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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Zwölfte Vorlesung.
Satz schliesst sich augenscheinlich gewissen in § 29, S. 525 sq. gegebnen
Sätzen an. --

Zu 59) haben wir zunächst:
Ph{anh + Skbk · k ; x ; h · (k j xn ; h)} = Ph{anh + Skk ; bx ; h · (k j xn ; h)},
weil nämlich bk = bk h = k ; b ; h sowie bkxk h = (bx)k h etc.

Hiernach erwächst uns zunächst die Hülfsaufgabe: die Summation
im letzten Gliede auszuführen, d. i., etwas allgemeiner gefasst, eine Summe
von folgender Form:
z = Sii ; a · (i j b)
bei beliebigen a, b in geschlossner Form auszuwerten. Behufs deren Lösung
bilden wir ihren allgemeinen Koeffizienten zum Suffix hk:
zh k = Si(i ; a)h k(i j b)h k = SiSlil hal kPm(im h + bm k) =
= Si l1'i lal kPm(1'i m + bm k) = Siai k(1' j b)i k = {1 ; a(1' j b)}h k,
womit z gefunden ist. Es verdient somit der Satz notirt zu werden:
61) [Formel 1]
Nach dem ersten dieser Schemata wird unsre Sk gleich
1 ; (bx ; h)(1' j xn ; h) = h ; bx ; (1' j xn) ; h = h ; (xn j 1') ; xb ; h
-- vergl. 9) des § 27, S. 444 und 27) des § 25, S. 419.

[Darnach darf insbesondre -- für b = 1 -- das Schema notirt werden:
62) Sk(x ; h = k) = h ; (xn j 1') ; x ; h = {(xn j 1') ; x}h h.]

Unsre Bedingung wird hiermit:
Ph{an + (xn j 1') ; xb}h h = an j 1'{(xn j 1') ; xb} ; 1.

Denn wenn wir für den Augenblick den Inhalt der geschweiften
Klammer c nennen und das zweite Glied in derselben d, so ist erstlich:
Phch h = Ph k(1'c ; 1)h k = 0 j 1'c ; 1,
sintemal das j 0 am Ende unterdrückbar. Dazu zerfällt 1'c ; 1 = 1'an ; 1 + 1'd ; 1,
und da an System ist, haben wir 1'an ; 1 = an · 1' ; 1 = an, also entsteht
0 j (an + 1'd ; 1) = an j 1'd ; 1, was zuvörderst zu zeigen gewesen.

Unsre Bedingung läuft demnach auf a 1'd ; 1 hinaus. Nun ist
beachtenswert, dass solche Bedingung bei beliebigem d, falls a System ist,
äquivalent sein muss der einfacheren: 1'a d, sintemal alsdann:
(1'a d) = (a ; 1 d + 0') = {a (0' + d) j 0 = 1'd ; 1}.
Es liesse sich demnach der Satz notiren:
63) (a ; 1 1'b ; 1) = (1' · a ; 1 b)
und nach diesem erhalten wir endlich aus der zuletzt gefundenen auch die
zweite Form 59) unsrer Bedingung, q. e. d.


Zwölfte Vorlesung.
Satz schliesst sich augenscheinlich gewissen in § 29, S. 525 sq. gegebnen
Sätzen an. —

Zu 59) haben wir zunächst:
Πh{āh + Σkbk · k̆ ; x ; h · (k̆ ɟ x̄ ; h)} = Πh{āh + Σkk̆ ; bx ; h · (k̆ ɟ x̄ ; h)},
weil nämlich bk = bk h = k̆ ; b ; h sowie bkxk h = (bx)k h etc.

Hiernach erwächst uns zunächst die Hülfsaufgabe: die Summation
im letzten Gliede auszuführen, d. i., etwas allgemeiner gefasst, eine Summe
von folgender Form:
z = Σiĭ ; a · (ĭ ɟ b)
bei beliebigen a, b in geschlossner Form auszuwerten. Behufs deren Lösung
bilden wir ihren allgemeinen Koeffizienten zum Suffix hk:
zh k = Σi(ĭ ; a)h k(ĭ ɟ b)h k = ΣiΣlil hal kΠm(im h + bm k) =
= Σi l1'i lal kΠm(1'i m + bm k) = Σiai k(1' ɟ b)i k = {1 ; a(1' ɟ b)}h k,
womit z gefunden ist. Es verdient somit der Satz notirt zu werden:
61) [Formel 1]
Nach dem ersten dieser Schemata wird unsre Σk gleich
1 ; (bx ; h)(1' ɟ x̄ ; h) = h̆ ; b̆x̆ ; (1' ɟ x̄) ; h = h̆ ; (x̄̆ ɟ 1') ; xb ; h
— vergl. 9) des § 27, S. 444 und 27) des § 25, S. 419.

[Darnach darf insbesondre — für b = 1 — das Schema notirt werden:
62) Σk(x ; h = k) = h̆ ; (x̄̆ ɟ 1') ; x ; h = {(x̄̆ ɟ 1') ; x}h h.]

Unsre Bedingung wird hiermit:
Πh{ā + (x̄̆ ɟ 1') ; xb}h h = ā̆ ɟ 1'{(x̄̆ ɟ 1') ; xb} ; 1.

Denn wenn wir für den Augenblick den Inhalt der geschweiften
Klammer c nennen und das zweite Glied in derselben d, so ist erstlich:
Πhch h = Πh k(1'c ; 1)h k = 0 ɟ 1'c ; 1,
sintemal das ɟ 0 am Ende unterdrückbar. Dazu zerfällt 1'c ; 1 = 1'ā ; 1 + 1'd ; 1,
und da ā System ist, haben wir 1'ā ; 1 = ā · 1' ; 1 = ā, also entsteht
0 ɟ (ā + 1'd ; 1) = ā̆ ɟ 1'd ; 1, was zuvörderst zu zeigen gewesen.

Unsre Bedingung läuft demnach auf a ⋹ 1'd ; 1 hinaus. Nun ist
beachtenswert, dass solche Bedingung bei beliebigem d, falls a System ist,
äquivalent sein muss der einfacheren: 1'a ⋹ d, sintemal alsdann:
(1'a ⋹ d) = (a ; 1 ⋹ d + 0') = {a ⋹ (0' + d) ɟ 0 = 1'd ; 1}.
Es liesse sich demnach der Satz notiren:
63) (a ; 1 ⋹ 1'b ; 1) = (1' · a ; 1 ⋹ b)
und nach diesem erhalten wir endlich aus der zuletzt gefundenen auch die
zweite Form 59) unsrer Bedingung, q. e. d.


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[636/0650] Zwölfte Vorlesung. Satz schliesst sich augenscheinlich gewissen in § 29, S. 525 sq. gegebnen Sätzen an. — Zu 59) haben wir zunächst: Πh{āh + Σkbk · k̆ ; x ; h · (k̆ ɟ x̄ ; h)} = Πh{āh + Σkk̆ ; bx ; h · (k̆ ɟ x̄ ; h)}, weil nämlich bk = bk h = k̆ ; b ; h sowie bkxk h = (bx)k h etc. Hiernach erwächst uns zunächst die Hülfsaufgabe: die Summation im letzten Gliede auszuführen, d. i., etwas allgemeiner gefasst, eine Summe von folgender Form: z = Σiĭ ; a · (ĭ ɟ b) bei beliebigen a, b in geschlossner Form auszuwerten. Behufs deren Lösung bilden wir ihren allgemeinen Koeffizienten zum Suffix hk: zh k = Σi(ĭ ; a)h k(ĭ ɟ b)h k = ΣiΣlil hal kΠm(im h + bm k) = = Σi l1'i lal kΠm(1'i m + bm k) = Σiai k(1' ɟ b)i k = {1 ; a(1' ɟ b)}h k, womit z gefunden ist. Es verdient somit der Satz notirt zu werden: 61) [FORMEL] Nach dem ersten dieser Schemata wird unsre Σk gleich 1 ; (bx ; h)(1' ɟ x̄ ; h) = h̆ ; b̆x̆ ; (1' ɟ x̄) ; h = h̆ ; (x̄̆ ɟ 1') ; xb ; h — vergl. 9) des § 27, S. 444 und 27) des § 25, S. 419. [Darnach darf insbesondre — für b = 1 — das Schema notirt werden: 62) Σk(x ; h = k) = h̆ ; (x̄̆ ɟ 1') ; x ; h = {(x̄̆ ɟ 1') ; x}h h.] Unsre Bedingung wird hiermit: Πh{ā + (x̄̆ ɟ 1') ; xb}h h = ā̆ ɟ 1'{(x̄̆ ɟ 1') ; xb} ; 1. Denn wenn wir für den Augenblick den Inhalt der geschweiften Klammer c nennen und das zweite Glied in derselben d, so ist erstlich: Πhch h = Πh k(1'c ; 1)h k = 0 ɟ 1'c ; 1, sintemal das ɟ 0 am Ende unterdrückbar. Dazu zerfällt 1'c ; 1 = 1'ā ; 1 + 1'd ; 1, und da ā System ist, haben wir 1'ā ; 1 = ā · 1' ; 1 = ā, also entsteht 0 ɟ (ā + 1'd ; 1) = ā̆ ɟ 1'd ; 1, was zuvörderst zu zeigen gewesen. Unsre Bedingung läuft demnach auf a ⋹ 1'd ; 1 hinaus. Nun ist beachtenswert, dass solche Bedingung bei beliebigem d, falls a System ist, äquivalent sein muss der einfacheren: 1'a ⋹ d, sintemal alsdann: (1'a ⋹ d) = (a ; 1 ⋹ d + 0') = {a ⋹ (0' + d) ɟ 0 = 1'd ; 1}. Es liesse sich demnach der Satz notiren: 63) (a ; 1 ⋹ 1'b ; 1) = (1' · a ; 1 ⋹ b) und nach diesem erhalten wir endlich aus der zuletzt gefundenen auch die zweite Form 59) unsrer Bedingung, q. e. d.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 636. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/650>, abgerufen am 17.05.2024.