Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 31. Zur eindeutigen Abbildung.

Um die beiden Formen 58), 59) direkt aufeinander zurückzuführen,
kann man sich erstlich an die ausgezeichneten Relative halten, zweitens
auch an die Subsumtionenform unsrer Bedingung.

In erstrer Hinsicht ist für beliebige a, b, c leicht aus der Koeffizienten-
evidenz der Satz zu beweisen, dass:
64) 1' · a ; cb = 1' · ac̆ ; b
— was ja einfach auf (c̆)_{i l} = c_{l i} hinauskommt. Darnach ist schon für
sich: 1' · (x̄̆ ɟ 1') ; xb = 1' · (x̄̆ ɟ 1')x̆ ; b, und da das letzte relative Produkt
wegen b = b ; 1 System ist, so wird, wenn dasselbe e genannt wird,
1'e ; 1 = e sein müssen, mithin sich ohne weitres das ausgezeichnete Re-
lativ 59) in das 58) verwandeln, q. e. d.

In letztrer Hinsicht ist der Satz zu etabliren:
65) [Formel 1]
als gültig für beliebige Relative a, b. Von diesen Äquivalenzen bedarf
blos die erste eines Beweises, und zwar als vorwärtige Subsumtion, da sie
als rückwärtige sich von selbst versteht. Hier ist
L = (1'a ⋹ 1'b ; 1 ɟ 0) = (1'a ⋹ 1'b ; 1) als ⋹ (1'a ⋹ 1'b) = R
nachzuweisen. Dies gelingt mit
L = L(1'a ⋹ 1') = (1'a ⋹ 1'b ; 1 · 1' = 1'b ; 1' = 1'b) = R.

Um nun aus der ersten Subsumtion 58) — sage L — die letzte 59)
— sage R — und umgekehrt zu gewinnen, schliesse man unter Gebrauch
der obigen Abkürzungen d = (x̄̆ ɟ 1') ; xb und e = (x̄̆ ɟ 1')x̆ ; b wie folgt:
L = (a ⋹ e) ⋹ (1'a ; 1 ⋹ 1'e ; 1), wo nun nach 64) 1'e = 1'd sein muss,
also L ⋹ (1'a ; 1 ⋹ 1'd ; 1) = (1'a ⋹ 1'd) = (1'a ⋹ d) = R, q. e. d. Und
umgekehrt: R = (1'a ⋹ d) = (1'a ⋹ 1'd = 1'e) = (1'a ⋹ e) ⋹ (1'a ; 1 ⋹ e ; 1),
was, da a und e Systeme sind, einerlei ist mit (a ⋹ e) = L. Damit ist
denn L ⋹ R und R ⋹ L also L = R bewiesen, q. e. d.

Mit der so nachgewiesnen Äquivalenz der Subsumtionen in 58), 59)
ist auch — für a = b = 1 — die Zurückführung der beiden äussersten
Formen der Charakteristik von A₁A₂ in 17) des § 30, S. 587 gegeben
und damit eine heuristische Herleitung der letztern von diesen, den Ge-
dankengang darlegend, durch den ich sie gefunden hatte.

Nachdem somit diese immerhin instruktiven Herleitungsdetails erledigt
sind, sehen wir uns die Resultate näher an.

Der Ansatz 58) oder 59) ist ebenfalls ein Ausdruck für die For-
derung, dass durch x das System a eindeutig in b hinein abgebildet
werde. Dieses x braucht dabei ersichtlich nicht einmal eine Abbil-
dung im Sinne des § 30 zu sein, denn die Forderung deckt sich mit
der Charakteristik von keinem unsrer 15 Typen. Dieselbe ist aber
auch von allen vorhergehenden 51, 52, 53, 55) wesentlich verschieden,
was daraus zu begreifen ist, dass sie wiederum ein andres externes
Verhalten von x in Hinsicht des a und b gestattet.