Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 31. Normale und andre Fassungen eindeutiger Abbildung.

Nennt man indess auch hier ăbx = z, so gelangt man ebenfalls
zur Normalform 55).

Inbezug auf den letzten Faktor rechts und die Adventivforderung
ist dies wiederholt (so gerade vorhin in y statt x) gezeigt, und was
den ersten Faktor betrifft eigentlich auch schon, und zwar auf S. 620. —

Ferner kann man auch selbständig die Forderung aufstellen, dass
es zu jedem Element h von a ein Element k von b gebe derart, dass
das x-Bild von h gleich k sei. Damit wird das Vorhandensein von
noch andern Elementen k' des b, sei es als x-Bilder von h, sei es
auch als solchem x ; h blos eingeordnet, von selber ausgeschlossen,
weil in diesen Fällen (k' ⋹ k also) k' = k folgen müsste. Notwendige
und hinreichende Bedingung dafür, dass a durch x in b hinein ein-
deutig abgebildet werde, muss also auch sein:
57) Π_h{(h⋹a) ⋹Σ_k(k⋹b)(x ; h = k)}.
Jenachdem wir nun für den Ausdruck des letzten Thesisfaktors das
Schema ο) oder das ξ) des § 30 benutzen, ergeben sich ganz ver-
schiedne Ausdrucksformen dieser Bedingung, die es verlohnt beide
aufzusuchen. Mit ersterem entsteht:
58) b̆ ; x(1' ɟ x̄) ɟ ā, = ā̆ ɟ (x̄̆ ɟ 1')x̆ ; b = {a ⋹ (x̄̆ ɟ 1')x̆ ; b} = (a ⋹ x̆ ; b){a ⋹ (x̄̆ ⋹ 1') ; b},
mit letztrem dagegen:
59) ā̆ ɟ 1'{(x̄̆ ɟ 1') ; xb} ; 1, = {1'a ⋹ (x̄̆ ɟ 1') ; xb}.

Dies ist zunächst herzuleiten, dann aufeinander zurückzuführen, was
nicht ganz leicht, aber lehrreich ist. Zu 58) haben wir:
Π_h[ā_h + Σ_kb_k{x(1' ɟ x̄)}_{k h}] = Π_{h k}{ā̆ + 1 ; bx(1' ɟ x̄)}_{k h} = {ā̆ + b̆ ; x(1' ɟ x̄)} ɟ 0,
weil 0 ɟ vor einem Systemkonvers unterdrückbar. Damit ist die erste
Form gewonnen, welche sich konvertirt in die zweite, dann, als Prädikat
zu 1 gesetzt, nach dem ersten Inversionstheorem auch in die dritte um-
setzt. Die Äquivalenz dieser mit der letzten Subsumtion und vierten Form
aber beruht auf einem allgemeinen Satze:
60) [Formel 1]
— demgegenüber ein analoger Satz für a(1' ɟ ā) ; b jedoch nicht gelten
muss. Er beweist sich mit:
L_{i j} = Σ_hΠ_k(ā_{i k} + 1'_{k h})a_{i h}b_{h j}, R_{i j} = Σ_lΠ_k(ā_{i k} + 1'_{k l})b_{l j}Σ_ha_{i h}b_{h j} =
= Σ_{h l}Π_k(ā_{i k} + 1'_{k l})a_{i h}b_{h j}b_{l j}
in Anbetracht dass aus der letztern Doppelsumme alle die Glieder heraus-
fallen müssen, in denen l ≠ h ist, sintemal sie wegen k ≠ l dann ā_{i h} zum
effektiven Faktor des Π haben und dieser mit a_{i h} zusammentrifft; und
wird nun l = h gesetzt, so fällt R_{i j} völlig mit L_{i j} zusammen, q. e. d. Der