017F;&#x017F;e&#x017F;ten Teihls u&#x0364;ber die Hel&#x017F;te/ <hi rendition="#aq">B;</hi> &#x017F;o i&#x017F;t der gro&#x0364;&#x017F;&#x017F;e&#x017F;te Teihl <hi rendition="#aq"><hi rendition="#i">a+b</hi>,</hi> der kleinere aber<lb/><hi rendition="#aq"><hi rendition="#i">a-b.</hi></hi> Bey 3 &#x017F;ey eine fernere ungleiche Teihlung/ und hei&#x017F;&#x017F;e der Re&#x017F;t des gro&#x0364;&#x017F;&#x017F;e&#x017F;ten<lb/>
Teihls u&#x0364;ber den gro&#x0364;&#x017F;&#x017F;e&#x017F;ten der vorigen Teihlung/ <hi rendition="#aq">C;</hi> &#x017F;o wird der gro&#x0364;&#x017F;&#x017F;e&#x017F;te Teihl die-<lb/>
&#x017F;er leztern Teihlung &#x017F;eyn <hi rendition="#aq"><hi rendition="#i">a+b+c</hi>,</hi> der kleine&#x017F;te aber <hi rendition="#aq"><hi rendition="#i">a-b-c.</hi></hi> Soll nun be-<lb/>
wie&#x017F;en werden/ daß das gemachte aus den er&#x017F;ten ungleichen Teihlen (aus <hi rendition="#aq"><hi rendition="#i">a+b</hi></hi><lb/>
in <hi rendition="#aq"><hi rendition="#i">a-b</hi></hi>) gro&#x0364;&#x017F;&#x017F;er &#x017F;ey/ als das was kommt aus den beyden leztern/ von der Halb-<lb/>
teihlung entfernetern/ nehmlich aus <hi rendition="#aq"><hi rendition="#i">a+b+c</hi></hi> in <hi rendition="#aq"><hi rendition="#i">a-b-c.</hi></hi> Solches nun &#x017F;icht-<lb/>
lich zu machen/ &#x017F;o i&#x017F;t aus dem vorhergehenden bekannt/ daß <hi rendition="#aq"><hi rendition="#i">a+b</hi></hi> in <hi rendition="#aq"><hi rendition="#i">a-b</hi></hi> bringe<lb/><hi rendition="#aq"><hi rendition="#i">aa-bb.</hi></hi> Wann ich aber</p>
              <p>
                <formula/>
              </p>
              <p>5. Zum fu&#x0364;n&#x017F;ten machet <hi rendition="#fr">Archimedes</hi> am End &#x017F;eines Bewei&#x017F;es den Schluß: Weil die<lb/>
Vierung <hi rendition="#aq">HF</hi> gegen der Vierung <hi rendition="#aq">KF</hi> eine gro&#x0364;&#x017F;&#x017F;ere Verha&#x0364;ltnis hat/ als <hi rendition="#aq">KF</hi> gegen <hi rendition="#aq">FG,</hi> &#x017F;o habe<lb/>
auch <hi rendition="#aq">HF</hi> gegen <hi rendition="#aq">FG</hi> eine gro&#x0364;&#x017F;&#x017F;ere Verha&#x0364;ltnis/ als <hi rendition="#aq">KF</hi> gegen <hi rendition="#aq">FG</hi> anderthalbmal genommen.<lb/>
Welchen Schluß <hi rendition="#fr">Eutokius</hi> gru&#x0364;ndet auf folgendem Lehen&#x017F;atz:</p><lb/>
              <figure/>
              <p><hi rendition="#fr">Wann aus dreyen Lineen</hi> (<hi rendition="#aq">AB, C</hi> und <hi rendition="#aq">D</hi>) <hi rendition="#fr">die Vierung der<lb/>
er&#x017F;ten</hi> (<hi rendition="#aq">AB</hi>) <hi rendition="#fr">gegen der Vierung der andern</hi> (<hi rendition="#aq">C</hi>) <hi rendition="#fr">eine gro&#x0364;&#x017F;&#x017F;ere<lb/>
Verha&#x0364;ltnis hat/ als die andere</hi> (<hi rendition="#aq">C</hi>) <hi rendition="#fr">gegen der dritten</hi> (<hi rendition="#aq">D;</hi>)<lb/><hi rendition="#fr">&#x017F;o hat die er&#x017F;te</hi> (<hi rendition="#aq">AB</hi>) <hi rendition="#fr">gegen der dritten</hi> (<hi rendition="#aq">D</hi>) <hi rendition="#fr">auch eine gro&#x0364;&#x017F;&#x017F;ere<lb/>
als die anderthalbige Verha&#x0364;ltnis der jenigen/ welche da hat die<lb/>
andere gegen der dritten</hi> (<hi rendition="#aq">C</hi> gegen <hi rendition="#aq">D.</hi>)</p><lb/>
              <p>De&#x017F;&#x017F;en Beweiß ohngefehr die&#x017F;er i&#x017F;t: Weil die Verha&#x0364;ltnis der Vierung <hi rendition="#aq">AB</hi><lb/>
gegen der Vierung <hi rendition="#aq">C</hi> (das i&#x017F;t/ die Gedoppelte des <hi rendition="#aq">AB</hi> gegen <hi rendition="#aq">C</hi>) gro&#x0364;&#x017F;&#x017F;er i&#x017F;t als<lb/>
die Verha&#x0364;ltnis <hi rendition="#aq">C</hi> gegen <hi rendition="#aq">D</hi> (das i&#x017F;t/ als die gedoppelte des <hi rendition="#aq">C</hi> gegen einer zwi&#x017F;chen<lb/><hi rendition="#aq">C</hi> und <hi rendition="#aq">D</hi> mittlern gleichverhaltenden/ <hi rendition="#aq">E</hi>) &#x017F;o muß auch die einfache <hi rendition="#aq">AB</hi> gegen <hi rendition="#aq">C</hi><lb/>
gro&#x0364;&#x017F;&#x017F;er &#x017F;eyn als die einfache <hi rendition="#aq">C</hi> gegen <hi rendition="#aq">E</hi> oder <hi rendition="#aq">E</hi> gegen <hi rendition="#aq">D.</hi> Folgends muß die jeni-<lb/>
ge Lini/ welche gegen <hi rendition="#aq">C</hi> eben die Verha&#x0364;ltnis hat/ welche da hat <hi rendition="#aq">C</hi> gegen <hi rendition="#aq">E,</hi> klei-<lb/>
ner &#x017F;eyn als <hi rendition="#aq">AB,</hi> zum Exempel <hi rendition="#aq">BF,</hi> und derowegen auch <hi rendition="#aq">AB</hi> gegen der lezten <hi rendition="#aq">D</hi> eine gro&#x0364;&#x017F;&#x017F;ere<lb/>
Verha&#x0364;ltnis haben/ als <hi rendition="#aq">BF</hi> gegen eben der&#x017F;elben leztern/ <hi rendition="#aq">D.</hi> Nun aber hat <hi rendition="#aq">BF</hi> gegen <hi rendition="#aq">D</hi> eine<lb/>
anderthalbige Verha&#x0364;ltnis der jenigen/ welche da hat <hi rendition="#aq">C</hi> gegen <hi rendition="#aq">D</hi> (dann &#x017F;ie be&#x017F;tehet aus dreyen<lb/>
&#x017F;olchen Verha&#x0364;ltni&#x017F;&#x017F;en/ deren die Verha&#x0364;ltnis <hi rendition="#aq">C</hi> gegen <hi rendition="#aq">D</hi> zwey in &#x017F;ich begreiffet) <hi rendition="#fr">nach Anlei-</hi><lb/>
<fw place="bottom" type="catch"><hi rendition="#fr">tung</hi></fw><lb/></p>
            </div>
          </div>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[146/0174] Archimedis Anderes Buch Teihlung von der gleichen geſchehe/ das gemachte aus den ungleichen Teihlen immer kleiner und kleiner werde; alſo daß der obige Satz in dieſen wieder allgemeinen koͤnte verwandelt werden: Wann ein Ganzes in zwey gleiche/ und wiederumb etlich mal in zwey ungleiche Teihle geteihlet wird/ ſo iſt das gemachte aus zweyen ungleichen Teihlen/ welche der Gleichteihlung naͤher ſind/ allezeit groͤſſer als ein an- deres/ welches aus zweyen/ von der Halbteihlung entfernetern Teihlen gemachet wird. [Abbildung] Zu mehrer Erlaͤuterung des Satzes (keines weges aber zum Beweiß deſſelben/ dann der muß allgemein werden) wollen wir/ an ſtatt eines jeden andern ganzen/ eine Lini fuͤrſtellen/ welche da ſey bey 1 halbgeteihlet; und heiſſe der halbe Teihl/ zum Exempel/ A. Bey 2 ſey die naͤchſte ungleiche Teihlung/ und heiſſe der Uberreſt des groͤſſeſten Teihls uͤber die Helſte/ B; ſo iſt der groͤſſeſte Teihl a+b, der kleinere aber a-b. Bey 3 ſey eine fernere ungleiche Teihlung/ und heiſſe der Reſt des groͤſſeſten Teihls uͤber den groͤſſeſten der vorigen Teihlung/ C; ſo wird der groͤſſeſte Teihl die- ſer leztern Teihlung ſeyn a+b+c, der kleineſte aber a-b-c. Soll nun be- wieſen werden/ daß das gemachte aus den erſten ungleichen Teihlen (aus a+b in a-b) groͤſſer ſey/ als das was kommt aus den beyden leztern/ von der Halb- teihlung entfernetern/ nehmlich aus a+b+c in a-b-c. Solches nun ſicht- lich zu machen/ ſo iſt aus dem vorhergehenden bekannt/ daß a+b in a-b bringe aa-bb. Wann ich aber [FORMEL] 5. Zum fuͤnſten machet Archimedes am End ſeines Beweiſes den Schluß: Weil die Vierung HF gegen der Vierung KF eine groͤſſere Verhaͤltnis hat/ als KF gegen FG, ſo habe auch HF gegen FG eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als KF gegen FG anderthalbmal genommen. Welchen Schluß Eutokius gruͤndet auf folgendem Lehenſatz: [Abbildung] Wann aus dreyen Lineen (AB, C und D) die Vierung der erſten (AB) gegen der Vierung der andern (C) eine groͤſſere Verhaͤltnis hat/ als die andere (C) gegen der dritten (D;) ſo hat die erſte (AB) gegen der dritten (D) auch eine groͤſſere als die anderthalbige Verhaͤltnis der jenigen/ welche da hat die andere gegen der dritten (C gegen D.) Deſſen Beweiß ohngefehr dieſer iſt: Weil die Verhaͤltnis der Vierung AB gegen der Vierung C (das iſt/ die Gedoppelte des AB gegen C) groͤſſer iſt als die Verhaͤltnis C gegen D (das iſt/ als die gedoppelte des C gegen einer zwiſchen C und D mittlern gleichverhaltenden/ E) ſo muß auch die einfache AB gegen C groͤſſer ſeyn als die einfache C gegen E oder E gegen D. Folgends muß die jeni- ge Lini/ welche gegen C eben die Verhaͤltnis hat/ welche da hat C gegen E, klei- ner ſeyn als AB, zum Exempel BF, und derowegen auch AB gegen der lezten D eine groͤſſere Verhaͤltnis haben/ als BF gegen eben derſelben leztern/ D. Nun aber hat BF gegen D eine anderthalbige Verhaͤltnis der jenigen/ welche da hat C gegen D (dann ſie beſtehet aus dreyen ſolchen Verhaͤltniſſen/ deren die Verhaͤltnis C gegen D zwey in ſich begreiffet) nach Anlei- tung

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
TCF (tokenisiert, serialisiert, lemmatisiert, normalisiert)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670
URL zu dieser Seite: https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/174
Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 146. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/174>, abgerufen am 28.04.2024.