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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Von der Kugel und Rund-Säule.

Hieraus kan nun leichtlich erhellen der obige Satz Archimedis/ weil erstlich HB und KB
zwey ungleiche Lineen sind/ und zu beyden das gemeine BF gesetzet wird/ daß daher HF und
KF entstehet; nachmals zu diesen beyden ungleichen wieder ein gemeines/ FN, gesetzet wird/
daß HN und KN erwachsen/ und daher/ was Archimedes beyderseits schliesset/ vermög erst-
erwiesenen Hülf-Satzes/ nohtwendig folget.

3. Das dritte/ welches Erläuterns bedarf/ ist dieses/ daß Archimedes ferner schliesset/
weil HF gegen KF eine kleinete Verhältnis hat/ als KF gegen FG, so sey das Rechtekk aus
HF in FG kleiner als die Vierung von KF; und wiederumb/ weil BF gegen BE eine kleinere
Verhältnis hat/ als HB gegen BF, so sey die Vierung von BF kleiner als das Rechtekk aus
HB in BE. Welches beydes auf diesem allgemeinen Satz beruhet:

Wann aus dreyen Dingen das erste gegen dem andern eine kleinere Ver-
hältnis hat/ als das andere gegen dem dritten/ so ist das kommende aus
dem ersten in das dritte kleiner/ als das Vermögen des mittlern: Grösser
aber hingegen/ wann das erste gegen dem andern eine grössere Verhältnis
hat/ als das andere gegen dem dritten.

Den wir abermals augenscheinlich also beweisen: a-x hat gegen ea eine kleinere Ver-
hältnis als ea gegen eea. Das aber/ was kommet aus dem ersten a-x in das lezte eea,
ist eeaa-eeax; das Vermögen aber des mittlern ist eeaa, und also jenes augenschein-
lich kleiner als dieses. Wiederumb: a+x hat gegen ea eine grössere Verhältnis/ als ea
gegen eea. Das jenige aber/ was kommt aus dem ersten in das lezte/ ist eeaa+eeax;
und das Vermögen des mittlern wieder eeaa, augenscheinlich kleiner als jenes. Es ist aber
auch umbgekehret/ wann das kommende aus dem ersten in das lezte kleiner ist als das Ver-
mögen des mittlern/ oder auch als das kommende aus zweyen mittlern (dann es gehet der
Satz in 4. Dingen eben so gewiß an/ als in dreyen) alsdann die Verhältnis des ersten gegen
dem andern kleiner/ als des andern gegen dem dritten/ oder (wann 4. Dinge gegeben sind)
des dritten gegen dem vierdten/ etc. Wie der verständige Leser/ nach Anleitung erstgegebenen
Beweises leichtlich selbsten finden wird.

4. Zum vierdten schliesset Archimedes/ weil BE und ED einander gleich sind/ bf aber
und FD ungleich/ so sey das Rechtekk aus BF in FD kleiner als das Rechtekk aus BE in ED
(oder vielmehr die Vierung BE.) Welches auf einem solchen allgemeinen Satz gegründet
ist/ dergleichen wir oben/ aus dem II. Buch Euclidis/ auf eine leichte Art bewiesen haben/
nehmlich auf diesem:

Wann ein Ganzes in zwey gleiche/ und wiederumb in zwey ungleiche
Teihle geteihlet wird/ so ist das gemachte aus denen beyden ungleichen Teih-
len allezeit kleiner als das Vermögen eines gleichen Teihls.

Dessen Beweiß dann in dem 5ten des II. Buchs Euclidis/ den wir oben bey dem
XVI. Lehrsatz des I. Buchs allgemein bewiesen haben/ allbereit würklich enthalten ist; Kan
aber auch für sich selbsten eben so leicht gegeben/ und auf Archimedis Vorhaben also gezogen
werden: Jeden gleichen Teihl des Ganzen (BD) nehmlich BE und ED nenne man a; FE
aber heisse b; so wird der grösseste ungleiche Teihl seyn a+b, der kleinere aber a-b. Nun
ist das Vermögen eines gleichen Teihls/ aa.

[Formel 1]

Eutokius hänget hier eine Folge mit an/ welche zwar eigentlich zu Archimedis Zwekk
nicht vonnöhten/ an sich selbsten aber merkwürdig ist/ daß nehmlich/ je weiter die ungleiche

Teih-
T
Von der Kugel und Rund-Saͤule.

Hieraus kan nun leichtlich erhellen der obige Satz Archimedis/ weil erſtlich HB und KB
zwey ungleiche Lineen ſind/ und zu beyden das gemeine BF geſetzet wird/ daß daher HF und
KF entſtehet; nachmals zu dieſen beyden ungleichen wieder ein gemeines/ FN, geſetzet wird/
daß HN und KN erwachſen/ und daher/ was Archimedes beyderſeits ſchlieſſet/ vermoͤg erſt-
erwieſenen Huͤlf-Satzes/ nohtwendig folget.

3. Das dritte/ welches Erlaͤuterns bedarf/ iſt dieſes/ daß Archimedes ferner ſchlieſſet/
weil HF gegen KF eine kleinete Verhaͤltnis hat/ als KF gegen FG, ſo ſey das Rechtekk aus
HF in FG kleiner als die Vierung von KF; und wiederumb/ weil BF gegen BE eine kleinere
Verhaͤltnis hat/ als HB gegen BF, ſo ſey die Vierung von BF kleiner als das Rechtekk aus
HB in BE. Welches beydes auf dieſem allgemeinen Satz beruhet:

Wann aus dreyen Dingen das erſte gegen dem andern eine kleinere Ver-
haͤltnis hat/ als das andere gegen dem dritten/ ſo iſt das kommende aus
dem erſten in das dritte kleiner/ als das Vermoͤgen des mittlern: Groͤſſer
aber hingegen/ wann das erſte gegen dem andern eine groͤſſere Verhaͤltnis
hat/ als das andere gegen dem dritten.

Den wir abermals augenſcheinlich alſo beweiſen: a-x hat gegen ea eine kleinere Ver-
haͤltnis als ea gegen eea. Das aber/ was kommet aus dem erſten a-x in das lezte eea,
iſt eeaa-eeax; das Vermoͤgen aber des mittlern iſt eeaa, und alſo jenes augenſchein-
lich kleiner als dieſes. Wiederumb: a+x hat gegen ea eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als ea
gegen eea. Das jenige aber/ was kommt aus dem erſten in das lezte/ iſt eeaa+eeax;
und das Vermoͤgen des mittlern wieder eeaa, augenſcheinlich kleiner als jenes. Es iſt aber
auch umbgekehret/ wann das kommende aus dem erſten in das lezte kleiner iſt als das Ver-
moͤgen des mittlern/ oder auch als das kommende aus zweyen mittlern (dann es gehet der
Satz in 4. Dingen eben ſo gewiß an/ als in dreyen) alsdann die Verhaͤltnis des erſten gegen
dem andern kleiner/ als des andern gegen dem dritten/ oder (wann 4. Dinge gegeben ſind)
des dritten gegen dem vierdten/ ꝛc. Wie der verſtaͤndige Leſer/ nach Anleitung erſtgegebenen
Beweiſes leichtlich ſelbſten finden wird.

4. Zum vierdten ſchlieſſet Archimedes/ weil BE und ED einander gleich ſind/ bf aber
und FD ungleich/ ſo ſey das Rechtekk aus BF in FD kleiner als das Rechtekk aus BE in ED
(oder vielmehr die Vierung BE.) Welches auf einem ſolchen allgemeinen Satz gegruͤndet
iſt/ dergleichen wir oben/ aus dem II. Buch Euclidis/ auf eine leichte Art bewieſen haben/
nehmlich auf dieſem:

Wann ein Ganzes in zwey gleiche/ und wiederumb in zwey ungleiche
Teihle geteihlet wird/ ſo iſt das gemachte aus denen beyden ungleichen Teih-
len allezeit kleiner als das Vermoͤgen eines gleichen Teihls.

Deſſen Beweiß dann in dem 5ten des II. Buchs Euclidis/ den wir oben bey dem
XVI. Lehrſatz des I. Buchs allgemein bewieſen haben/ allbereit wuͤrklich enthalten iſt; Kan
aber auch fuͤr ſich ſelbſten eben ſo leicht gegeben/ und auf Archimedis Vorhaben alſo gezogen
werden: Jeden gleichen Teihl des Ganzen (BD) nehmlich BE und ED nenne man a; FE
aber heiſſe b; ſo wird der groͤſſeſte ungleiche Teihl ſeyn a+b, der kleinere aber a-b. Nun
iſt das Vermoͤgen eines gleichen Teihls/ aa.

[Formel 1]

Eutokius haͤnget hier eine Folge mit an/ welche zwar eigentlich zu Archimedis Zwekk
nicht vonnoͤhten/ an ſich ſelbſten aber merkwuͤrdig iſt/ daß nehmlich/ je weiter die ungleiche

Teih-
T
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[145/0173] Von der Kugel und Rund-Saͤule. Hieraus kan nun leichtlich erhellen der obige Satz Archimedis/ weil erſtlich HB und KB zwey ungleiche Lineen ſind/ und zu beyden das gemeine BF geſetzet wird/ daß daher HF und KF entſtehet; nachmals zu dieſen beyden ungleichen wieder ein gemeines/ FN, geſetzet wird/ daß HN und KN erwachſen/ und daher/ was Archimedes beyderſeits ſchlieſſet/ vermoͤg erſt- erwieſenen Huͤlf-Satzes/ nohtwendig folget. 3. Das dritte/ welches Erlaͤuterns bedarf/ iſt dieſes/ daß Archimedes ferner ſchlieſſet/ weil HF gegen KF eine kleinete Verhaͤltnis hat/ als KF gegen FG, ſo ſey das Rechtekk aus HF in FG kleiner als die Vierung von KF; und wiederumb/ weil BF gegen BE eine kleinere Verhaͤltnis hat/ als HB gegen BF, ſo ſey die Vierung von BF kleiner als das Rechtekk aus HB in BE. Welches beydes auf dieſem allgemeinen Satz beruhet: Wann aus dreyen Dingen das erſte gegen dem andern eine kleinere Ver- haͤltnis hat/ als das andere gegen dem dritten/ ſo iſt das kommende aus dem erſten in das dritte kleiner/ als das Vermoͤgen des mittlern: Groͤſſer aber hingegen/ wann das erſte gegen dem andern eine groͤſſere Verhaͤltnis hat/ als das andere gegen dem dritten. Den wir abermals augenſcheinlich alſo beweiſen: a-x hat gegen ea eine kleinere Ver- haͤltnis als ea gegen eea. Das aber/ was kommet aus dem erſten a-x in das lezte eea, iſt eeaa-eeax; das Vermoͤgen aber des mittlern iſt eeaa, und alſo jenes augenſchein- lich kleiner als dieſes. Wiederumb: a+x hat gegen ea eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als ea gegen eea. Das jenige aber/ was kommt aus dem erſten in das lezte/ iſt eeaa+eeax; und das Vermoͤgen des mittlern wieder eeaa, augenſcheinlich kleiner als jenes. Es iſt aber auch umbgekehret/ wann das kommende aus dem erſten in das lezte kleiner iſt als das Ver- moͤgen des mittlern/ oder auch als das kommende aus zweyen mittlern (dann es gehet der Satz in 4. Dingen eben ſo gewiß an/ als in dreyen) alsdann die Verhaͤltnis des erſten gegen dem andern kleiner/ als des andern gegen dem dritten/ oder (wann 4. Dinge gegeben ſind) des dritten gegen dem vierdten/ ꝛc. Wie der verſtaͤndige Leſer/ nach Anleitung erſtgegebenen Beweiſes leichtlich ſelbſten finden wird. 4. Zum vierdten ſchlieſſet Archimedes/ weil BE und ED einander gleich ſind/ bf aber und FD ungleich/ ſo ſey das Rechtekk aus BF in FD kleiner als das Rechtekk aus BE in ED (oder vielmehr die Vierung BE.) Welches auf einem ſolchen allgemeinen Satz gegruͤndet iſt/ dergleichen wir oben/ aus dem II. Buch Euclidis/ auf eine leichte Art bewieſen haben/ nehmlich auf dieſem: Wann ein Ganzes in zwey gleiche/ und wiederumb in zwey ungleiche Teihle geteihlet wird/ ſo iſt das gemachte aus denen beyden ungleichen Teih- len allezeit kleiner als das Vermoͤgen eines gleichen Teihls. Deſſen Beweiß dann in dem 5ten des II. Buchs Euclidis/ den wir oben bey dem XVI. Lehrſatz des I. Buchs allgemein bewieſen haben/ allbereit wuͤrklich enthalten iſt; Kan aber auch fuͤr ſich ſelbſten eben ſo leicht gegeben/ und auf Archimedis Vorhaben alſo gezogen werden: Jeden gleichen Teihl des Ganzen (BD) nehmlich BE und ED nenne man a; FE aber heiſſe b; ſo wird der groͤſſeſte ungleiche Teihl ſeyn a+b, der kleinere aber a-b. Nun iſt das Vermoͤgen eines gleichen Teihls/ aa. [FORMEL] Eutokius haͤnget hier eine Folge mit an/ welche zwar eigentlich zu Archimedis Zwekk nicht vonnoͤhten/ an ſich ſelbſten aber merkwuͤrdig iſt/ daß nehmlich/ je weiter die ungleiche Teih- T

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Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 145. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/173>, abgerufen am 28.04.2024.