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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Archimedis Anderes Buch

Beweiß.

Dann so man den Kegel AGC gleich machet dem Kugelschnitt ABC, nach
obigem II. Lehrsatz/ so folget/ weil ED gegen FD (Krafft obiger Auflösung)
sich verhält wie HL gegen LK; daß auch zusammgesetzet/ ED sambt FD gegen
FD (das ist/ Krafft erstangeregten II. Lehrsatzes/ FG gegen FB) sich ver-
halte/ wie HK gegen KL. Wie aber FG gegen FB sich verhält/ so verhält sich
der Kegel AGC gegen dem Kegel ABC, aus dem 14den des XII. Derowe-
gen muß sich auch der Kegel AGC (das ist/ der Kugelschnitt ABC) gegen dem
Kegel ABC verhalten wie HK gegen KL: Welches zu beweisen war.

Der VIII. Lehrsatz/
Und
Die Andere Betrachtung.

Wann eine Kugel von einer ebenen Fläche ausser dem Mit-
telpunct durchschnitten wird/ so hat der grössere Abschnitt gegen
dem klemern eine kleinere Verhältnis/ als die gedoppelte Verhältnis
der grössern Fläche gegen der kleinern; eine grössere aber als eben
derselben Flächen anderthalbige.

Erläuterung.

Es sey eine Kugel ABCD, von der Ebene AC ausser dem Mittelpunct
durchschnitten. Soll nun bewiesen werden/ daß der grosse Abschnitt ABC
gegen dem kleinern ADC eine kleinere Verhältnis habe/ als die Verhältnis
ihrer Flächen zweymal genommen: eine grössere aber als eben dieselbe Verhält-
nis der grössern Fläche gegen der kleinern/ anderthalbmal genommen.

[Abbildung]

Vorbereitung.

Zu leichterem Beweiß des besagten/ ziehe man zu förderst die Lineen AD
und AB, da dann die Vierung von AB gegen der Vierung von AD sich noht-
wendig eben so verhält/ wie die Fläche des grössern Kugelstükkes ABC gegen
der Fläche des kleinern/ vermög des XXXVIII. und XXXIX. Lehrsatzes
des vorhergehenden Buchs/ und des 2ten im XII. B. Euclidis. Ferner
mache man den Kegel AHC gleich dem Kugelschnitt ABC, und den Kegel
AGC gleich dem Kugelschnitt ADC, nach Anleitung des obigen II. Lehr-
satzes. Welchem nach der ganze Beweiß dahin gerichtet werden kan/ daß I.
der Kegel AHC gegen dem Kegel AGC, das ist (vermög des 14den im XII.)

die Höhe

Archimedis Anderes Buch

Beweiß.

Dann ſo man den Kegel AGC gleich machet dem Kugelſchnitt ABC, nach
obigem II. Lehrſatz/ ſo folget/ weil ED gegen FD (Krafft obiger Aufloͤſung)
ſich verhaͤlt wie HL gegen LK; daß auch zuſammgeſetzet/ ED ſambt FD gegen
FD (das iſt/ Krafft erſtangeregten II. Lehrſatzes/ FG gegen FB) ſich ver-
halte/ wie HK gegen KL. Wie aber FG gegen FB ſich verhaͤlt/ ſo verhaͤlt ſich
der Kegel AGC gegen dem Kegel ABC, aus dem 14den des XII. Derowe-
gen muß ſich auch der Kegel AGC (das iſt/ der Kugelſchnitt ABC) gegen dem
Kegel ABC verhalten wie HK gegen KL: Welches zu beweiſen war.

Der VIII. Lehrſatz/
Und
Die Andere Betrachtung.

Wann eine Kugel von einer ebenen Flaͤche auſſer dem Mit-
telpunct durchſchnitten wird/ ſo hat der groͤſſere Abſchnitt gegen
dem klemern eine kleinere Verhaͤltnis/ als die gedoppelte Verhaͤltnis
der groͤſſern Flaͤche gegen der kleinern; eine groͤſſere aber als eben
derſelben Flaͤchen anderthalbige.

Erlaͤuterung.

Es ſey eine Kugel ABCD, von der Ebene AC auſſer dem Mittelpunct
durchſchnitten. Soll nun bewieſen werden/ daß der groſſe Abſchnitt ABC
gegen dem kleinern ADC eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als die Verhaͤltnis
ihrer Flaͤchen zweymal genommen: eine groͤſſere aber als eben dieſelbe Verhaͤlt-
nis der groͤſſern Flaͤche gegen der kleinern/ anderthalbmal genommen.

[Abbildung]

Vorbereitung.

Zu leichterem Beweiß des beſagten/ ziehe man zu foͤrderſt die Lineen AD
und AB, da dann die Vierung von AB gegen der Vierung von AD ſich noht-
wendig eben ſo verhaͤlt/ wie die Flaͤche des groͤſſern Kugelſtuͤkkes ABC gegen
der Flaͤche des kleinern/ vermoͤg des XXXVIII. und XXXIX. Lehrſatzes
des vorhergehenden Buchs/ und des 2ten im XII. B. Euclidis. Ferner
mache man den Kegel AHC gleich dem Kugelſchnitt ABC, und den Kegel
AGC gleich dem Kugelſchnitt ADC, nach Anleitung des obigen II. Lehr-
ſatzes. Welchem nach der ganze Beweiß dahin gerichtet werden kan/ daß I.
der Kegel AHC gegen dem Kegel AGC, das iſt (vermoͤg des 14den im XII.)

die Hoͤhe

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[142/0170] Archimedis Anderes Buch Beweiß. Dann ſo man den Kegel AGC gleich machet dem Kugelſchnitt ABC, nach obigem II. Lehrſatz/ ſo folget/ weil ED gegen FD (Krafft obiger Aufloͤſung) ſich verhaͤlt wie HL gegen LK; daß auch zuſammgeſetzet/ ED ſambt FD gegen FD (das iſt/ Krafft erſtangeregten II. Lehrſatzes/ FG gegen FB) ſich ver- halte/ wie HK gegen KL. Wie aber FG gegen FB ſich verhaͤlt/ ſo verhaͤlt ſich der Kegel AGC gegen dem Kegel ABC, aus dem 14den des XII. Derowe- gen muß ſich auch der Kegel AGC (das iſt/ der Kugelſchnitt ABC) gegen dem Kegel ABC verhalten wie HK gegen KL: Welches zu beweiſen war. Der VIII. Lehrſatz/ Und Die Andere Betrachtung. Wann eine Kugel von einer ebenen Flaͤche auſſer dem Mit- telpunct durchſchnitten wird/ ſo hat der groͤſſere Abſchnitt gegen dem klemern eine kleinere Verhaͤltnis/ als die gedoppelte Verhaͤltnis der groͤſſern Flaͤche gegen der kleinern; eine groͤſſere aber als eben derſelben Flaͤchen anderthalbige. Erlaͤuterung. Es ſey eine Kugel ABCD, von der Ebene AC auſſer dem Mittelpunct durchſchnitten. Soll nun bewieſen werden/ daß der groſſe Abſchnitt ABC gegen dem kleinern ADC eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als die Verhaͤltnis ihrer Flaͤchen zweymal genommen: eine groͤſſere aber als eben dieſelbe Verhaͤlt- nis der groͤſſern Flaͤche gegen der kleinern/ anderthalbmal genommen. [Abbildung] Vorbereitung. Zu leichterem Beweiß des beſagten/ ziehe man zu foͤrderſt die Lineen AD und AB, da dann die Vierung von AB gegen der Vierung von AD ſich noht- wendig eben ſo verhaͤlt/ wie die Flaͤche des groͤſſern Kugelſtuͤkkes ABC gegen der Flaͤche des kleinern/ vermoͤg des XXXVIII. und XXXIX. Lehrſatzes des vorhergehenden Buchs/ und des 2ten im XII. B. Euclidis. Ferner mache man den Kegel AHC gleich dem Kugelſchnitt ABC, und den Kegel AGC gleich dem Kugelſchnitt ADC, nach Anleitung des obigen II. Lehr- ſatzes. Welchem nach der ganze Beweiß dahin gerichtet werden kan/ daß I. der Kegel AHC gegen dem Kegel AGC, das iſt (vermoͤg des 14den im XII.) die Hoͤhe

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Zitationshilfe:	Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 142. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/170>, abgerufen am 23.11.2024.

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