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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Dritte Vorlesung.
als vollkommne Analoga auf der zweiten Hauptstufe hinzu:
10) [Formel 1]
-- zwei höchst bemerkenswerte Sätze, nach welchen auch für die rela-
tiven Knüpfungen der Wortlaut der vorigen aufrecht erhalten werden
kann: das Negat des Produktes ist die Summe der Negate der Faktoren,
das Negat einer Summe ist das Produkt der Negate ihrer Glieder.

Setzt in 10) man an, bn für a, b und wendet den -- unter 8) mit
registrirten -- Satz der doppelten Verneinung an, so ergeben sich zu den
aus Bd. 1 schon bekannten beiden ersten auch noch die beiden letzten von
den folgenden vier Formeln:
C) [Formel 2]
welche (die schon S. 3 aufgestellte Behauptung rechtfertigend) er-
kennen lassen: dass von den beiden knüpfenden Spezies einer jeden
Hauptstufe die eine -- gleichviel welche -- zur Not auch durch die
andre entbehrlich gemacht werden kann. Solches aber auf Kosten der
Einfachheit, Symmetrie und Eleganz des ganzen Lehrgebäudes wirklich
zu thun, wäre mindestens ebenso thöricht, als wenn man z. B. in der
Mathematik zugunsten des sinus die Namen cosinus, (tg, sec, etc.) --
oder umgekehrt -- aus der Welt schaffen wollte.

Nach C) muss auch jeder mittelst knüpfender Spezies aus einfachen
Relativsymbolen aufgebaute Ausdruck seinem Werte nach ungeändert bleiben,
wenn man denselben folgendem Prozesse unterwirft, der sich aus drei Teil-
operationen zusammensetzt, nämlich: wenn man erstens die sämtlichen ein-
fachen Operationsglieder in ihre Negate verwandelt, zweitens die beiden
knüpfenden Operationen einer jeden Hauptstufe, als da sind Multiplikation
und Addition, miteinander vertauscht, drittens vom Ergebnisse die Negation
nimmt.

Bei dem Austausch der Operationen dürfen jedoch die Konventionen
über Erforderlichkeit oder Entbehrlichkeit von Klammern nicht ausser Acht
gelassen werden. Exempel:
a ; (b + c) j d = (an j bncn) ; dn.

Diese Sätze 9), 10) -- in Verbindung mit 8) -- garantiren nun-
mehr, dass die Operationen der Negation und Konversion, welche in irgend
einem mittelst der 6 Spezies aufgebauten Ausdrucke vorkommen, d. i.
vorgeschrieben sein mögen, samt und sonders sich so weit ausführen
lassen, dass sie an keinem noch irgendwie zusammengesetzten Aus-
druckteile mehr zu vollziehen sein werden. Vielmehr lässt durch "Aus-
führung" der nichtknüpfenden Spezies hinfort jeder Ausdruck sich so

Dritte Vorlesung.
als vollkommne Analoga auf der zweiten Hauptstufe hinzu:
10) [Formel 1]
— zwei höchst bemerkenswerte Sätze, nach welchen auch für die rela-
tiven Knüpfungen der Wortlaut der vorigen aufrecht erhalten werden
kann: das Negat des Produktes ist die Summe der Negate der Faktoren,
das Negat einer Summe ist das Produkt der Negate ihrer Glieder.

Setzt in 10) man ā, b̄ für a, b und wendet den — unter 8) mit
registrirten — Satz der doppelten Verneinung an, so ergeben sich zu den
aus Bd. 1 schon bekannten beiden ersten auch noch die beiden letzten von
den folgenden vier Formeln:
C) [Formel 2]
welche (die schon S. 3 aufgestellte Behauptung rechtfertigend) er-
kennen lassen: dass von den beiden knüpfenden Spezies einer jeden
Hauptstufe die eine — gleichviel welche — zur Not auch durch die
andre entbehrlich gemacht werden kann. Solches aber auf Kosten der
Einfachheit, Symmetrie und Eleganz des ganzen Lehrgebäudes wirklich
zu thun, wäre mindestens ebenso thöricht, als wenn man z. B. in der
Mathematik zugunsten des sinus die Namen cosinus, (tg, sec, etc.) —
oder umgekehrt — aus der Welt schaffen wollte.

Nach C) muss auch jeder mittelst knüpfender Spezies aus einfachen
Relativsymbolen aufgebaute Ausdruck seinem Werte nach ungeändert bleiben,
wenn man denselben folgendem Prozesse unterwirft, der sich aus drei Teil-
operationen zusammensetzt, nämlich: wenn man erstens die sämtlichen ein-
fachen Operationsglieder in ihre Negate verwandelt, zweitens die beiden
knüpfenden Operationen einer jeden Hauptstufe, als da sind Multiplikation
und Addition, miteinander vertauscht, drittens vom Ergebnisse die Negation
nimmt.

Bei dem Austausch der Operationen dürfen jedoch die Konventionen
über Erforderlichkeit oder Entbehrlichkeit von Klammern nicht ausser Acht
gelassen werden. Exempel:
a ; (b + c) ɟ d = (ā ɟ b̄c̄) ; d̄.͞

Diese Sätze 9), 10) — in Verbindung mit 8) — garantiren nun-
mehr, dass die Operationen der Negation und Konversion, welche in irgend
einem mittelst der 6 Spezies aufgebauten Ausdrucke vorkommen, d. i.
vorgeschrieben sein mögen, samt und sonders sich so weit ausführen
lassen, dass sie an keinem noch irgendwie zusammengesetzten Aus-
druckteile mehr zu vollziehen sein werden. Vielmehr lässt durch „Aus-
führung“ der nichtknüpfenden Spezies hinfort jeder Ausdruck sich so

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[84/0098] Dritte Vorlesung. als vollkommne Analoga auf der zweiten Hauptstufe hinzu: 10) [FORMEL] — zwei höchst bemerkenswerte Sätze, nach welchen auch für die rela- tiven Knüpfungen der Wortlaut der vorigen aufrecht erhalten werden kann: das Negat des Produktes ist die Summe der Negate der Faktoren, das Negat einer Summe ist das Produkt der Negate ihrer Glieder. Setzt in 10) man ā, b̄ für a, b und wendet den — unter 8) mit registrirten — Satz der doppelten Verneinung an, so ergeben sich zu den aus Bd. 1 schon bekannten beiden ersten auch noch die beiden letzten von den folgenden vier Formeln: C) [FORMEL] welche (die schon S. 3 aufgestellte Behauptung rechtfertigend) er- kennen lassen: dass von den beiden knüpfenden Spezies einer jeden Hauptstufe die eine — gleichviel welche — zur Not auch durch die andre entbehrlich gemacht werden kann. Solches aber auf Kosten der Einfachheit, Symmetrie und Eleganz des ganzen Lehrgebäudes wirklich zu thun, wäre mindestens ebenso thöricht, als wenn man z. B. in der Mathematik zugunsten des sinus die Namen cosinus, (tg, sec, etc.) — oder umgekehrt — aus der Welt schaffen wollte. Nach C) muss auch jeder mittelst knüpfender Spezies aus einfachen Relativsymbolen aufgebaute Ausdruck seinem Werte nach ungeändert bleiben, wenn man denselben folgendem Prozesse unterwirft, der sich aus drei Teil- operationen zusammensetzt, nämlich: wenn man erstens die sämtlichen ein- fachen Operationsglieder in ihre Negate verwandelt, zweitens die beiden knüpfenden Operationen einer jeden Hauptstufe, als da sind Multiplikation und Addition, miteinander vertauscht, drittens vom Ergebnisse die Negation nimmt. Bei dem Austausch der Operationen dürfen jedoch die Konventionen über Erforderlichkeit oder Entbehrlichkeit von Klammern nicht ausser Acht gelassen werden. Exempel: a ; (b + c) ɟ d = (ā ɟ b̄c̄) ; d̄.͞ Diese Sätze 9), 10) — in Verbindung mit 8) — garantiren nun- mehr, dass die Operationen der Negation und Konversion, welche in irgend einem mittelst der 6 Spezies aufgebauten Ausdrucke vorkommen, d. i. vorgeschrieben sein mögen, samt und sonders sich so weit ausführen lassen, dass sie an keinem noch irgendwie zusammengesetzten Aus- druckteile mehr zu vollziehen sein werden. Vielmehr lässt durch „Aus- führung“ der nichtknüpfenden Spezies hinfort jeder Ausdruck sich so

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 84. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/98>, abgerufen am 03.05.2024.