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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Zwölfte Vorlesung.

Mit Rücksicht auf die Definition (1) der Gleichheit ist der nächste
Satz, D 28, sodann ein ganz nahe liegendes Korollar des vorhergehenden.

Die Voraussetzungen c + d a, etc. dürfen hierbei nicht unterdrückt
werden, denn da die z-Bilder für alle ausserhalb a befindlichen Elemente
(wegen z ; an = 0) verschwinden, so bräuchte in der That ein dem a nicht
angehöriger Teil von c durchaus nicht in d enthalten zu sein.

Anders beim nächsten Satze, weil da die z-Bilder der ausserhalb a
befindlichen Teilsysteme von c, d, cd, ... ohnehin wegfallen:
30) D 29. z ; cd .. = z ; c · z ; d ..., z ; cd .. = z ; c · z ; d ...
Diese Gleichungen verstehen sich als vorwärtige Subsumtionen nach 5)
des § 6 ohnehin.

Um sie als rückwärtige zu beweisen, kann man mit Dedekind
überlegen:

Jedes Element von z ; c · z ; d ... ist jedenfalls in z ; a enthalten, also
das Bild k = z ; h eines in a enthaltnen Elements h. Da aber z ; h gemein-
sames Element von z ; c und z ; d, .., so muss nach 28) h gemeinsames
Element von c und d, .. sein. Mithin ist jedes Element k von z ; c · z ; d ...
das z-Bild eines Elementes h von cd .., also Element von z ; cd .. -- q. e. d.

Zweifellos würden sich für die drei letzten Sätze mit vorangeschriebnem
P nach c, d, .. auch noch andre analytische Beweise, die, statt auf die
Elemente zu argumentiren, mehr rechnerisch zuwerke gingen, liefern lassen.

Mit 30) erscheint eine Bemerkung auf S. 354 oben gerechtfertigt.

Der Satz D 30 statuirt blos, dass die identische Abbildung eines
Systems a auch eine ähnliche Abbildung desselben sei -- und ist für
uns nicht minder selbstverständlich.

In b hinein ist eine solche jedoch nur möglich soferne a b ist.

Ist a b und das Abbildungsprinzip z durch die normalen Be-
dingungen (17) charakterisirt, so darf man überhaupt von jeder der
nachfolgend im Überblick zusammengestellten Relationen Gebrauch
machen:
31) [Formel 1]

Zwölfte Vorlesung.

Mit Rücksicht auf die Definition (1) der Gleichheit ist der nächste
Satz, D 28, sodann ein ganz nahe liegendes Korollar des vorhergehenden.

Die Voraussetzungen c + d ⋹ a, etc. dürfen hierbei nicht unterdrückt
werden, denn da die z-Bilder für alle ausserhalb a befindlichen Elemente
(wegen z ; ā = 0) verschwinden, so bräuchte in der That ein dem a nicht
angehöriger Teil von c durchaus nicht in d enthalten zu sein.

Anders beim nächsten Satze, weil da die z-Bilder der ausserhalb a
befindlichen Teilsysteme von c, d, cd, … ohnehin wegfallen:
30) D 29. z ; cd ‥ = z ; c · z ; d …, z̆ ; cd ‥ = z̆ ; c · z̆ ; d …
Diese Gleichungen verstehen sich als vorwärtige Subsumtionen nach 5)
des § 6 ohnehin.

Um sie als rückwärtige zu beweisen, kann man mit Dedekind
überlegen:

Jedes Element von z ; c · z ; d … ist jedenfalls in z ; a enthalten, also
das Bild k = z ; h eines in a enthaltnen Elements h. Da aber z ; h gemein-
sames Element von z ; c und z ; d, ‥, so muss nach 28) h gemeinsames
Element von c und d, ‥ sein. Mithin ist jedes Element k von z ; c · z ; d …
das z-Bild eines Elementes h von cd ‥, also Element von z ; cd ‥ — q. e. d.

Zweifellos würden sich für die drei letzten Sätze mit vorangeschriebnem
Π nach c, d, ‥ auch noch andre analytische Beweise, die, statt auf die
Elemente zu argumentiren, mehr rechnerisch zuwerke gingen, liefern lassen.

Mit 30) erscheint eine Bemerkung auf S. 354 oben gerechtfertigt.

Der Satz D 30 statuirt blos, dass die identische Abbildung eines
Systems a auch eine ähnliche Abbildung desselben sei — und ist für
uns nicht minder selbstverständlich.

In b hinein ist eine solche jedoch nur möglich soferne a ⋹ b ist.

Ist a ∽ b und das Abbildungsprinzip z durch die normalen Be-
dingungen (17) charakterisirt, so darf man überhaupt von jeder der
nachfolgend im Überblick zusammengestellten Relationen Gebrauch
machen:
31) [Formel 1] 

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[616/0630] Zwölfte Vorlesung. Mit Rücksicht auf die Definition (1) der Gleichheit ist der nächste Satz, D 28, sodann ein ganz nahe liegendes Korollar des vorhergehenden. Die Voraussetzungen c + d ⋹ a, etc. dürfen hierbei nicht unterdrückt werden, denn da die z-Bilder für alle ausserhalb a befindlichen Elemente (wegen z ; ā = 0) verschwinden, so bräuchte in der That ein dem a nicht angehöriger Teil von c durchaus nicht in d enthalten zu sein. Anders beim nächsten Satze, weil da die z-Bilder der ausserhalb a befindlichen Teilsysteme von c, d, cd, … ohnehin wegfallen: 30) D 29. z ; cd ‥ = z ; c · z ; d …, z̆ ; cd ‥ = z̆ ; c · z̆ ; d … Diese Gleichungen verstehen sich als vorwärtige Subsumtionen nach 5) des § 6 ohnehin. Um sie als rückwärtige zu beweisen, kann man mit Dedekind überlegen: Jedes Element von z ; c · z ; d … ist jedenfalls in z ; a enthalten, also das Bild k = z ; h eines in a enthaltnen Elements h. Da aber z ; h gemein- sames Element von z ; c und z ; d, ‥, so muss nach 28) h gemeinsames Element von c und d, ‥ sein. Mithin ist jedes Element k von z ; c · z ; d … das z-Bild eines Elementes h von cd ‥, also Element von z ; cd ‥ — q. e. d. Zweifellos würden sich für die drei letzten Sätze mit vorangeschriebnem Π nach c, d, ‥ auch noch andre analytische Beweise, die, statt auf die Elemente zu argumentiren, mehr rechnerisch zuwerke gingen, liefern lassen. Mit 30) erscheint eine Bemerkung auf S. 354 oben gerechtfertigt. Der Satz D 30 statuirt blos, dass die identische Abbildung eines Systems a auch eine ähnliche Abbildung desselben sei — und ist für uns nicht minder selbstverständlich. In b hinein ist eine solche jedoch nur möglich soferne a ⋹ b ist. Ist a ∽ b und das Abbildungsprinzip z durch die normalen Be- dingungen (17) charakterisirt, so darf man überhaupt von jeder der nachfolgend im Überblick zusammengestellten Relationen Gebrauch machen: 31) [FORMEL]

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 616. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/630>, abgerufen am 17.05.2024.