Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Zweite Vorlesung.

die Gleichungen zweier Kurven, die wir mit den verwendeten Funktions-
buchstaben f und φ selbst kurz bezeichnen wollen, so ist
y = f{φ(x)},
mithin die Resultante der Elimination von h aus den beiden Gleichungen:
y = f(h), h = φ(x),
die Gleichung der Kurve, als welche sich uns das Relativ „f ; φ“, also
„f von φ“, darstellt.

Die zu einem relativen Produkte a ; b sich „zusammensetzenden“ Fak-
toren a = f, b = φ sind hier „Funktionen im Sinne der Mathematik“ und
das relative Produkt a ; b = f ; φ ist „die aus beiden zusammengesetzte Funk-
tion“ — das Wort „Funktion“ im gleichen Sinne genommen. Dieser Sinn
ist, nebenbei gesagt, ein etwas weiterer als derjenige, in welchem das Wort
„Funktion“ in unsrer Theorie späterhin zu gebrauchen sein wird, wo näm-
lich gelegentliche Undeutigkeit sowie Mehrdeutigkeit (der Zuordnung der
y-Werte zu den x-Werten) strengstens ausgeschlossen bleiben muss.

Sind — noch allgemeiner gesprochen —
Φ(x, y) = 0 und Ψ(x, y) = 0
die Gleichungen zweier Kurven, welche selbst wieder mit den gleichnamigen
Funktionsbuchstaben Φ und Ψ bezeichnet und unter den binären Relativen
a und b demnächst verstanden werden mögen, so wird die Gleichung der
als a ; b = Φ ; Ψ zu bezeichnenden Kurve einfach erhalten, indem man eine
Variable h aus den beiden als zusammenbestehend gedachten Gleichungen
Φ(h, y) = 0, Ψ(x, h) = 0
eliminirt.

Wird ferner für die eine oder für die andre der beiden Kurven (oder für
beide) die von ihr begrenzte Fläche genommen, als welche bekanntlich —
für die erstere sei es gesagt — diejenige gilt, deren Punkte x, y der Un-
gleichung Φ(x, y) < 0 genügen, so braucht in dem vorstehend Gesagten
nur das betreffende Gleichheitszeichen durch das Zeichen <, das Wort
„Gleichung, Kurve“ eventuell durch „Ungleichung, Fläche“ ersetzt zu werden.
Auch hat man das Zeichen ≦ (kleiner oder gleich) zu nehmen, falls das
zusammensetzende Relativ etwa die Fläche der Kurve mitsamt ihrer Um-
grenzung bedeuten soll.

Die Linie, welche man als „die eine Kurve (a) von der andern
Kurve (b)“ erhält, wird im Allgemeinen mit beitragen zur Begrenzung der
Fläche, welche sich bezüglich ergibt als die „Kurve a von der Fläche b“
resp. die „Fläche a von der Kurve b“ sowie die „Fläche a von der Fläche b“.

Bei der Anwendung auf die zwei Kreise
a) (x - α)² + (y - β)² - γ² = 0, b) (x - δ)² + (y - ε)² - ζ² = 0
ist jene Linie nun die Projektion auf die x, y-Ebene der Raumkurve
vierter Ordnung, in welcher sich die beiden Kreiszylinder mit zu einander
normalen Axen schneiden (das h als Applikate, z-Koordinate gedacht):
(h - α)² + (y - β)² - γ² = 0, (x - δ)² + (h - ε)² - ζ² = 0.