Um nun jene zwei von diesen auch noch auf die Formen 34), 35) zu bringen, statuiren wir den Hülfssatz: 36)
[Formel 1]
Es soll darin a ein beliebiges Relativ, und b ; 1 nur irgend ein System vorstellen, das also auch durch b j 0 vertreten werden konnte.
Obwol für a = 1abg0 ist: a ; 0' · a = 1ab00, dagegen a ; 0' j 0 = 11100, demnach die beiden Subjekte in 36) differiren, muss dieser Satz doch gelten, und liesse er sich schon zeilenrechnerisch einsehn. Eleganter ist er als L = R so zu beweisen. Wegen a ; 0' · aa ; 0' j 0 folgt L aus R, d. h. gilt RL a fortiori. Umgekehrt folgt aus L auch (a ; 0')a ; 1 b ; 1, was wegen (a ; 0')a ; 1 = a ; 0' j 0, vergl. 30) des § 15, S. 216, in R über- geht, d. h. es gilt auch LR, q. e. d.
Nach diesem Schema 36) verwandelt sich nun z. B. g4 aus 33), ge- schrieben als xa ; 0' · xabn(= bn ; 1), mit Leichtigkeit in xa ; 0' j 0 bn, d. h. in 34) -- und konjugirt entsprechend g2 aus 33) in 34), sowie um- gekehrt, q. e. d. Von 34) aber ist 35) nur eine naheliegende Umformung nach bekannten Sätzen über Systeme.
Sehr beachtenswert ist, dass, während als Relation zwischen den Systemen a und b betrachtet, die Beziehungen g1 und g3transitive sind, ein gleiches mit denen g2 und g4keineswegs der Fall ist.
Jenes ist mit den a fortiori gültigen Folgerungen: (ax ; b)(by ; c) (ax ; y ; c), = (az ; c) für z = y ; x, (bx ; a)(cy ; b) (cy ; x ; a), = (cz ; a) " " " sofort analytisch beweisbar, wie es denn auch ohne weitres einleuchtet, dass, wenn zu jedem a (nach einer Vorschrift x) mindestens ein b ge- hört, und zu jedem b (nach einer andern Vorschrift y) mindestens ein c gehört, dann auch zu jedem a (nach beiden Vorschriften zusammen) mindestens ein c gehören müsse.
Ersetzt man hierin das Wort "mindestens" durchweg durch "höchstens", so findet vielleicht Mancher den Satz ganz ebenso einleuchtend. Dennoch hat die rhetorische Evidenz hierbei nur irre geführt (es können nämlich zu solchen a, zu denen -- als "höchstens ein" -- kein b gehört, vielmehr direkt doch beliebig viele c gehören!). Auch lässt sich zeigen, dass ein Schluss von (x ; 0'a j 0 bn)(y ; 0'b j 0 cn) auf z ; 0'a j 0 cn weder mit z = y ; x, noch mit sonst einem z, zwingend sein kann, indem die fragliche Konklusion ja eine Resultante der Elimination von b aus den Prämissen sein müsste. Eine solche ist aber gar nicht vorhanden, weil die Prämissen sich für b = 0 als stets erfüllt erweisen. Die Konklusion müsste sonach als eine Relation nichtssagend sein, m. a. W. für beliebige a, c und z wie eine allgemeine Formel gelten, was leicht als absurd zu erkennen.
§ 31. Sechste Fassung der Ähnlichkeitsbedingung.
Um nun jene zwei von diesen auch noch auf die Formen 34), 35) zu bringen, statuiren wir den Hülfssatz: 36)
[Formel 1]
Es soll darin a ein beliebiges Relativ, und b ; 1 nur irgend ein System vorstellen, das also auch durch b ɟ 0 vertreten werden konnte.
Obwol für a = 1αβγ0 ist: a ; 0' · a = 1αβ00, dagegen a ; 0' ɟ 0 = 11100, demnach die beiden Subjekte in 36) differiren, muss dieser Satz doch gelten, und liesse er sich schon zeilenrechnerisch einsehn. Eleganter ist er als L = R so zu beweisen. Wegen a ; 0' · a ⋹ a ; 0' ɟ 0 folgt L aus R, d. h. gilt R ⋹ L a fortiori. Umgekehrt folgt aus L auch (a ; 0')a ; 1 ⋹ b ; 1, was wegen (a ; 0')a ; 1 = a ; 0' ɟ 0, vergl. 30) des § 15, S. 216, in R über- geht, d. h. es gilt auch L ⋹ R, q. e. d.
Nach diesem Schema 36) verwandelt sich nun z. B. γ4 aus 33), ge- schrieben als xă ; 0' · xă ⋹ b̄(= b̄ ; 1), mit Leichtigkeit in xă ; 0' ɟ 0 ⋹ b̄, d. h. in 34) — und konjugirt entsprechend γ2 aus 33) in 34), sowie um- gekehrt, q. e. d. Von 34) aber ist 35) nur eine naheliegende Umformung nach bekannten Sätzen über Systeme.
Sehr beachtenswert ist, dass, während als Relation zwischen den Systemen a und b betrachtet, die Beziehungen γ1 und γ3transitive sind, ein gleiches mit denen γ2 und γ4keineswegs der Fall ist.
Jenes ist mit den a fortiori gültigen Folgerungen: (a ⋹ x̆ ; b)(b ⋹ y̆ ; c) ⋹ (a ⋹ x̆ ; y̆ ; c), = (a ⋹ z̆ ; c) für z = y ; x, (b ⋹ x ; a)(c ⋹ y ; b) ⋹ (c ⋹ y ; x ; a), = (c ⋹ z ; a) „ „ „ sofort analytisch beweisbar, wie es denn auch ohne weitres einleuchtet, dass, wenn zu jedem a (nach einer Vorschrift x) mindestens ein b ge- hört, und zu jedem b (nach einer andern Vorschrift y) mindestens ein c gehört, dann auch zu jedem a (nach beiden Vorschriften zusammen) mindestens ein c gehören müsse.
Ersetzt man hierin das Wort „mindestens“ durchweg durch „höchstens“, so findet vielleicht Mancher den Satz ganz ebenso einleuchtend. Dennoch hat die rhetorische Evidenz hierbei nur irre geführt (es können nämlich zu solchen a, zu denen — als „höchstens ein“ — kein b gehört, vielmehr direkt doch beliebig viele c gehören!). Auch lässt sich zeigen, dass ein Schluss von (x ; 0'a ɟ 0 ⋹ b̄)(y ; 0'b ɟ 0 ⋹ c̄) auf z ; 0'a ɟ 0 ⋹ c̄ weder mit z = y ; x, noch mit sonst einem z, zwingend sein kann, indem die fragliche Konklusion ja eine Resultante der Elimination von b aus den Prämissen sein müsste. Eine solche ist aber gar nicht vorhanden, weil die Prämissen sich für b = 0 als stets erfüllt erweisen. Die Konklusion müsste sonach als eine Relation nichtssagend sein, m. a. W. für beliebige a, c und z wie eine allgemeine Formel gelten, was leicht als absurd zu erkennen.
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[619/0633]
§ 31. Sechste Fassung der Ähnlichkeitsbedingung.
Um nun jene zwei von diesen auch noch auf die Formen 34), 35) zu
bringen, statuiren wir den Hülfssatz:
36) [FORMEL]
Es soll darin a ein beliebiges Relativ, und b ; 1 nur irgend ein System
vorstellen, das also auch durch b ɟ 0 vertreten werden konnte.
Obwol für a = 1αβγ0 ist: a ; 0' · a = 1αβ00, dagegen a ; 0' ɟ 0 = 11100,
demnach die beiden Subjekte in 36) differiren, muss dieser Satz doch gelten,
und liesse er sich schon zeilenrechnerisch einsehn. Eleganter ist er als
L = R so zu beweisen. Wegen a ; 0' · a ⋹ a ; 0' ɟ 0 folgt L aus R, d. h.
gilt R ⋹ L a fortiori. Umgekehrt folgt aus L auch (a ; 0')a ; 1 ⋹ b ; 1,
was wegen (a ; 0')a ; 1 = a ; 0' ɟ 0, vergl. 30) des § 15, S. 216, in R über-
geht, d. h. es gilt auch L ⋹ R, q. e. d.
Nach diesem Schema 36) verwandelt sich nun z. B. γ4 aus 33), ge-
schrieben als xă ; 0' · xă ⋹ b̄(= b̄ ; 1), mit Leichtigkeit in xă ; 0' ɟ 0 ⋹ b̄,
d. h. in 34) — und konjugirt entsprechend γ2 aus 33) in 34), sowie um-
gekehrt, q. e. d. Von 34) aber ist 35) nur eine naheliegende Umformung
nach bekannten Sätzen über Systeme.
Sehr beachtenswert ist, dass, während als Relation zwischen den
Systemen a und b betrachtet, die Beziehungen γ1 und γ3 transitive
sind, ein gleiches mit denen γ2 und γ4 keineswegs der Fall ist.
Jenes ist mit den a fortiori gültigen Folgerungen:
(a ⋹ x̆ ; b)(b ⋹ y̆ ; c) ⋹ (a ⋹ x̆ ; y̆ ; c), = (a ⋹ z̆ ; c) für z = y ; x,
(b ⋹ x ; a)(c ⋹ y ; b) ⋹ (c ⋹ y ; x ; a), = (c ⋹ z ; a) „ „ „
sofort analytisch beweisbar, wie es denn auch ohne weitres einleuchtet,
dass, wenn zu jedem a (nach einer Vorschrift x) mindestens ein b ge-
hört, und zu jedem b (nach einer andern Vorschrift y) mindestens ein c
gehört, dann auch zu jedem a (nach beiden Vorschriften zusammen)
mindestens ein c gehören müsse.
Ersetzt man hierin das Wort „mindestens“ durchweg durch „höchstens“,
so findet vielleicht Mancher den Satz ganz ebenso einleuchtend. Dennoch
hat die rhetorische Evidenz hierbei nur irre geführt (es können nämlich
zu solchen a, zu denen — als „höchstens ein“ — kein b gehört, vielmehr
direkt doch beliebig viele c gehören!). Auch lässt sich zeigen, dass ein
Schluss von
(x ; 0'a ɟ 0 ⋹ b̄)(y ; 0'b ɟ 0 ⋹ c̄) auf z ; 0'a ɟ 0 ⋹ c̄
weder mit z = y ; x, noch mit sonst einem z, zwingend sein kann, indem
die fragliche Konklusion ja eine Resultante der Elimination von b aus den
Prämissen sein müsste. Eine solche ist aber gar nicht vorhanden, weil die
Prämissen sich für b = 0 als stets erfüllt erweisen. Die Konklusion müsste
sonach als eine Relation nichtssagend sein, m. a. W. für beliebige a, c
und z wie eine allgemeine Formel gelten, was leicht als absurd zu erkennen.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 619. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/633>, abgerufen am 17.05.2024.
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