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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Von der Kugel und Rund-Seule.
wechselweiß wie die Vierung EL gegen der Vierung AK, also die Vierung M
gegen der Vierung N; und deswegen (aus eben demselben 20sten im VI.)
wie die Seite EL gegen der Seite AK, also der Halbmesser M gegen dem Halb-
messer N. Nun aber hat (wieder vermög des 20sten im VI. und des 2ten
im XII. B.) die Scheibe M gegen der Scheibe N gedoppelte Verhältnis derer
jenigen/ welche ihre Durch- oder Halbmesser M und N gegen einander haben/
das ist/ derer/ welche die Seite EL gegen der Seite AK hat. Derohalben muß
auch die Fläche der obigen umbgeschriebenen Figur (welche der Scheibe M gleich
ist) gegen der Fläche der eingeschriebenen (deren die Scheibe N gleich ist) eine
gedoppelte Verhältnis haben derer/ welche da hat die Seite EL gegen der Seite
AK. Und diß ist eines.

II. Weil der Kegel X der umbgeschriebenen Figur gleich ist/ so ist seine Höhe
gleich dem Halbmesser der Kugel oder der Lini/ welche aus dem Mittelpunct auf
die Seite EL senkrecht fället/ nach der ersten Folge des XXIX. Lehrsatzes.
Jngleichen weil der Kegel O gleich ist der eingeschriebenen Figur/ so ist seine Höhe
die aus eben demselben Mittelpunct auf die Seite AK senkrechte Lini/ aus dem
XXVI. Lehrsatz. Nun aber verhält sich jene Lini gegen dieser/ und also die
Höhe des Kegels X gegen der Höhe des Kegels O, wie EL gegen AK, nach
der 1. Folge des obigen III. Lehrsatzes; EL ist aber gegen AK wie der Durch-
messer M gegen dem Durchmesser N, (als kurz vorher erwiesen worden) das
ist/ wie der Durchmesser der Grundscheibe X (welche der Scheibe M gleich ist)
gegen dem Durchmesser der Grundscheibe O (welche dem N gleich ist) vermög
obiger Vorbereitung. Verhalten sich also die Höhen der beyden Kegel X und
O gegeneinander/ wie die Durchmesser ihrer Grundscheiben. Derowegen sind
die beyde Kegel/ X und O einander ähnlich/ nach der 24sten Worterklärung
des XI. B. und hat dannenhero der Kegel X gegen dem Kegel O eine dreyfache
Verhältnis derer jenigen/ welche da hat jener Durchmesser gegen diesem/ das ist/
die Seite EL gegen der Seite AK, vermög des 12ten im XII. B. Derohal-
ben muß auch die obige umbgeschriebene Figur (als welche dem Kegel X gleich ist)
gegen der eingeschriebenen (welche dem Kegel O gleich ist) eine dreyfache Ver-
hältnis haben derer/ welche EL hat gegen AK. Und diß ist das andere/ das
zu beweisen war.

Anmerkungen.

1. Jm obigen Beweiß ist/ als gewiß gesetzet worden/ daß EL (die Seite des äussern
Vielekkes) gegen a (das ist/ allen seinen Quehrlineen zusammen) sich eben so verhalte/ wie
AK (die Seite des innern Vielekkes) gegen b (allen desselben Quehrlineen.) Solches kan
nun also erwiesen werden/ wann man in Gedanken ziehet HL und KD, und/ nach der 2. An-
merkung des obigen XXVII. Lehrsatzes/ einen Kreiß umb das äussere Vielekk. Dann also
sind erstlich (vermög des 2ten im VI. B. und der 1. Folge unsers obigen III. Lehrsatzes)
LF und KB gleichlauffend und also die Winkel bey B und F einander gleich/ nach dem 29sten
des I. B. Es sind aber die beyde Winkel DKB und HLF (als Winkel im Halbkreiß) auch
einander gleich/ vermög des 31 sten im III. B. derowegen auch die beyde übrige bey H und
D. Verhält sich demnach wie LH gegen LF, also KD gegen KB, aus dem 4ten des VI.
Es verhält sich aber a gegen HF eben wie LH gegen LF, und b gegen BD, wie KD gegen
KB, vermög des obigen XXI. Lehrsatzes. Weswegen dann auch/ wie a gegen HF, also
b gegen BD sich verhalten muß/ nach dem 11ten des V. B. und wechselweiß/ a gegen b, wie
HF gegen BD. Nun ist aber HF gegen BD ferner/ wie FL gegen BK (weil die Dreyekke
HFL und DBK gleichwinklicht sind/ wie oben erwiesen) aus dem 4ten des VI. Derohal-
ben verhält sich a gegen b wie FL gegen BK, das ist/ wie EL gegen AK, und wechselweiß/ a ge-

gen

Von der Kugel und Rund-Seule.
wechſelweiß wie die Vierung EL gegen der Vierung AK, alſo die Vierung M
gegen der Vierung N; und deswegen (aus eben demſelben 20ſten im VI.)
wie die Seite EL gegen der Seite AK, alſo der Halbmeſſer M gegen dem Halb-
meſſer N. Nun aber hat (wieder vermoͤg des 20ſten im VI. und des 2ten
im XII. B.) die Scheibe M gegen der Scheibe N gedoppelte Verhaͤltnis derer
jenigen/ welche ihre Durch- oder Halbmeſſer M und N gegen einander haben/
das iſt/ derer/ welche die Seite EL gegen der Seite AK hat. Derohalben muß
auch die Flaͤche der obigen umbgeſchriebenen Figur (welche der Scheibe M gleich
iſt) gegen der Flaͤche der eingeſchriebenen (deren die Scheibe N gleich iſt) eine
gedoppelte Verhaͤltnis haben derer/ welche da hat die Seite EL gegen der Seite
AK. Und diß iſt eines.

II. Weil der Kegel X der umbgeſchriebenen Figur gleich iſt/ ſo iſt ſeine Hoͤhe
gleich dem Halbmeſſer der Kugel oder der Lini/ welche aus dem Mittelpunct auf
die Seite EL ſenkrecht faͤllet/ nach der erſten Folge des XXIX. Lehrſatzes.
Jngleichen weil der Kegel O gleich iſt der eingeſchriebenen Figur/ ſo iſt ſeine Hoͤhe
die aus eben demſelben Mittelpunct auf die Seite AK ſenkrechte Lini/ aus dem
XXVI. Lehrſatz. Nun aber verhaͤlt ſich jene Lini gegen dieſer/ und alſo die
Hoͤhe des Kegels X gegen der Hoͤhe des Kegels O, wie EL gegen AK, nach
der 1. Folge des obigen III. Lehrſatzes; EL iſt aber gegen AK wie der Durch-
meſſer M gegen dem Durchmeſſer N, (als kurz vorher erwieſen worden) das
iſt/ wie der Durchmeſſer der Grundſcheibe X (welche der Scheibe M gleich iſt)
gegen dem Durchmeſſer der Grundſcheibe O (welche dem N gleich iſt) vermoͤg
obiger Vorbereitung. Verhalten ſich alſo die Hoͤhen der beyden Kegel X und
O gegeneinander/ wie die Durchmeſſer ihrer Grundſcheiben. Derowegen ſind
die beyde Kegel/ X und O einander aͤhnlich/ nach der 24ſten Worterklaͤrung
des XI. B. und hat dannenhero der Kegel X gegen dem Kegel O eine dreyfache
Verhaͤltnis derer jenigen/ welche da hat jener Durchmeſſer gegen dieſem/ das iſt/
die Seite EL gegen der Seite AK, vermoͤg des 12ten im XII. B. Derohal-
ben muß auch die obige umbgeſchriebene Figur (als welche dem Kegel X gleich iſt)
gegen der eingeſchriebenen (welche dem Kegel O gleich iſt) eine dreyfache Ver-
haͤltnis haben derer/ welche EL hat gegen AK. Und diß iſt das andere/ das
zu beweiſen war.

Anmerkungen.

1. Jm obigen Beweiß iſt/ als gewiß geſetzet worden/ daß EL (die Seite des aͤuſſern
Vielekkes) gegen a (das iſt/ allen ſeinen Quehrlineen zuſammen) ſich eben ſo verhalte/ wie
AK (die Seite des innern Vielekkes) gegen b (allen deſſelben Quehrlineen.) Solches kan
nun alſo erwieſen werden/ wann man in Gedanken ziehet HL und KD, und/ nach der 2. An-
merkung des obigen XXVII. Lehrſatzes/ einen Kreiß umb das aͤuſſere Vielekk. Dann alſo
ſind erſtlich (vermoͤg des 2ten im VI. B. und der 1. Folge unſers obigen III. Lehrſatzes)
LF und KB gleichlauffend und alſo die Winkel bey B und F einander gleich/ nach dem 29ſten
des I. B. Es ſind aber die beyde Winkel DKB und HLF (als Winkel im Halbkreiß) auch
einander gleich/ vermoͤg des 31 ſten im III. B. derowegen auch die beyde uͤbrige bey H und
D. Verhaͤlt ſich demnach wie LH gegen LF, alſo KD gegen KB, aus dem 4ten des VI.
Es verhaͤlt ſich aber a gegen HF eben wie LH gegen LF, und b gegen BD, wie KD gegen
KB, vermoͤg des obigen XXI. Lehrſatzes. Weswegen dann auch/ wie a gegen HF, alſo
b gegen BD ſich verhalten muß/ nach dem 11ten des V. B. und wechſelweiß/ a gegen b, wie
HF gegen BD. Nun iſt aber HF gegen BD ferner/ wie FL gegen BK (weil die Dreyekke
HFL und DBK gleichwinklicht ſind/ wie oben erwieſen) aus dem 4ten des VI. Derohal-
ben verhaͤlt ſich a gegen b wie FL gegen BK, das iſt/ wie EL gegen AK, und wechſelweiß/ a ge-

gen
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[75/0103] Von der Kugel und Rund-Seule. wechſelweiß wie die Vierung EL gegen der Vierung AK, alſo die Vierung M gegen der Vierung N; und deswegen (aus eben demſelben 20ſten im VI.) wie die Seite EL gegen der Seite AK, alſo der Halbmeſſer M gegen dem Halb- meſſer N. Nun aber hat (wieder vermoͤg des 20ſten im VI. und des 2ten im XII. B.) die Scheibe M gegen der Scheibe N gedoppelte Verhaͤltnis derer jenigen/ welche ihre Durch- oder Halbmeſſer M und N gegen einander haben/ das iſt/ derer/ welche die Seite EL gegen der Seite AK hat. Derohalben muß auch die Flaͤche der obigen umbgeſchriebenen Figur (welche der Scheibe M gleich iſt) gegen der Flaͤche der eingeſchriebenen (deren die Scheibe N gleich iſt) eine gedoppelte Verhaͤltnis haben derer/ welche da hat die Seite EL gegen der Seite AK. Und diß iſt eines. II. Weil der Kegel X der umbgeſchriebenen Figur gleich iſt/ ſo iſt ſeine Hoͤhe gleich dem Halbmeſſer der Kugel oder der Lini/ welche aus dem Mittelpunct auf die Seite EL ſenkrecht faͤllet/ nach der erſten Folge des XXIX. Lehrſatzes. Jngleichen weil der Kegel O gleich iſt der eingeſchriebenen Figur/ ſo iſt ſeine Hoͤhe die aus eben demſelben Mittelpunct auf die Seite AK ſenkrechte Lini/ aus dem XXVI. Lehrſatz. Nun aber verhaͤlt ſich jene Lini gegen dieſer/ und alſo die Hoͤhe des Kegels X gegen der Hoͤhe des Kegels O, wie EL gegen AK, nach der 1. Folge des obigen III. Lehrſatzes; EL iſt aber gegen AK wie der Durch- meſſer M gegen dem Durchmeſſer N, (als kurz vorher erwieſen worden) das iſt/ wie der Durchmeſſer der Grundſcheibe X (welche der Scheibe M gleich iſt) gegen dem Durchmeſſer der Grundſcheibe O (welche dem N gleich iſt) vermoͤg obiger Vorbereitung. Verhalten ſich alſo die Hoͤhen der beyden Kegel X und O gegeneinander/ wie die Durchmeſſer ihrer Grundſcheiben. Derowegen ſind die beyde Kegel/ X und O einander aͤhnlich/ nach der 24ſten Worterklaͤrung des XI. B. und hat dannenhero der Kegel X gegen dem Kegel O eine dreyfache Verhaͤltnis derer jenigen/ welche da hat jener Durchmeſſer gegen dieſem/ das iſt/ die Seite EL gegen der Seite AK, vermoͤg des 12ten im XII. B. Derohal- ben muß auch die obige umbgeſchriebene Figur (als welche dem Kegel X gleich iſt) gegen der eingeſchriebenen (welche dem Kegel O gleich iſt) eine dreyfache Ver- haͤltnis haben derer/ welche EL hat gegen AK. Und diß iſt das andere/ das zu beweiſen war. Anmerkungen. 1. Jm obigen Beweiß iſt/ als gewiß geſetzet worden/ daß EL (die Seite des aͤuſſern Vielekkes) gegen a (das iſt/ allen ſeinen Quehrlineen zuſammen) ſich eben ſo verhalte/ wie AK (die Seite des innern Vielekkes) gegen b (allen deſſelben Quehrlineen.) Solches kan nun alſo erwieſen werden/ wann man in Gedanken ziehet HL und KD, und/ nach der 2. An- merkung des obigen XXVII. Lehrſatzes/ einen Kreiß umb das aͤuſſere Vielekk. Dann alſo ſind erſtlich (vermoͤg des 2ten im VI. B. und der 1. Folge unſers obigen III. Lehrſatzes) LF und KB gleichlauffend und alſo die Winkel bey B und F einander gleich/ nach dem 29ſten des I. B. Es ſind aber die beyde Winkel DKB und HLF (als Winkel im Halbkreiß) auch einander gleich/ vermoͤg des 31 ſten im III. B. derowegen auch die beyde uͤbrige bey H und D. Verhaͤlt ſich demnach wie LH gegen LF, alſo KD gegen KB, aus dem 4ten des VI. Es verhaͤlt ſich aber a gegen HF eben wie LH gegen LF, und b gegen BD, wie KD gegen KB, vermoͤg des obigen XXI. Lehrſatzes. Weswegen dann auch/ wie a gegen HF, alſo b gegen BD ſich verhalten muß/ nach dem 11ten des V. B. und wechſelweiß/ a gegen b, wie HF gegen BD. Nun iſt aber HF gegen BD ferner/ wie FL gegen BK (weil die Dreyekke HFL und DBK gleichwinklicht ſind/ wie oben erwieſen) aus dem 4ten des VI. Derohal- ben verhaͤlt ſich a gegen b wie FL gegen BK, das iſt/ wie EL gegen AK, und wechſelweiß/ a ge- gen

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Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 75. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/103>, abgerufen am 24.11.2024.