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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Zwölfte Vorlesung.

Anders verhält sich die Sache für a = b = c = 1. Da gilt wirklich:
37) (x ; 0' j 0 = 0)(y ; 0' j 0 = 0) (y ; x 0' j 0 = 0)
-- wie man durch zeilenrechnerischen Erweis der ersten von den Äquivalenzen:
38) (a ; 0' j 0 = 0) = (a an j 1') = (a ; a 1')
-- oder auch durch ihre Ableitung aus 36) mit der Annahme b = 0 --
am bequemsten dann so, wie S. 567 gezeigt, sieht. Gehört in der That
nach einem ersten Prinzip zu jedem Element des Denkbereichs wiederum
höchstens ein Element aus diesem ganzen Denkbereiche, ebenso nach einem
zweiten Prinzip, so auch nach dem aus beiden zusammengesetzten Prinzipe.

Mit den Resultaten 32) bis 35) ist nun selbständig die folgende
neue Fassung der Ähnlichkeitsforderung für a und b gewonnen:
[Formel 1] , d. h. die Systeme a und b werden ähnlich zu
nennen sein dann und nur dann, wenn es ein Abbildungsprinzip x
gibt, das inbezug auf sie die Forderungen g1 bis g4 alle viere gleich-
zeitig erfüllt. Wir haben also als die "sechste Fassung":
(39) [Formel 2] .

Hatten wir zuerst, bei 1), die Ähnlichkeitsforderung imgrunde so ge-
fasst: Zu jedem Element h von a soll es innerhalb b (mindestens) ein
Element k geben, welches "einzig ein x-Bild von ihm, und von ihm allein"
ist (und umgekehrt -- nur "x-Bild" gesagt), so leuchtet es zwar schon
dem gemeinen Verstande ein: dass es daneben ein zweites Element k' von b
nicht geben kann, welches "mehrzig" (d. h. neben andern) ein x-Bild von
ihm (jenem h), oder auch von ihm und noch andern Elementen des a wäre.
Und man fühlt oder glaubt zu fühlen, dass die frühere Fassung mit der
diesmal formulirten doch wesentlich zusammenfallen muss, obwol letztre
die betreffende Forderung nicht als abhängige (von gewissen Voraussetzungen)
-- in einem Relativsatze -- sondern selbständig aufstellt. Allein mit
solcher Intuition dürfen wir uns hier nicht zufrieden geben, müssen viel-
mehr die Äquivalenz der letzten Fassung mit irgend einer der früheren
Fassungen auch analytisch nachweisen.

Dies gelingt mittelst Zurückführung von (39) auf (10) oder (17) wie
folgt. Wegen
xab ; 0' = xb ; 0'a x ; 0'a und xab b folgt mit (x ; 0'a j 0)b = 0
a fortiori auch: (xab ; 0' j 0)xab = 0, und ebenso mit (x ; 0'b j 0)a = 0
auch (xab ; 0' j 0)xab = 0. Nennt man daher:
xab = z,
so lehrt die letzte Forderung in (39) dass:
(z ; 0' j 0)z = 0 und (z ; 0' j 0)z = 0
ist. Nach 32) S. 216 ist aber allgemein (a ; 0' j 0)a = a ; 0' · a, mithin
muss gelten
z ; 0' · z + z ; 0' · z = 0, was in z ; z + z ; z 1'

Zwölfte Vorlesung.

Anders verhält sich die Sache für a = b = c = 1. Da gilt wirklich:
37) (x ; 0' ɟ 0 = 0)(y ; 0' ɟ 0 = 0) ⋹ (y ; x 0' ɟ 0 = 0)
— wie man durch zeilenrechnerischen Erweis der ersten von den Äquivalenzen:
38) (a ; 0' ɟ 0 = 0) = (a ⋹ ā ɟ 1') = (ă ; a ⋹ 1')
— oder auch durch ihre Ableitung aus 36) mit der Annahme b = 0 —
am bequemsten dann so, wie S. 567 gezeigt, sieht. Gehört in der That
nach einem ersten Prinzip zu jedem Element des Denkbereichs wiederum
höchstens ein Element aus diesem ganzen Denkbereiche, ebenso nach einem
zweiten Prinzip, so auch nach dem aus beiden zusammengesetzten Prinzipe.

Mit den Resultaten 32) bis 35) ist nun selbständig die folgende
neue Fassung der Ähnlichkeitsforderung für a und b gewonnen:
[Formel 1] , d. h. die Systeme a und b werden ähnlich zu
nennen sein dann und nur dann, wenn es ein Abbildungsprinzip x
gibt, das inbezug auf sie die Forderungen γ1 bis γ4 alle viere gleich-
zeitig erfüllt. Wir haben also als die „sechste Fassung“:
(39) [Formel 2] .

Hatten wir zuerst, bei 1), die Ähnlichkeitsforderung imgrunde so ge-
fasst: Zu jedem Element h von a soll es innerhalb b (mindestens) ein
Element k geben, welches „einzig ein x-Bild von ihm, und von ihm allein“
ist (und umgekehrt — nur „x̆-Bild“ gesagt), so leuchtet es zwar schon
dem gemeinen Verstande ein: dass es daneben ein zweites Element k' von b
nicht geben kann, welches „mehrzig“ (d. h. neben andern) ein x-Bild von
ihm (jenem h), oder auch von ihm und noch andern Elementen des a wäre.
Und man fühlt oder glaubt zu fühlen, dass die frühere Fassung mit der
diesmal formulirten doch wesentlich zusammenfallen muss, obwol letztre
die betreffende Forderung nicht als abhängige (von gewissen Voraussetzungen)
— in einem Relativsatze — sondern selbständig aufstellt. Allein mit
solcher Intuition dürfen wir uns hier nicht zufrieden geben, müssen viel-
mehr die Äquivalenz der letzten Fassung mit irgend einer der früheren
Fassungen auch analytisch nachweisen.

Dies gelingt mittelst Zurückführung von (39) auf (10) oder (17) wie
folgt. Wegen
xăb ; 0' = xb ; 0'a ⋹ x ; 0'a und xăb ⋹ b folgt mit (x ; 0'a ɟ 0)b = 0
a fortiori auch: (xăb ; 0' ɟ 0)xăb = 0, und ebenso mit (x̆ ; 0'b ɟ 0)a = 0
auch (x̆ab̆ ; 0' ɟ 0)x̆ab̆ = 0. Nennt man daher:
xăb = z,
so lehrt die letzte Forderung in (39) dass:
(z ; 0' ɟ 0)z = 0 und (z̆ ; 0' ɟ 0)z̆ = 0
ist. Nach 32) S. 216 ist aber allgemein (a ; 0' ɟ 0)a = a ; 0' · a, mithin
muss gelten
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[620/0634] Zwölfte Vorlesung. Anders verhält sich die Sache für a = b = c = 1. Da gilt wirklich: 37) (x ; 0' ɟ 0 = 0)(y ; 0' ɟ 0 = 0) ⋹ (y ; x 0' ɟ 0 = 0) — wie man durch zeilenrechnerischen Erweis der ersten von den Äquivalenzen: 38) (a ; 0' ɟ 0 = 0) = (a ⋹ ā ɟ 1') = (ă ; a ⋹ 1') — oder auch durch ihre Ableitung aus 36) mit der Annahme b = 0 — am bequemsten dann so, wie S. 567 gezeigt, sieht. Gehört in der That nach einem ersten Prinzip zu jedem Element des Denkbereichs wiederum höchstens ein Element aus diesem ganzen Denkbereiche, ebenso nach einem zweiten Prinzip, so auch nach dem aus beiden zusammengesetzten Prinzipe. Mit den Resultaten 32) bis 35) ist nun selbständig die folgende neue Fassung der Ähnlichkeitsforderung für a und b gewonnen: [FORMEL], d. h. die Systeme a und b werden ähnlich zu nennen sein dann und nur dann, wenn es ein Abbildungsprinzip x gibt, das inbezug auf sie die Forderungen γ1 bis γ4 alle viere gleich- zeitig erfüllt. Wir haben also als die „sechste Fassung“: (39) [FORMEL]. Hatten wir zuerst, bei 1), die Ähnlichkeitsforderung imgrunde so ge- fasst: Zu jedem Element h von a soll es innerhalb b (mindestens) ein Element k geben, welches „einzig ein x-Bild von ihm, und von ihm allein“ ist (und umgekehrt — nur „x̆-Bild“ gesagt), so leuchtet es zwar schon dem gemeinen Verstande ein: dass es daneben ein zweites Element k' von b nicht geben kann, welches „mehrzig“ (d. h. neben andern) ein x-Bild von ihm (jenem h), oder auch von ihm und noch andern Elementen des a wäre. Und man fühlt oder glaubt zu fühlen, dass die frühere Fassung mit der diesmal formulirten doch wesentlich zusammenfallen muss, obwol letztre die betreffende Forderung nicht als abhängige (von gewissen Voraussetzungen) — in einem Relativsatze — sondern selbständig aufstellt. Allein mit solcher Intuition dürfen wir uns hier nicht zufrieden geben, müssen viel- mehr die Äquivalenz der letzten Fassung mit irgend einer der früheren Fassungen auch analytisch nachweisen. Dies gelingt mittelst Zurückführung von (39) auf (10) oder (17) wie folgt. Wegen xăb ; 0' = xb ; 0'a ⋹ x ; 0'a und xăb ⋹ b folgt mit (x ; 0'a ɟ 0)b = 0 a fortiori auch: (xăb ; 0' ɟ 0)xăb = 0, und ebenso mit (x̆ ; 0'b ɟ 0)a = 0 auch (x̆ab̆ ; 0' ɟ 0)x̆ab̆ = 0. Nennt man daher: xăb = z, so lehrt die letzte Forderung in (39) dass: (z ; 0' ɟ 0)z = 0 und (z̆ ; 0' ɟ 0)z̆ = 0 ist. Nach 32) S. 216 ist aber allgemein (a ; 0' ɟ 0)a = a ; 0' · a, mithin muss gelten z ; 0' · z + z̆ ; 0' · z̆ = 0, was in z ; z̆ + z̆ ; z ⋹ 1'

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 620. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/634>, abgerufen am 17.05.2024.

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