Zu jedem Element h von a soll es mindestens ein Element k von b geben, welches dessen x-Bild ist, während zugleich die Forde- rung Xk h erfüllt ist, dass ein jedes von k verschiedene Element n von b nicht dessen x-Bild ist. M. a. W.: Es soll zu jedem Element h von a innerhalb b ein und nur ein Element k, welches x ; h ist, geben.
Damit allein wird über das externe Verhalten von x zu a und b in keiner Weise präjudizirt sein. -- Obiges liefert nun: 51)
[Formel 1]
Ph(anh + Skbkxk hXk h) wo Xk h = Pn(bnn + 1'k n + xnn h) = {1' j (bn + xn)}k h, und wird xX = y genannt, so kommt: Ph(anh + Skbkyk h) = 0 j (an + 1; by) j 0 = b ; y j an = an j y ; b = (ay ; b). Unser Ergebniss ist somit: 52)
[Formel 2]
Als Resultante der Elimination von x muss gelten: a 1 ; b, d. h. es darf b nicht ohne a verschwinden. Diese wollen wir fortan als erfüllt voraussetzen. Es wird sich zeigen, dass sie die volle Resul- tante gewesen, d. h. dass es dann immer auch zu irgendwie gegebnen a und b eine Abbildung x gibt, welche den Anforderungen genügt: In ein nicht verschwindendes System b hinein kann jedes System a ein- deutig abgebildet werden.
Aus der Gleichung für y lässt sich nun x eliminiren wie folgt: y 1' j (bn + xn), yx, 0' ; ybn + xn, b · 0' ; yxnyn, also by · 0' ; y = 0. [Oder auch bx 1' j yn, aber bybx, also a fortiori:] by 1' j yn, by ; y 1', b · y ; y 1', und diese in zweierlei Formen gefundne Resultante ist die volle, denn falls sie erfüllt, so genügt auch x = y der Gleichung für y.
Es kann daher auch 52) äquivalent ersetzt werden durch: 52a) (b · y ; y 1')(ay ; b) oder (by · 0' ; y = 0)(ay ; b). Hieraus folgt aber mit: y ; ab, nämlich: y ; ay ; y ; b = (y ; y)b ; b 1' ; b = b, sintemal sich durch Konversion auch b · y ; y 1' ergibt.
Wir mögen daher unser Ergebniss auch "voller" noch in der Form notiren: 53) {(b + b) · y ; y 1'}(ay ; b)(y ; ab).
Zu jedem Element h von a soll es mindestens ein Element k von b geben, welches dessen x-Bild ist, während zugleich die Forde- rung Xk h erfüllt ist, dass ein jedes von k verschiedene Element n von b nicht dessen x-Bild ist. M. a. W.: Es soll zu jedem Element h von a innerhalb b ein und nur ein Element k, welches ⋹ x ; h ist, geben.
Damit allein wird über das externe Verhalten von x zu a und b in keiner Weise präjudizirt sein. — Obiges liefert nun: 51)
[Formel 1]
Πh(āh + Σkbkxk hXk h) wo Xk h = Πn(b̄n + 1'k n + x̄n h) = {1' ɟ (b̄ + x̄)}k h, und wird xX = y genannt, so kommt: Πh(āh + Σkbkyk h) = 0 ɟ (ā̆ + 1; by) ɟ 0 = b̆ ; y ɟ ā = ā̆ ɟ y̆ ; b = (a ⋹ y̆ ; b). Unser Ergebniss ist somit: 52)
[Formel 2]
Als Resultante der Elimination von x muss gelten: a ⋹ 1 ; b, d. h. es darf b nicht ohne a verschwinden. Diese wollen wir fortan als erfüllt voraussetzen. Es wird sich zeigen, dass sie die volle Resul- tante gewesen, d. h. dass es dann immer auch zu irgendwie gegebnen a und b eine Abbildung x gibt, welche den Anforderungen genügt: In ein nicht verschwindendes System b hinein kann jedes System a ein- deutig abgebildet werden.
Aus der Gleichung für y lässt sich nun x eliminiren wie folgt: y⋹ 1' ɟ (b̄ + x̄), y ⋹ x, 0' ; y ⋹ b̄ + x̄, b · 0' ; y ⋹ x̄ ⋹ ȳ, also by · 0' ; y = 0. [Oder auch bx ⋹ 1' ɟ ȳ, aber by ⋹ bx, also a fortiori:] by⋹ 1' ɟ ȳ, by ; y̆ ⋹ 1', b · y ; y̆ ⋹ 1', und diese in zweierlei Formen gefundne Resultante ist die volle, denn falls sie erfüllt, so genügt auch x = y der Gleichung für y.
Es kann daher auch 52) äquivalent ersetzt werden durch: 52α) (b · y ; y̆ ⋹ 1')(a ⋹ y̆ ; b) oder (by · 0' ; y = 0)(a ⋹ y̆ ; b). Hieraus folgt aber mit: y ; a ⋹ b, nämlich: y ; a ⋹ y ; y̆ ; b = (y ; y̆)b̆ ; b ⋹ ⋹ 1' ; b = b, sintemal sich durch Konversion auch b̆ · y ; y̆ ⋹ 1' ergibt.
Wir mögen daher unser Ergebniss auch „voller“ noch in der Form notiren: 53) {(b + b̆) · y ; y̆ ⋹ 1'}(a ⋹ y̆ ; b)(y ; a ⋹ b).
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§ 31. Eventuell blos einseitig eindeutige Abbildung.
Zu jedem Element h von a soll es mindestens ein Element k
von b geben, welches dessen x-Bild ist, während zugleich die Forde-
rung Xk h erfüllt ist, dass ein jedes von k verschiedene Element n
von b nicht dessen x-Bild ist. M. a. W.: Es soll zu jedem Element h
von a innerhalb b ein und nur ein Element k, welches ⋹ x ; h ist,
geben.
Damit allein wird über das externe Verhalten von x zu a und b
in keiner Weise präjudizirt sein. — Obiges liefert nun:
51) [FORMEL]
Πh(āh + Σkbkxk hXk h) wo Xk h = Πn(b̄n + 1'k n + x̄n h) = {1' ɟ (b̄ + x̄)}k h,
und wird xX = y genannt, so kommt:
Πh(āh + Σkbkyk h) = 0 ɟ (ā̆ + 1; by) ɟ 0 = b̆ ; y ɟ ā = ā̆ ɟ y̆ ; b = (a ⋹ y̆ ; b).
Unser Ergebniss ist somit:
52) [FORMEL]
Als Resultante der Elimination von x muss gelten: a ⋹ 1 ; b,
d. h. es darf b nicht ohne a verschwinden. Diese wollen wir fortan als
erfüllt voraussetzen. Es wird sich zeigen, dass sie die volle Resul-
tante gewesen, d. h. dass es dann immer auch zu irgendwie gegebnen
a und b eine Abbildung x gibt, welche den Anforderungen genügt:
In ein nicht verschwindendes System b hinein kann jedes System a ein-
deutig abgebildet werden.
Aus der Gleichung für y lässt sich nun x eliminiren wie folgt:
y⋹ 1' ɟ (b̄ + x̄), y ⋹ x, 0' ; y ⋹ b̄ + x̄, b · 0' ; y ⋹ x̄ ⋹ ȳ,
also by · 0' ; y = 0. [Oder auch bx ⋹ 1' ɟ ȳ, aber by ⋹ bx, also a fortiori:]
by⋹ 1' ɟ ȳ, by ; y̆ ⋹ 1', b · y ; y̆ ⋹ 1',
und diese in zweierlei Formen gefundne Resultante ist die volle, denn
falls sie erfüllt, so genügt auch x = y der Gleichung für y.
Es kann daher auch 52) äquivalent ersetzt werden durch:
52α) (b · y ; y̆ ⋹ 1')(a ⋹ y̆ ; b) oder (by · 0' ; y = 0)(a ⋹ y̆ ; b).
Hieraus folgt aber mit: y ; a ⋹ b, nämlich: y ; a ⋹ y ; y̆ ; b = (y ; y̆)b̆ ; b ⋹
⋹ 1' ; b = b, sintemal sich durch Konversion auch b̆ · y ; y̆ ⋹ 1' ergibt.
Wir mögen daher unser Ergebniss auch „voller“ noch in der
Form notiren:
53) {(b + b̆) · y ; y̆ ⋹ 1'}(a ⋹ y̆ ; b)(y ; a ⋹ b).
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 633. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/647>, abgerufen am 17.05.2024.
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