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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Von der Kugel und Rund-Säule.

Anmerkung.

Das jenige/ was Archimedes sagt/ die Verhältnis BC gegen EF sey gegeben/ weil beyde
Lineen BC und EF gegeben sind/ besser zu verstehen/ ist kürzlich anzumerken/ daß/ wann gesagt
wird/ dieser oder jener Kugelschnitt sey gegeben/ (wie hier die beyde ABC und DEF) solches
eben so viel sey/ als die Höhe des Kugelschnittes und der Durchmesser seiner Grundscheiben
seyen bekant oder gegeben (als hier BP und AC, &c.) Wann dann nun AC, und also auch
ihre Helfte PC, darbeneben BP, bekant ist/ so wird/ nach dem 47sten des I. Buchs/ auch
BC bekant. Gleicher Gestalt wird EF gesunden/ und also nohtwendig die Verhältnis BC
gegen EF bekant gemachet.

Der VII. Lehrsatz/
Und
Die Sechste Aufgab.

Eine gegebene Kugel mit einer ebenen Fläche also durchschnei-
den/ daß der Abschnitt gegen dem Kegel/ welcher mit ihm einerley
Grundscheibe und gleiche Höhe hat/ die gegebene Verhältnis habe.

Es sey die gegebene Kugel ABCD, die setze
ich nun/ gleich anfänglich/ von der Fläche AC,
auf den Durchmesser BD winkelrecht/ also zer-
schnitten zu seyn/ daß der Kugelschnitt ABC ge-
gen dem Kegel ACB die gegebene Verhältnis ha-
be; und schliesse daraus/ daß eben diese gegebene
Verhältnis nohtwendig grösser als anderthalbig
seyn müsse/ folgender Gestalt:

[Abbildung]

So man machet den Kegel AGC gleich dem Kugelschnitt ABC, nach An-
leitung des obigen II. Lehrsatzes/ so ist die Verhältnis des Kegels AGC gegen
dem Kegel ABC, und also auch (vermög des 14den im XII.) die Verhältnis/
FG gegen FB, gegeben. Wie sich aber FG gegen FB verhält/ so verhält sich
FD sambt ED gegen FD, Krafft obigen II. Lehrsatzes. FD sambt ED aber
hat gegen FD eine grössere Verhältnis/ als BD sambt ED gegen BD, das ist/
als 3 gegen 2. (Dann BD sambt ED, weil ED halb so groß ist als BD, ist
11/2 mal so groß als BD, aber FD sambt ED ist mehr als anderthalbmal so
groß als FD, weil ED mehr als die Helfte von FD ist.) Es ist aber die Ver-
hältnis FD sambt ED gegen FD gleich der gegebenen/ als erst bewiesen.
Derowegen ist die gegebene Verhältnis nohtwendig grösser als 3 gegen 2.

Auflösung obiger Aufgab.

Das begehrte nun zu vollbringen/ muß zu
förderst die gegebene Verhältnis grösser seyn als
3 gegen 2/ zum Exempel/ wie DK gegen KL.
Nachmals mache wie HL gegen LK, also ED
gegen FD, nach dem 12ten des VI. Ziehe
durch F, winkelrecht auf BD, die Lini AFC,
und lasse nach dieser Lini AC die Kugel von ei-
ner ebenen Fläche durchschnitten werden; so
wird ABC der begehrte Kugelschnitt seyn/ und
[Abbildung] gegen dem Kegel ACB sich verhalten wie HK gegen KL.

Beweiß.

S iij

Von der Kugel und Rund-Saͤule.

Anmerkung.

Das jenige/ was Archimedes ſagt/ die Verhaͤltnis BC gegen EF ſey gegeben/ weil beyde
Lineen BC und EF gegeben ſind/ beſſer zu verſtehen/ iſt kuͤrzlich anzumerken/ daß/ wann geſagt
wird/ dieſer oder jener Kugelſchnitt ſey gegeben/ (wie hier die beyde ABC und DEF) ſolches
eben ſo viel ſey/ als die Hoͤhe des Kugelſchnittes und der Durchmeſſer ſeiner Grundſcheiben
ſeyen bekant oder gegeben (als hier BP und AC, &c.) Wann dann nun AC, und alſo auch
ihre Helfte PC, darbeneben BP, bekant iſt/ ſo wird/ nach dem 47ſten des I. Buchs/ auch
BC bekant. Gleicher Geſtalt wird EF geſunden/ und alſo nohtwendig die Verhaͤltnis BC
gegen EF bekant gemachet.

Der VII. Lehrſatz/
Und
Die Sechſte Aufgab.

Eine gegebene Kugel mit einer ebenen Flaͤche alſo durchſchnei-
den/ daß der Abſchnitt gegen dem Kegel/ welcher mit ihm einerley
Grundſcheibe und gleiche Hoͤhe hat/ die gegebene Verhaͤltnis habe.

Es ſey die gegebene Kugel ABCD, die ſetze
ich nun/ gleich anfaͤnglich/ von der Flaͤche AC,
auf den Durchmeſſer BD winkelrecht/ alſo zer-
ſchnitten zu ſeyn/ daß der Kugelſchnitt ABC ge-
gen dem Kegel ACB die gegebene Verhaͤltnis ha-
be; und ſchlieſſe daraus/ daß eben dieſe gegebene
Verhaͤltnis nohtwendig groͤſſer als anderthalbig
ſeyn muͤſſe/ folgender Geſtalt:

[Abbildung]

So man machet den Kegel AGC gleich dem Kugelſchnitt ABC, nach An-
leitung des obigen II. Lehrſatzes/ ſo iſt die Verhaͤltnis des Kegels AGC gegen
dem Kegel ABC, und alſo auch (vermoͤg des 14den im XII.) die Verhaͤltnis/
FG gegen FB, gegeben. Wie ſich aber FG gegen FB verhaͤlt/ ſo verhaͤlt ſich
FD ſambt ED gegen FD, Krafft obigen II. Lehrſatzes. FD ſambt ED aber
hat gegen FD eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als BD ſambt ED gegen BD, das iſt/
als 3 gegen 2. (Dann BD ſambt ED, weil ED halb ſo groß iſt als BD, iſt
1½ mal ſo groß als BD, aber FD ſambt ED iſt mehr als anderthalbmal ſo
groß als FD, weil ED mehr als die Helfte von FD iſt.) Es iſt aber die Ver-
haͤltnis FD ſambt ED gegen FD gleich der gegebenen/ als erſt bewieſen.
Derowegen iſt die gegebene Verhaͤltnis nohtwendig groͤſſer als 3 gegen 2.

Aufloͤſung obiger Aufgab.

Das begehrte nun zu vollbringen/ muß zu
foͤrderſt die gegebene Verhaͤltnis groͤſſer ſeyn als
3 gegen 2/ zum Exempel/ wie DK gegen KL.
Nachmals mache wie HL gegen LK, alſo ED
gegen FD, nach dem 12ten des VI. Ziehe
durch F, winkelrecht auf BD, die Lini AFC,
und laſſe nach dieſer Lini AC die Kugel von ei-
ner ebenen Flaͤche durchſchnitten werden; ſo
wird ABC der begehrte Kugelſchnitt ſeyn/ und
[Abbildung] gegen dem Kegel ACB ſich verhalten wie HK gegen KL.

Beweiß.

S iij

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[141/0169] Von der Kugel und Rund-Saͤule. Anmerkung. Das jenige/ was Archimedes ſagt/ die Verhaͤltnis BC gegen EF ſey gegeben/ weil beyde Lineen BC und EF gegeben ſind/ beſſer zu verſtehen/ iſt kuͤrzlich anzumerken/ daß/ wann geſagt wird/ dieſer oder jener Kugelſchnitt ſey gegeben/ (wie hier die beyde ABC und DEF) ſolches eben ſo viel ſey/ als die Hoͤhe des Kugelſchnittes und der Durchmeſſer ſeiner Grundſcheiben ſeyen bekant oder gegeben (als hier BP und AC, &c.) Wann dann nun AC, und alſo auch ihre Helfte PC, darbeneben BP, bekant iſt/ ſo wird/ nach dem 47ſten des I. Buchs/ auch BC bekant. Gleicher Geſtalt wird EF geſunden/ und alſo nohtwendig die Verhaͤltnis BC gegen EF bekant gemachet. Der VII. Lehrſatz/ Und Die Sechſte Aufgab. Eine gegebene Kugel mit einer ebenen Flaͤche alſo durchſchnei- den/ daß der Abſchnitt gegen dem Kegel/ welcher mit ihm einerley Grundſcheibe und gleiche Hoͤhe hat/ die gegebene Verhaͤltnis habe. Es ſey die gegebene Kugel ABCD, die ſetze ich nun/ gleich anfaͤnglich/ von der Flaͤche AC, auf den Durchmeſſer BD winkelrecht/ alſo zer- ſchnitten zu ſeyn/ daß der Kugelſchnitt ABC ge- gen dem Kegel ACB die gegebene Verhaͤltnis ha- be; und ſchlieſſe daraus/ daß eben dieſe gegebene Verhaͤltnis nohtwendig groͤſſer als anderthalbig ſeyn muͤſſe/ folgender Geſtalt: [Abbildung] So man machet den Kegel AGC gleich dem Kugelſchnitt ABC, nach An- leitung des obigen II. Lehrſatzes/ ſo iſt die Verhaͤltnis des Kegels AGC gegen dem Kegel ABC, und alſo auch (vermoͤg des 14den im XII.) die Verhaͤltnis/ FG gegen FB, gegeben. Wie ſich aber FG gegen FB verhaͤlt/ ſo verhaͤlt ſich FD ſambt ED gegen FD, Krafft obigen II. Lehrſatzes. FD ſambt ED aber hat gegen FD eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als BD ſambt ED gegen BD, das iſt/ als 3 gegen 2. (Dann BD ſambt ED, weil ED halb ſo groß iſt als BD, iſt 1½ mal ſo groß als BD, aber FD ſambt ED iſt mehr als anderthalbmal ſo groß als FD, weil ED mehr als die Helfte von FD iſt.) Es iſt aber die Ver- haͤltnis FD ſambt ED gegen FD gleich der gegebenen/ als erſt bewieſen. Derowegen iſt die gegebene Verhaͤltnis nohtwendig groͤſſer als 3 gegen 2. Aufloͤſung obiger Aufgab. Das begehrte nun zu vollbringen/ muß zu foͤrderſt die gegebene Verhaͤltnis groͤſſer ſeyn als 3 gegen 2/ zum Exempel/ wie DK gegen KL. Nachmals mache wie HL gegen LK, alſo ED gegen FD, nach dem 12ten des VI. Ziehe durch F, winkelrecht auf BD, die Lini AFC, und laſſe nach dieſer Lini AC die Kugel von ei- ner ebenen Flaͤche durchſchnitten werden; ſo wird ABC der begehrte Kugelſchnitt ſeyn/ und [Abbildung] gegen dem Kegel ACB ſich verhalten wie HK gegen KL. Beweiß. S iij

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Zitationshilfe:	Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 141. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/169>, abgerufen am 28.04.2024.

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