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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Archimedis Erstes Buch
let/ daß/ wann man von dem ersten gegebenen das lezte/ auch bekante/ wegnimbt/ und das übrige
in drey gleiche Teihl teihlet/ so werde aus G und zwey solchen Teihlen das andere/ wiederumb aus
G und einem solchen Teihl das dritte/ und also die beyde begehrte mittlere gleichübertreffende.

2. Daß nun aber die dreyfache Verhältnis des ersten gegen dem andern (K gegen I)
kleiner sey als die Verhältnis des ersten gegen dem lezten (K gegen G) wollen wir Lusts halben/
denen Liebhabern der Buchstaben-Rechnung (Logisticae speciosae) also erweisen: g+3x
ist das erste/ und g+2x das andere/ und also der Rahme ihrer Verhältnis (nomen ratio-
nis) [Formel 1] vermittelst welches nun leichtlich gefunden wird das dritte gleichverhal-
tende/ [Formel 2] und das vierdte/ [Formel 3]
Nun ist die Verhältnis des ersten gegen diesem vierdten/ eben die dreyfache Verhältnis des
ersten gegen dem andern (des K gegen I;) also daß nur dieses zu beweisen übrig ist/ daß das erste
(K) gegen diesem vierdten eine kleinere Verhältnis habe/ als gegen G. Solches nun wird da-
her offenbar/ weil dieses vierdte gleichverhaltende grösser ist als das G, welches augenscheinlich
wird/ wann man das obere dieses Bruchs (fractionis) durch das untere teihlet/ und also findet/
daß er so viel gelte/ als [Formel 4] und derowegen mehr als G.

Wem diese Art zu schwär oder unannehmlich scheinet/ der kan sich eines andern Beweises
bedienen/ welchen Eutokius ohngefehr folgender Gestalt verfasset: Es seyen 4. gleich - über-
[Abbildung] treffende (Arithmetice proportionalia) B, G, H und K, und wie-
derumb mit B und G das dritte und vierdte gleichverhaltende (Geo-
metrice proportionalia) L und M, also daß (vermög der 10den
Worterklärung im V. B.) B gegen M eine dreyfache Verhält-
nis habe derer jenigen/ welche da hat B gegen G. Soll nun bewie-
sen werden/ daß B gegen M eine kleinere Verhältnis habe/ als eben
das B gegen K.

Dann weil sich/ wie B gegen G, also G gegen L, verhält/ so wird
L von G umb eben so viel Teihl seiner selbsten/ übertroffen/ als das G
von B. Nun aber (weil B grösser ist als G) sind die Teihle des B
grösser als die Teihle des G: derowegen ist der Rest des B über das
G grösser/ als der Rest des G über das L. Der Rest aber eben dessel-
ben/ G über H ist gleich dem Rest B über G. Darumb dann noht-
wendig L grösser seyn muß als H. Gleicher gestalt folget/ daß M
grösser sey als K, und deswegen (nach dem 8ten des V. B.) B ge-
gen M eine kleinere Verhältnis habe als gegen K, das ist/ als da ist die
dreyfache Verhältnis des B gegen G.

Folge.

Aus obigem Lehrsatz ist offenbar/ daß eine jede Rund-Säule/
deren Grundscheibe gleich ist der grössesten Scheibe einer Kugel/ die
Höhe aber ihrem Durchmesser/ anderthalb mal so groß sey als dieselbe
Kugel; und ihre ganze äussere Fläche/ sambt ihrer Grund- und Dek-
kel-Scheiben/ auch anderthalb mal so groß als die Kugelfläche.

Dann gemeldte Rund-Säule ist sechsmal so groß als der Kegel/ welcher
mit ihr eine gleiche Grundscheibe/ aber nur halbe Höhe (nehmlich die Höhe des
Halbmessers) hat/ vermög des 10den und 14den des XII. B. die Kugel aber
ist viermal so groß als eben derselbe Kegel/ nach vorhergegangenem XXXII.
Lehrsatz. Verhält sich also die Rund-Säule gegen der Kugel/ wie 6 gegen 4/
oder wie 3 gegen 2/ das ist/ anderthalbig. Wiederumb: So wol die Höhe der
Rund-Säule/ als der Durchmesser ihrer Grundscheibe ist gleich dem Durch-
messer der Kugel/ und daher/ auch die mittlere gleichverhaltende zwischen jenen

beyden

Archimedis Erſtes Buch
let/ daß/ wann man von dem erſten gegebenen das lezte/ auch bekante/ wegnimbt/ und das uͤbrige
in drey gleiche Teihl teihlet/ ſo werde aus G und zwey ſolchen Teihlen das andere/ wiederumb aus
G und einem ſolchen Teihl das dritte/ und alſo die beyde begehrte mittlere gleichuͤbertreffende.

2. Daß nun aber die dreyfache Verhaͤltnis des erſten gegen dem andern (K gegen I)
kleiner ſey als die Verhaͤltnis des erſten gegen dem lezten (K gegen G) wollen wir Luſts halben/
denen Liebhabern der Buchſtaben-Rechnung (Logiſticæ ſpecioſæ) alſo erweiſen: g+3x
iſt das erſte/ und g+2x das andere/ und alſo der Rahme ihrer Verhaͤltnis (nomen ratio-
nis) [Formel 1] vermittelſt welches nun leichtlich gefunden wird das dritte gleichverhal-
tende/ [Formel 2] und das vierdte/ [Formel 3]
Nun iſt die Verhaͤltnis des erſten gegen dieſem vierdten/ eben die dreyfache Verhaͤltnis des
erſten gegen dem andern (des K gegen I;) alſo daß nur dieſes zu beweiſen uͤbrig iſt/ daß das erſte
(K) gegen dieſem vierdten eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als gegen G. Solches nun wird da-
her offenbar/ weil dieſes vierdte gleichverhaltende groͤſſer iſt als das G, welches augenſcheinlich
wird/ wann man das obere dieſes Bruchs (fractionis) durch das untere teihlet/ und alſo findet/
daß er ſo viel gelte/ als [Formel 4] und derowegen mehr als G.

Wem dieſe Art zu ſchwaͤr oder unannehmlich ſcheinet/ der kan ſich eines andern Beweiſes
bedienen/ welchen Eutokius ohngefehr folgender Geſtalt verfaſſet: Es ſeyen 4. gleich - uͤber-
[Abbildung] treffende (Arithmeticè proportionalia) B, G, H und K, und wie-
derumb mit B und G das dritte und vierdte gleichverhaltende (Geo-
metrice proportionalia) L und M, alſo daß (vermoͤg der 10den
Worterklaͤrung im V. B.) B gegen M eine dreyfache Verhaͤlt-
nis habe derer jenigen/ welche da hat B gegen G. Soll nun bewie-
ſen werden/ daß B gegen M eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als eben
das B gegen K.

Dann weil ſich/ wie B gegen G, alſo G gegen L, verhaͤlt/ ſo wird
L von G umb eben ſo viel Teihl ſeiner ſelbſten/ uͤbertroffen/ als das G
von B. Nun aber (weil B groͤſſer iſt als G) ſind die Teihle des B
groͤſſer als die Teihle des G: derowegen iſt der Reſt des B uͤber das
G groͤſſer/ als der Reſt des G uͤber das L. Der Reſt aber eben deſſel-
ben/ G uͤber H iſt gleich dem Reſt B uͤber G. Darumb dann noht-
wendig L groͤſſer ſeyn muß als H. Gleicher geſtalt folget/ daß M
groͤſſer ſey als K, und deswegen (nach dem 8ten des V. B.) B ge-
gen M eine kleinere Verhaͤltnis habe als gegen K, das iſt/ als da iſt die
dreyfache Verhaͤltnis des B gegen G.

Folge.

Aus obigem Lehrſatz iſt offenbar/ daß eine jede Rund-Saͤule/
deren Grundſcheibe gleich iſt der groͤſſeſten Scheibe einer Kugel/ die
Hoͤhe aber ihrem Durchmeſſer/ andeꝛthalb mal ſo groß ſey als dieſelbe
Kugel; und ihre ganze aͤuſſere Flaͤche/ ſambt ihrer Grund- und Dek-
kel-Scheiben/ auch anderthalb mal ſo groß als die Kugelflaͤche.

Dann gemeldte Rund-Saͤule iſt ſechsmal ſo groß als der Kegel/ welcher
mit ihr eine gleiche Grundſcheibe/ aber nur halbe Hoͤhe (nehmlich die Hoͤhe des
Halbmeſſers) hat/ vermoͤg des 10den und 14den des XII. B. die Kugel aber
iſt viermal ſo groß als eben derſelbe Kegel/ nach vorhergegangenem XXXII.
Lehrſatz. Verhaͤlt ſich alſo die Rund-Saͤule gegen der Kugel/ wie 6 gegen 4/
oder wie 3 gegen 2/ das iſt/ anderthalbig. Wiederumb: So wol die Hoͤhe der
Rund-Saͤule/ als der Durchmeſſer ihrer Grundſcheibe iſt gleich dem Durch-
meſſer der Kugel/ und daher/ auch die mittlere gleichverhaltende zwiſchen jenen

beyden
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[80/0108] Archimedis Erſtes Buch let/ daß/ wann man von dem erſten gegebenen das lezte/ auch bekante/ wegnimbt/ und das uͤbrige in drey gleiche Teihl teihlet/ ſo werde aus G und zwey ſolchen Teihlen das andere/ wiederumb aus G und einem ſolchen Teihl das dritte/ und alſo die beyde begehrte mittlere gleichuͤbertreffende. 2. Daß nun aber die dreyfache Verhaͤltnis des erſten gegen dem andern (K gegen I) kleiner ſey als die Verhaͤltnis des erſten gegen dem lezten (K gegen G) wollen wir Luſts halben/ denen Liebhabern der Buchſtaben-Rechnung (Logiſticæ ſpecioſæ) alſo erweiſen: g+3x iſt das erſte/ und g+2x das andere/ und alſo der Rahme ihrer Verhaͤltnis (nomen ratio- nis) [FORMEL] vermittelſt welches nun leichtlich gefunden wird das dritte gleichverhal- tende/ [FORMEL] und das vierdte/ [FORMEL] Nun iſt die Verhaͤltnis des erſten gegen dieſem vierdten/ eben die dreyfache Verhaͤltnis des erſten gegen dem andern (des K gegen I;) alſo daß nur dieſes zu beweiſen uͤbrig iſt/ daß das erſte (K) gegen dieſem vierdten eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als gegen G. Solches nun wird da- her offenbar/ weil dieſes vierdte gleichverhaltende groͤſſer iſt als das G, welches augenſcheinlich wird/ wann man das obere dieſes Bruchs (fractionis) durch das untere teihlet/ und alſo findet/ daß er ſo viel gelte/ als [FORMEL] und derowegen mehr als G. Wem dieſe Art zu ſchwaͤr oder unannehmlich ſcheinet/ der kan ſich eines andern Beweiſes bedienen/ welchen Eutokius ohngefehr folgender Geſtalt verfaſſet: Es ſeyen 4. gleich - uͤber- [Abbildung] treffende (Arithmeticè proportionalia) B, G, H und K, und wie- derumb mit B und G das dritte und vierdte gleichverhaltende (Geo- metrice proportionalia) L und M, alſo daß (vermoͤg der 10den Worterklaͤrung im V. B.) B gegen M eine dreyfache Verhaͤlt- nis habe derer jenigen/ welche da hat B gegen G. Soll nun bewie- ſen werden/ daß B gegen M eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als eben das B gegen K. Dann weil ſich/ wie B gegen G, alſo G gegen L, verhaͤlt/ ſo wird L von G umb eben ſo viel Teihl ſeiner ſelbſten/ uͤbertroffen/ als das G von B. Nun aber (weil B groͤſſer iſt als G) ſind die Teihle des B groͤſſer als die Teihle des G: derowegen iſt der Reſt des B uͤber das G groͤſſer/ als der Reſt des G uͤber das L. Der Reſt aber eben deſſel- ben/ G uͤber H iſt gleich dem Reſt B uͤber G. Darumb dann noht- wendig L groͤſſer ſeyn muß als H. Gleicher geſtalt folget/ daß M groͤſſer ſey als K, und deswegen (nach dem 8ten des V. B.) B ge- gen M eine kleinere Verhaͤltnis habe als gegen K, das iſt/ als da iſt die dreyfache Verhaͤltnis des B gegen G. Folge. Aus obigem Lehrſatz iſt offenbar/ daß eine jede Rund-Saͤule/ deren Grundſcheibe gleich iſt der groͤſſeſten Scheibe einer Kugel/ die Hoͤhe aber ihrem Durchmeſſer/ andeꝛthalb mal ſo groß ſey als dieſelbe Kugel; und ihre ganze aͤuſſere Flaͤche/ ſambt ihrer Grund- und Dek- kel-Scheiben/ auch anderthalb mal ſo groß als die Kugelflaͤche. Dann gemeldte Rund-Saͤule iſt ſechsmal ſo groß als der Kegel/ welcher mit ihr eine gleiche Grundſcheibe/ aber nur halbe Hoͤhe (nehmlich die Hoͤhe des Halbmeſſers) hat/ vermoͤg des 10den und 14den des XII. B. die Kugel aber iſt viermal ſo groß als eben derſelbe Kegel/ nach vorhergegangenem XXXII. Lehrſatz. Verhaͤlt ſich alſo die Rund-Saͤule gegen der Kugel/ wie 6 gegen 4/ oder wie 3 gegen 2/ das iſt/ anderthalbig. Wiederumb: So wol die Hoͤhe der Rund-Saͤule/ als der Durchmeſſer ihrer Grundſcheibe iſt gleich dem Durch- meſſer der Kugel/ und daher/ auch die mittlere gleichverhaltende zwiſchen jenen beyden

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Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 80. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/108>, abgerufen am 24.11.2024.