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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Archimedis Anderes Buch
2. Anmerkung) HF gegen KF eine grössere Verhältnis/ als HN gegen KN,
und folgends auch die Vierung HF gegen der Vierung KF, als die Vierung
HN gegen der Vierung KN, das ist/ als HB gegen BK, oder als KF gegen
FG. Und also hat aus diesen dreyen Lineen/ HF, KF und FG, die Vie-
rung der ersten gegen der Vierung der andern eine grössere Verhältnis/ als die
andere gegen der dritten; Derowegen hat auch die erste gegen der dritten (HF
gegen FG) eine grössere Verhältnis/ als KF gegen FG, das ist/ als BF ge-
gen FD, anderthalbmal genommen (vermög folgender 5. Anmerkung.)
Welches fürs andere hat sollen bewiesen werden.

Anmerkungen.

Unterschiedliches muß hier erläutert werden/ damit der Beweiß Archimedis recht hell
und klar für Augen lige.

1. Schliesset er gleich Anfangs/ weil wie DE sambt DF gegen DF sich verhält/ also
HF gegen FB, so müsse auch seyn wie BF gegen FD, also HB gegen BE, wegen Gleichheit
derer beyden BE und DE. Dieses seines Schlusses Richtigkeit erhellet nun also: Wie DE
sambt DF gegen DF, also ist HF gegen FB. Derowegen auch zerteihlet/ wie DE, das ist/
BE, gegen DF, also HB gegen BF; und wechselweis/ wie BE gegen HB, also DF gegen
BF; und umbgekehrt/ wie BF gegen DF, also HB gegen BE; Welches eben besagter Schluß
ist/ den Archimedes hier aufs neue nicht hat beweisen wollen/ weil er denselben oben schon/ im
Beweiß des II. Lehrsatzes/ gleich Anfangs ausgeführet hat/ wie er sich dann deswegen auf
das vorhergehende beruffet.

2. Darnach setzet Archimedes als gewiß/ daß HF gegen KF eine kleinere Verhältnis
habe/ als HB gegen BK; und abermals HF gegen KF eine grössere als HN gegen KN. Bey-
des bestehet auf einerley Grund/ welchen Eutokius ohngefehr folgender Gestalt fürbringet
und beweiset:

[Abbildung]

Wann zu zweyen ungleichen Grössen (als AB und CD)
zwey gleiche (BE und DF) gesetzet werden/ so hat die grössere
derer beyden ersten ungleichen gegen der kleinern (AB gegen
CD) eine grössere Verhältnis/ als die grössere der beyden zu-
sammgesetzten gegen der kleinern (als AE gegen CF.)

Dann/ weil AB grösser ist als CD, so hat BE gegen AB eine kleinere
Verhältnis/ als eben dieselbe BE, das ist/ DF gegen CD; vermög des 8ten
im V. und zusammgesetzet/ AE gegen AB eine kleinere als CF gegen CD,
nach dem 28sten des V. und wechselweis/ AE gegen CF eine kleinere Ver-
hältnis als AB gegen CD, nach dem 27sten des V. das ist/ umbgekehrt/
AB hat gegen CD eine grössere Verhältnis als AE gegen CF.

Sonsten können wir eben dieses wiederumb durch einen augenscheinlichen Beweiß klar
machen/ wann wir die zwey ungleiche Dinge nennen ea und a, und zu beyden hinzu setzen b.
Dann also ligt am Tag/ daß ea gegen a eine grössere Verhältnis habe/ als ea+b gegen
a+b; und solches daher: Wann ich ea durch a teihle/ so kommt e; wann ich aber ea+b
durch a+b teihle/ so kommt weniger als e an statt des Quoti oder Teihlung-Zehlers; wel-
ches ein gewisses Anzeigen ist der kleinern Verhältnis. Daß aber weniger als e komme/ ist
offenbar. Dann wann e käme/ so müste der Teihler durch e vervielfältiget eben das geteihlte
wieder herfür bringen/ und wann mehr als e käme/ müste der Teihler a+b durch e verviel-
fältiget weniger bringen als das geteihlte war. Nun aber gibt a+b durch e geführet
ea+eb, welches grösser ist als ea+b. Noch kürzer könte der Beweiß/ und also/ verfas-
set werden: Wie ea gegen a, also ist ea+eb gegen a+b. Nun aber (weil ea+eb au-
genscheinlich grösser ist als ea+b) hat ea+eb gegen a+b eine grössere Verhältnis/ als
ea+b gegen a+b. Derowegen hat auch ea gegen a eine grössere Verhältnis/ als
ea+b gegen a+b; Welches zu beweisen war.

Hieraus

Archimedis Anderes Buch
2. Anmerkung) HF gegen KF eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als HN gegen KN,
und folgends auch die Vierung HF gegen der Vierung KF, als die Vierung
HN gegen der Vierung KN, das iſt/ als HB gegen BK, oder als KF gegen
FG. Und alſo hat aus dieſen dreyen Lineen/ HF, KF und FG, die Vie-
rung der erſten gegen der Vierung der andern eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als die
andere gegen der dritten; Derowegen hat auch die erſte gegen der dritten (HF
gegen FG) eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als KF gegen FG, das iſt/ als BF ge-
gen FD, anderthalbmal genommen (vermoͤg folgender 5. Anmerkung.)
Welches fuͤrs andere hat ſollen bewieſen werden.

Anmerkungen.

Unterſchiedliches muß hier erlaͤutert werden/ damit der Beweiß Archimedis recht hell
und klar fuͤr Augen lige.

1. Schlieſſet er gleich Anfangs/ weil wie DE ſambt DF gegen DF ſich verhaͤlt/ alſo
HF gegen FB, ſo muͤſſe auch ſeyn wie BF gegen FD, alſo HB gegen BE, wegen Gleichheit
derer beyden BE und DE. Dieſes ſeines Schluſſes Richtigkeit erhellet nun alſo: Wie DE
ſambt DF gegen DF, alſo iſt HF gegen FB. Derowegen auch zerteihlet/ wie DE, das iſt/
BE, gegen DF, alſo HB gegen BF; und wechſelweis/ wie BE gegen HB, alſo DF gegen
BF; und umbgekehrt/ wie BF gegen DF, alſo HB gegen BE; Welches eben beſagter Schluß
iſt/ den Archimedes hier aufs neue nicht hat beweiſen wollen/ weil er denſelben oben ſchon/ im
Beweiß des II. Lehrſatzes/ gleich Anfangs ausgefuͤhret hat/ wie er ſich dann deswegen auf
das vorhergehende beruffet.

2. Darnach ſetzet Archimedes als gewiß/ daß HF gegen KF eine kleinere Verhaͤltnis
habe/ als HB gegen BK; und abermals HF gegen KF eine groͤſſere als HN gegen KN. Bey-
des beſtehet auf einerley Grund/ welchen Eutokius ohngefehr folgender Geſtalt fuͤrbringet
und beweiſet:

[Abbildung]

Wann zu zweyen ungleichen Groͤſſen (als AB und CD)
zwey gleiche (BE und DF) geſetzet werden/ ſo hat die groͤſſere
derer beyden erſten ungleichen gegen der kleinern (AB gegen
CD) eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als die groͤſſere der beyden zu-
ſammgeſetzten gegen der kleinern (als AE gegen CF.)

Dann/ weil AB groͤſſer iſt als CD, ſo hat BE gegen AB eine kleinere
Verhaͤltnis/ als eben dieſelbe BE, das iſt/ DF gegen CD; vermoͤg des 8ten
im V. und zuſammgeſetzet/ AE gegen AB eine kleinere als CF gegen CD,
nach dem 28ſten des V. und wechſelweis/ AE gegen CF eine kleinere Ver-
haͤltnis als AB gegen CD, nach dem 27ſten des V. das iſt/ umbgekehrt/
AB hat gegen CD eine groͤſſere Verhaͤltnis als AE gegen CF.

Sonſten koͤnnen wir eben dieſes wiederumb durch einen augenſcheinlichen Beweiß klar
machen/ wann wir die zwey ungleiche Dinge nennen ea und a, und zu beyden hinzu ſetzen b.
Dann alſo ligt am Tag/ daß ea gegen a eine groͤſſere Verhaͤltnis habe/ als ea+b gegen
a+b; und ſolches daher: Wann ich ea durch a teihle/ ſo kommt e; wann ich aber ea+b
durch a+b teihle/ ſo kommt weniger als e an ſtatt des Quoti oder Teihlung-Zehlers; wel-
ches ein gewiſſes Anzeigen iſt der kleinern Verhaͤltnis. Daß aber weniger als e komme/ iſt
offenbar. Dann wann e kaͤme/ ſo muͤſte der Teihler durch e vervielfaͤltiget eben das geteihlte
wieder herfuͤr bringen/ und wann mehr als e kaͤme/ muͤſte der Teihler a+b durch e verviel-
faͤltiget weniger bringen als das geteihlte war. Nun aber gibt a+b durch e gefuͤhret
ea+eb, welches groͤſſer iſt als ea+b. Noch kuͤrzer koͤnte der Beweiß/ und alſo/ verfaſ-
ſet werden: Wie ea gegen a, alſo iſt ea+eb gegen a+b. Nun aber (weil ea+eb au-
genſcheinlich groͤſſer iſt als ea+b) hat ea+eb gegen a+b eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als
ea+b gegen a+b. Derowegen hat auch ea gegen a eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als
ea+b gegen a+b; Welches zu beweiſen war.

Hieraus
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[144/0172] Archimedis Anderes Buch 2. Anmerkung) HF gegen KF eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als HN gegen KN, und folgends auch die Vierung HF gegen der Vierung KF, als die Vierung HN gegen der Vierung KN, das iſt/ als HB gegen BK, oder als KF gegen FG. Und alſo hat aus dieſen dreyen Lineen/ HF, KF und FG, die Vie- rung der erſten gegen der Vierung der andern eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als die andere gegen der dritten; Derowegen hat auch die erſte gegen der dritten (HF gegen FG) eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als KF gegen FG, das iſt/ als BF ge- gen FD, anderthalbmal genommen (vermoͤg folgender 5. Anmerkung.) Welches fuͤrs andere hat ſollen bewieſen werden. Anmerkungen. Unterſchiedliches muß hier erlaͤutert werden/ damit der Beweiß Archimedis recht hell und klar fuͤr Augen lige. 1. Schlieſſet er gleich Anfangs/ weil wie DE ſambt DF gegen DF ſich verhaͤlt/ alſo HF gegen FB, ſo muͤſſe auch ſeyn wie BF gegen FD, alſo HB gegen BE, wegen Gleichheit derer beyden BE und DE. Dieſes ſeines Schluſſes Richtigkeit erhellet nun alſo: Wie DE ſambt DF gegen DF, alſo iſt HF gegen FB. Derowegen auch zerteihlet/ wie DE, das iſt/ BE, gegen DF, alſo HB gegen BF; und wechſelweis/ wie BE gegen HB, alſo DF gegen BF; und umbgekehrt/ wie BF gegen DF, alſo HB gegen BE; Welches eben beſagter Schluß iſt/ den Archimedes hier aufs neue nicht hat beweiſen wollen/ weil er denſelben oben ſchon/ im Beweiß des II. Lehrſatzes/ gleich Anfangs ausgefuͤhret hat/ wie er ſich dann deswegen auf das vorhergehende beruffet. 2. Darnach ſetzet Archimedes als gewiß/ daß HF gegen KF eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als HB gegen BK; und abermals HF gegen KF eine groͤſſere als HN gegen KN. Bey- des beſtehet auf einerley Grund/ welchen Eutokius ohngefehr folgender Geſtalt fuͤrbringet und beweiſet: [Abbildung] Wann zu zweyen ungleichen Groͤſſen (als AB und CD) zwey gleiche (BE und DF) geſetzet werden/ ſo hat die groͤſſere derer beyden erſten ungleichen gegen der kleinern (AB gegen CD) eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als die groͤſſere der beyden zu- ſammgeſetzten gegen der kleinern (als AE gegen CF.) Dann/ weil AB groͤſſer iſt als CD, ſo hat BE gegen AB eine kleinere Verhaͤltnis/ als eben dieſelbe BE, das iſt/ DF gegen CD; vermoͤg des 8ten im V. und zuſammgeſetzet/ AE gegen AB eine kleinere als CF gegen CD, nach dem 28ſten des V. und wechſelweis/ AE gegen CF eine kleinere Ver- haͤltnis als AB gegen CD, nach dem 27ſten des V. das iſt/ umbgekehrt/ AB hat gegen CD eine groͤſſere Verhaͤltnis als AE gegen CF. Sonſten koͤnnen wir eben dieſes wiederumb durch einen augenſcheinlichen Beweiß klar machen/ wann wir die zwey ungleiche Dinge nennen ea und a, und zu beyden hinzu ſetzen b. Dann alſo ligt am Tag/ daß ea gegen a eine groͤſſere Verhaͤltnis habe/ als ea+b gegen a+b; und ſolches daher: Wann ich ea durch a teihle/ ſo kommt e; wann ich aber ea+b durch a+b teihle/ ſo kommt weniger als e an ſtatt des Quoti oder Teihlung-Zehlers; wel- ches ein gewiſſes Anzeigen iſt der kleinern Verhaͤltnis. Daß aber weniger als e komme/ iſt offenbar. Dann wann e kaͤme/ ſo muͤſte der Teihler durch e vervielfaͤltiget eben das geteihlte wieder herfuͤr bringen/ und wann mehr als e kaͤme/ muͤſte der Teihler a+b durch e verviel- faͤltiget weniger bringen als das geteihlte war. Nun aber gibt a+b durch e gefuͤhret ea+eb, welches groͤſſer iſt als ea+b. Noch kuͤrzer koͤnte der Beweiß/ und alſo/ verfaſ- ſet werden: Wie ea gegen a, alſo iſt ea+eb gegen a+b. Nun aber (weil ea+eb au- genſcheinlich groͤſſer iſt als ea+b) hat ea+eb gegen a+b eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als ea+b gegen a+b. Derowegen hat auch ea gegen a eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als ea+b gegen a+b; Welches zu beweiſen war. Hieraus

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Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 144. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/172>, abgerufen am 28.04.2024.