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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Von der Kugel und Rund-Seule.
gegen der Seite des innern eine kleinere Verhältnis habe/ als K gegen I, nach dem
obigen III. Lehrsatz; und daß endlich durch Umbdrehung des Kreisses sambt
seinen beyden Vielekken/ erwachsen zwey Cörperliche Figuren/ eine umb die Ku-
gel/ die andere innerhalb derselben beschrieben/ vermög obiger zwey Anhänge
des XXII. und XXVII. Lehrsatzes.

Schluß.

So hat dann nun die umbgeschriebene Figur gegen der eingeschriebenen eine
dreyfache Verhältnis derer jenigen/ welche die Seiten beyder Vielekke gegen ein-
ander haben/ Krafft obigen XXX. Lehrsatzes. Die Seite aber des umbge-
schriebenen Vielekkes hat gegen der Seite des eingeschriebenen eine kleinere Ver-
hältnis/ als K gegen I, aus vorhergehender Vorbereitung. Derowegen hat
auch die umbgeschriebene Figur gegen der eingeschriebenen eine kleinere Verhält-
nis/ als die dreyfache des K gegen I ist/ nach der 2. Anmerkung des V. Lehr-
satzes. Nun aber ist die dreyfache Verhältnis des K gegen I noch kleiner/ als die
Verhältnis des K gegen G. (Besihe unten die 2. Anmerkung.) So wird dem-
nach umb so viel mehr die umbgeschriebene Figur gegen der eingeschriebenen eine
kleinere Verhältnis haben/ als K gegen G; und noch viel mehr (weil K gegen G
wieder eine kleinere Verhältnis hat/ als die Kugel gegen dem Kegel X, Krafft
obiger Vorbereitung) als die Kugel gegen dem Kegel X, und wechselweiß/ die
umbgeschriebene Figur eine kleinere Verhältnis gegen der Kugel/ als die einge-
schriebene gegen dem Kegel; Welches ungereimt und unmöglich ist/ weil die umb-
geschriebene Figur grösser ist als die Kugel/ die eingeschriebene hingegen kleiner als
der Kegel X (vermög des XXVII. Lehrsatzes) und aber ein grösseres gegen dem
kleineren keine kleinere Verhältnis haben kan/ als ein kleineres gegen dem grössern/
wie leichtlich zu schliessen aus dem 8 ten des V. und die Vernunft selbsten lehret.
So kan derowegen besagte Kugel nicht grösser seyn als der Kegel X.

Der andere Satz.

Setzet man/ sie sey kleiner/ so folget wiederumb das vorige ungereimte; wel-
ches erhellen wird/ so man jezt setzet/ daß K gegen G eine kleinere Verhältnis habe/
als der Kegel X gegen der Kugel/ und die Seite des äusseren Vielekkes gegen der
Seite des innern eine kleinere Verhältnis/ als K gegen I; das übrige/ wie oben/
bleiben lässet.

Beweiß.

Dann daher wird eben/ wie oben/ folgen/ daß die umbgeschriebene Figur ge-
gen der eingeschriebenen eine kleinere Verhältnis habe/ als K gegen G, und umb
so viel mehr eine kleinere als der Kegel X gegen der Kugel; und wechselweiß die
umbgeschriebene Figur gegen dem Kegel X eine kleinere Verhältnis/ als die einge-
schriebene gegen der Kugel; welches wieder nicht seyn kan/ weil die umbgeschrie-
bene Figur grösser ist als der Kegel X, nach der 2. Folge des XXIX. Lehrsatzes;
die eingeschriebene aber kleiner ist als die Kugel. Jst derowegen erstbemeldte Ku-
gel nicht kleiner als der Kegel X. Sie ist aber auch nicht grösser/ wie oben bewiesen
worden. Derohalben ist sie nohtwendig demselben gleich: Welches hat sollen be-
wiesen werden.

Anmerkungen.

1. Jn diesem bißher ausgeführten Beweiß/ wird unter andern begehrt/ daß zwischen
K und G sollen gefunden werden zwey mittlerere gleichübertreffende/ also daß nachmals alle
viere einander ordentlich umb einen gleichen Teihl übertreffen. Daß nun solches/ und wie es/
leichtlich geschehen möge/ wollen wir also erweisen. Den Uberrest des dritten/ noch unbekan-
ten/ über das vierdte G wollen wir nennen x. so wird begehrtes drittes seyn g+x, und (weil
das dritte von dem andern umb eben so viel übertroffen wird/ als das vierdte von dem dritten) das
andere g+2x; das erste endlich g+3x, welches eben so viel ist/ als das K. Woraus erhel-

let/ daß
L ij

Von der Kugel und Rund-Seule.
gegen der Seite des innern eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als K gegen I, nach dem
obigen III. Lehrſatz; und daß endlich durch Umbdrehung des Kreiſſes ſambt
ſeinen beyden Vielekken/ erwachſen zwey Coͤrperliche Figuren/ eine umb die Ku-
gel/ die andere innerhalb derſelben beſchrieben/ vermoͤg obiger zwey Anhaͤnge
des XXII. und XXVII. Lehrſatzes.

Schluß.

So hat dann nun die umbgeſchriebene Figur gegen der eingeſchriebenen eine
dreyfache Verhaͤltnis derer jenigen/ welche die Seiten beyder Vielekke gegen ein-
ander haben/ Krafft obigen XXX. Lehrſatzes. Die Seite aber des umbge-
ſchriebenen Vielekkes hat gegen der Seite des eingeſchriebenen eine kleinere Ver-
haͤltnis/ als K gegen I, aus vorhergehender Vorbereitung. Derowegen hat
auch die umbgeſchriebene Figur gegen der eingeſchriebenen eine kleinere Verhaͤlt-
nis/ als die dreyfache des K gegen I iſt/ nach der 2. Anmerkung des V. Lehr-
ſatzes. Nun aber iſt die dreyfache Verhaͤltnis des K gegen I noch kleiner/ als die
Verhaͤltnis des K gegen G. (Beſihe unten die 2. Anmerkung.) So wird dem-
nach umb ſo viel mehr die umbgeſchriebene Figur gegen der eingeſchriebenen eine
kleinere Verhaͤltnis haben/ als K gegen G; und noch viel mehr (weil K gegen G
wieder eine kleinere Verhaͤltnis hat/ als die Kugel gegen dem Kegel X, Krafft
obiger Vorbereitung) als die Kugel gegen dem Kegel X, und wechſelweiß/ die
umbgeſchriebene Figur eine kleinere Verhaͤltnis gegen der Kugel/ als die einge-
ſchriebene gegen dem Kegel; Welches ungereimt und unmoͤglich iſt/ weil die umb-
geſchriebene Figur groͤſſer iſt als die Kugel/ die eingeſchriebene hingegen kleiner als
der Kegel X (vermoͤg des XXVII. Lehrſatzes) und aber ein groͤſſeres gegen dem
kleineren keine kleinere Verhaͤltnis haben kan/ als ein kleineres gegen dem groͤſſeꝛn/
wie leichtlich zu ſchlieſſen aus dem 8 ten des V. und die Vernunft ſelbſten lehret.
So kan derowegen beſagte Kugel nicht groͤſſer ſeyn als der Kegel X.

Der andere Satz.

Setzet man/ ſie ſey kleiner/ ſo folget wiederumb das vorige ungereimte; wel-
ches erhellen wird/ ſo man jezt ſetzet/ daß K gegen G eine kleinere Verhaͤltnis habe/
als der Kegel X gegen der Kugel/ und die Seite des aͤuſſeren Vielekkes gegen der
Seite des innern eine kleinere Verhaͤltnis/ als K gegen I; das uͤbrige/ wie oben/
bleiben laͤſſet.

Beweiß.

Dann daher wird eben/ wie oben/ folgen/ daß die umbgeſchriebene Figur ge-
gen der eingeſchriebenen eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als K gegen G, und umb
ſo viel mehr eine kleinere als der Kegel X gegen der Kugel; und wechſelweiß die
umbgeſchriebene Figur gegen dem Kegel X eine kleinere Verhaͤltnis/ als die einge-
ſchriebene gegen der Kugel; welches wieder nicht ſeyn kan/ weil die umbgeſchrie-
bene Figur groͤſſer iſt als der Kegel X, nach der 2. Folge des XXIX. Lehrſatzes;
die eingeſchriebene aber kleiner iſt als die Kugel. Jſt derowegen erſtbemeldte Ku-
gel nicht kleiner als der Kegel X. Sie iſt aber auch nicht groͤſſer/ wie oben bewieſen
worden. Derohalben iſt ſie nohtwendig demſelben gleich: Welches hat ſollen be-
wieſen werden.

Anmerkungen.

1. Jn dieſem bißher ausgefuͤhrten Beweiß/ wird unter andern begehrt/ daß zwiſchen
K und G ſollen gefunden werden zwey mittlerere gleichuͤbertreffende/ alſo daß nachmals alle
viere einander ordentlich umb einen gleichen Teihl uͤbertreffen. Daß nun ſolches/ und wie es/
leichtlich geſchehen moͤge/ wollen wir alſo erweiſen. Den Uberreſt des dritten/ noch unbekan-
ten/ uͤber das vierdte G wollen wir nennen x. ſo wird begehrtes drittes ſeyn g+x, und (weil
das dritte von dem andern umb eben ſo viel uͤbertroffen wird/ als das vierdte von dem dritten) das
andere g+2x; das erſte endlich g+3x, welches eben ſo viel iſt/ als das K. Woraus erhel-

let/ daß
L ij
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[79/0107] Von der Kugel und Rund-Seule. gegen der Seite des innern eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als K gegen I, nach dem obigen III. Lehrſatz; und daß endlich durch Umbdrehung des Kreiſſes ſambt ſeinen beyden Vielekken/ erwachſen zwey Coͤrperliche Figuren/ eine umb die Ku- gel/ die andere innerhalb derſelben beſchrieben/ vermoͤg obiger zwey Anhaͤnge des XXII. und XXVII. Lehrſatzes. Schluß. So hat dann nun die umbgeſchriebene Figur gegen der eingeſchriebenen eine dreyfache Verhaͤltnis derer jenigen/ welche die Seiten beyder Vielekke gegen ein- ander haben/ Krafft obigen XXX. Lehrſatzes. Die Seite aber des umbge- ſchriebenen Vielekkes hat gegen der Seite des eingeſchriebenen eine kleinere Ver- haͤltnis/ als K gegen I, aus vorhergehender Vorbereitung. Derowegen hat auch die umbgeſchriebene Figur gegen der eingeſchriebenen eine kleinere Verhaͤlt- nis/ als die dreyfache des K gegen I iſt/ nach der 2. Anmerkung des V. Lehr- ſatzes. Nun aber iſt die dreyfache Verhaͤltnis des K gegen I noch kleiner/ als die Verhaͤltnis des K gegen G. (Beſihe unten die 2. Anmerkung.) So wird dem- nach umb ſo viel mehr die umbgeſchriebene Figur gegen der eingeſchriebenen eine kleinere Verhaͤltnis haben/ als K gegen G; und noch viel mehr (weil K gegen G wieder eine kleinere Verhaͤltnis hat/ als die Kugel gegen dem Kegel X, Krafft obiger Vorbereitung) als die Kugel gegen dem Kegel X, und wechſelweiß/ die umbgeſchriebene Figur eine kleinere Verhaͤltnis gegen der Kugel/ als die einge- ſchriebene gegen dem Kegel; Welches ungereimt und unmoͤglich iſt/ weil die umb- geſchriebene Figur groͤſſer iſt als die Kugel/ die eingeſchriebene hingegen kleiner als der Kegel X (vermoͤg des XXVII. Lehrſatzes) und aber ein groͤſſeres gegen dem kleineren keine kleinere Verhaͤltnis haben kan/ als ein kleineres gegen dem groͤſſeꝛn/ wie leichtlich zu ſchlieſſen aus dem 8 ten des V. und die Vernunft ſelbſten lehret. So kan derowegen beſagte Kugel nicht groͤſſer ſeyn als der Kegel X. Der andere Satz. Setzet man/ ſie ſey kleiner/ ſo folget wiederumb das vorige ungereimte; wel- ches erhellen wird/ ſo man jezt ſetzet/ daß K gegen G eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als der Kegel X gegen der Kugel/ und die Seite des aͤuſſeren Vielekkes gegen der Seite des innern eine kleinere Verhaͤltnis/ als K gegen I; das uͤbrige/ wie oben/ bleiben laͤſſet. Beweiß. Dann daher wird eben/ wie oben/ folgen/ daß die umbgeſchriebene Figur ge- gen der eingeſchriebenen eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als K gegen G, und umb ſo viel mehr eine kleinere als der Kegel X gegen der Kugel; und wechſelweiß die umbgeſchriebene Figur gegen dem Kegel X eine kleinere Verhaͤltnis/ als die einge- ſchriebene gegen der Kugel; welches wieder nicht ſeyn kan/ weil die umbgeſchrie- bene Figur groͤſſer iſt als der Kegel X, nach der 2. Folge des XXIX. Lehrſatzes; die eingeſchriebene aber kleiner iſt als die Kugel. Jſt derowegen erſtbemeldte Ku- gel nicht kleiner als der Kegel X. Sie iſt aber auch nicht groͤſſer/ wie oben bewieſen worden. Derohalben iſt ſie nohtwendig demſelben gleich: Welches hat ſollen be- wieſen werden. Anmerkungen. 1. Jn dieſem bißher ausgefuͤhrten Beweiß/ wird unter andern begehrt/ daß zwiſchen K und G ſollen gefunden werden zwey mittlerere gleichuͤbertreffende/ alſo daß nachmals alle viere einander ordentlich umb einen gleichen Teihl uͤbertreffen. Daß nun ſolches/ und wie es/ leichtlich geſchehen moͤge/ wollen wir alſo erweiſen. Den Uberreſt des dritten/ noch unbekan- ten/ uͤber das vierdte G wollen wir nennen x. ſo wird begehrtes drittes ſeyn g+x, und (weil das dritte von dem andern umb eben ſo viel uͤbertroffen wird/ als das vierdte von dem dritten) das andere g+2x; das erſte endlich g+3x, welches eben ſo viel iſt/ als das K. Woraus erhel- let/ daß L ij

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Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 79. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/107>, abgerufen am 24.11.2024.