Bei der Annahme b = 1 verbleiben, als nur mehr relativ inbezug auf das System a, die beiden Forderungen: 54) A2, = (y ; y 1') nebst ay ; 1, welch erstre y als eine nie mehrdeutige Abbildung charakterisirt, während letztre -- als mit Ph{(ha) Sk(ky ; h)}, = 1 ; y j an = an j y ; 1 äqui- valent -- garantirt: dass die Elemente von a wenigstens Bilder haben oder wirklich abgebildet werden, es nämlich zu jedem ha ein k gibt so, dass hy ; k, ky ; h ist. -- Da y = x(1' j xn) die allgemeine Wurzel von A2 ist, so kann natürlich, wie auch aus 52) für b = 1 ersichtlich, 54) auch vertreten werden durch: 54a) a (xn j 1')x ; 1 was in (a 1 ; x){a 1 ; (1' j xn)} nach 29) S. 215 zerfällbar -- welcher Satz nur ein Sonderfall des unten gegebnen 60) ist. --
Nennen wir aby = z, wo dann sein wird: zab, z ; an = 0, z ; bn = 0, so wird ähnlich wie früher (vergl. S. 605): (ay ; b) = (aa · y ; b) = (aaby ; b) = (az ; b), (y ; ab) (b · y ; ab) = (bya ; ab) = (z ; ab), {(b + b) · y ; y 1'} (bb · y ; y 1') = (by ; by 1') (aby ; aby 1') = (z ; z 1') und folgt: 55) (z ; z 1')(az ; b)(z ; ab)(zab) (z ; an = 0)(z ; bn = 0) und dieses z, für y gesetzt, genügt a fortiori auch den vorigen Forde- rungen 53, 54).
Dass die zweite Subsumtion in 55) auch als Gleichung gilt folgt daraus, dass mit za auch z ; ba ; b = a · 1 ; b, mithin z ; ba gelten muss.
Wir wollen vorstehende 55) die "Normalbedingung für die ein- deutige Abbildung mittelst z des Systems a in das b hinein" nennen.
Zu ihr kann man auch noch auf folgenden wesentlich andern Wegen und mit zum Teil neuen Ausdrucksformen gelangen.
Einmal, indem man von vornherein die zwei von den vier S. 617 formulirten Forderungen g kombinirt: 56) g1g2 = {(x ; 0'b j 0)a = 0}(ax ; b).
Auch dieser Ansatz ist ein Ausdruck dafür, dass mittelst x das System a in b hinein eindeutig abgebildet werde. Doch ist das externe Verhalten des gegenwärtigen x inbezug auf a und b von dem der früheren x, y, z in 51) bis 55) eventuell verschieden.
Zwölfte Vorlesung.
Bei der Annahme b = 1 verbleiben, als nur mehr relativ inbezug auf das System a, die beiden Forderungen: 54) A2, = (y ; y̆ ⋹ 1') nebst a ⋹ y̆ ; 1, welch erstre y als eine nie mehrdeutige Abbildung charakterisirt, während letztre — als mit Πh{(h ⋹ a) ⋹ Σk(k ⋹ y ; h)}, = 1 ; y ɟ ā = ā̆ ɟ y̆ ; 1 äqui- valent — garantirt: dass die Elemente von a wenigstens Bilder haben oder wirklich abgebildet werden, es nämlich zu jedem h ⋹ a ein k gibt so, dass h ⋹ y̆ ; k, k ⋹ y ; h ist. — Da y = x(1' ɟ x̄) die allgemeine Wurzel von A2 ist, so kann natürlich, wie auch aus 52) für b = 1 ersichtlich, 54) auch vertreten werden durch: 54α) a⋹ (x̄̆ ɟ 1')x̆ ; 1 was in (ă ⋹ 1 ; x){ă ⋹ 1 ; (1' ɟ x̄)} nach 29) S. 215 zerfällbar — welcher Satz nur ein Sonderfall des unten gegebnen 60) ist. —
Nennen wir ăby = z, wo dann sein wird: z⋹ăb, z ; ā = 0, z̆ ; b̄ = 0, so wird ähnlich wie früher (vergl. S. 605): (a ⋹ y̆ ; b) = (a ⋹ a · y̆ ; b) = (a ⋹ ab̆y̆ ; b) = (a ⋹ z̆ ; b), (y ; a ⋹ b) ⋹ (b · y ; a ⋹ b) = (byă ; a ⋹ b) = (z ; a ⋹ b), {(b + b̆) · y ; y̆ ⋹ 1'} ⋹ (bb̆ · y ; y̆ ⋹ 1') = (by ; b̆y̆ ⋹ 1') ⋹ (ăby ; ab̆y̆ ⋹ 1') = (z ; z̆ ⋹ 1') und folgt: 55) (z ; z̆ ⋹ 1')(a ⋹͇ z̆ ; b)(z ; a ⋹ b)(z ⋹ ăb) (z ; ā = 0)(z̆ ; b̄ = 0) und dieses z, für y gesetzt, genügt a fortiori auch den vorigen Forde- rungen 53, 54).
Dass die zweite Subsumtion in 55) auch als Gleichung gilt folgt daraus, dass mit z̆ ⋹ a auch z̆ ; b ⋹ a ; b = a · 1 ; b, mithin z̆ ; b ⋹ a gelten muss.
Wir wollen vorstehende 55) die „Normalbedingung für die ein- deutige Abbildung mittelst z des Systems a in das b hinein“ nennen.
Zu ihr kann man auch noch auf folgenden wesentlich andern Wegen und mit zum Teil neuen Ausdrucksformen gelangen.
Einmal, indem man von vornherein die zwei von den vier S. 617 formulirten Forderungen γ kombinirt: 56) γ1γ2 = {(x̆ ; 0'b ɟ 0)a = 0}(a ⋹ x̆ ; b).
Auch dieser Ansatz ist ein Ausdruck dafür, dass mittelst x das System a in b hinein eindeutig abgebildet werde. Doch ist das externe Verhalten des gegenwärtigen x inbezug auf a und b von dem der früheren x, y, z in 51) bis 55) eventuell verschieden.
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Zwölfte Vorlesung.
Bei der Annahme b = 1 verbleiben, als nur mehr relativ inbezug auf
das System a, die beiden Forderungen:
54) A2, = (y ; y̆ ⋹ 1') nebst a ⋹ y̆ ; 1,
welch erstre y als eine nie mehrdeutige Abbildung charakterisirt, während
letztre — als mit Πh{(h ⋹ a) ⋹ Σk(k ⋹ y ; h)}, = 1 ; y ɟ ā = ā̆ ɟ y̆ ; 1 äqui-
valent — garantirt: dass die Elemente von a wenigstens Bilder haben
oder wirklich abgebildet werden, es nämlich zu jedem h ⋹ a ein k gibt so,
dass h ⋹ y̆ ; k, k ⋹ y ; h ist. — Da y = x(1' ɟ x̄) die allgemeine Wurzel
von A2 ist, so kann natürlich, wie auch aus 52) für b = 1 ersichtlich,
54) auch vertreten werden durch:
54α) a⋹ (x̄̆ ɟ 1')x̆ ; 1 was in (ă ⋹ 1 ; x){ă ⋹ 1 ; (1' ɟ x̄)}
nach 29) S. 215 zerfällbar — welcher Satz nur ein Sonderfall des unten
gegebnen 60) ist. —
Nennen wir ăby = z, wo dann sein wird:
z⋹ăb, z ; ā = 0, z̆ ; b̄ = 0,
so wird ähnlich wie früher (vergl. S. 605):
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und dieses z, für y gesetzt, genügt a fortiori auch den vorigen Forde-
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Dass die zweite Subsumtion in 55) auch als Gleichung gilt folgt
daraus, dass mit z̆ ⋹ a auch z̆ ; b ⋹ a ; b = a · 1 ; b, mithin z̆ ; b ⋹ a
gelten muss.
Wir wollen vorstehende 55) die „Normalbedingung für die ein-
deutige Abbildung mittelst z des Systems a in das b hinein“ nennen.
Zu ihr kann man auch noch auf folgenden wesentlich andern
Wegen und mit zum Teil neuen Ausdrucksformen gelangen.
Einmal, indem man von vornherein die zwei von den vier S. 617
formulirten Forderungen γ kombinirt:
56) γ1γ2 = {(x̆ ; 0'b ɟ 0)a = 0}(a ⋹ x̆ ; b).
Auch dieser Ansatz ist ein Ausdruck dafür, dass mittelst x das
System a in b hinein eindeutig abgebildet werde. Doch ist das externe
Verhalten des gegenwärtigen x inbezug auf a und b von dem der
früheren x, y, z in 51) bis 55) eventuell verschieden.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 634. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/648>, abgerufen am 17.05.2024.
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