Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 31. Fortsetzung — mit Dedekind’schen Sätzen.

eindeutigen Abbildung hervorthut, darein verlegt: dass verschiednen
Elementen von a stets verschiedne Bilder entsprechen sollen, folglich
— wie apagogisch einzusehn: die Gleichheit der Bilder zweier Elemente h, k
von a stets die Identität dieser Elemente nach sich zieht.

Indem wir auch dies formuliren, erhalten wir den Satz:
27) Π_{h k}{(h + k ⋹ a)(z ; h = z ; k) ⋹ (h = k)},
also nach ψ) des § 30:
Π_{h k}[a_ha_k{(z̄̆ ɟ z)(z̆ ɟ z̄)}_{h k} ⋹ 1'_{h k}] = Π_{h k}{ā_{h k} + ā_{k h} + (z̆ ; z̄ + z̄̆ ; z)_{h k} + 1'_{h k}} =
= 0 ɟ (ā + ā̆ + z̆ ; z̄ + z̄̆ ; z + 1') ɟ 0 = ā̆ ɟ (z̆ ; z̄ + z̄̆ ; z + 1') ɟ ā = (a ; 1 ; ă ⋹ z̆ ; z̄ + z̄̆ ; z + 1').

Es erscheint mithin:
27_α) 0'aă ɟ z̆ ; z̄ + z̄̆ ; z
als die konziseste Einkleidung in die Zeichensprache unsrer Algebra
für die oben aufgestellte Forderung. Blos mit z ; h ⋹ z ; k als zweiter
Prämisse gilt sogar 27) — cf. χ) des § 30 — schon als
27_β) 0'aă ⋹ z̆ ; z̄.
Diese Relation kann dann noch — wie weiter unten bei 31) zu finden —
mit der durch Konversion aus ihr hervorgehenden 0'aă ⋹ z̄̆ ; z ver-
einigt werden, und wie für a und z mit 27, ‥ 27_β), so werden auch in
b und z̆ drei analoge Formeln gelten.

Da wir eine etwas andre Fassung der Ähnlichkeitsdefinition zu-
grunde gelegt haben, so müssen wir nun aus der unsrigen den Satz 27_β)
beweisen, mit dem die zwei vorhergehenden a fortiori gegeben sind.

Dies geht sehr leicht wie folgt. Aus der Identität 0'aă ⋹ 0'a
geht durch Einsetzung rechterhand von a = z̆ ; 1 = z̆ ; (z̄ + z) aus 25_α)
hervor:
0'aă ⋹ 0' · (z̆ ; z̄ + z̆ ; z),
wo nun wegen z̆ ; z ⋹ 1' das letzte Glied wegfällt, und im verbleiben-
den ersten rechts der Faktor 0' als selbstverständlich unterdrückbar
ist — q. e. d. Aufgrund von 27) aber können wir nun auch die Sätze
D 27 bis 30 in Dedekind’s Argumentation erledigen.

Unter c = c ; 1, d = d ; 1 Systeme verstanden, ist
28) D 27. (c + d ⋹ a)(z ; c ⋹ z ; d) ⋹ (c ⋹ d), (c + d ⋹ b)(z̆ ; c ⋹ z̆ ; d) ⋹ (c ⋹ d),
29) D 28. (c + d ⋹ a)(z ; c = z ; d) ⋹ (c = d), (c + d ⋹ b)(z̆ ; c = z̆ ; d) ⋹ (c = d)
für uns der Ausdruck der beiden erstgenannten.

Beweis zu 28). Denn wenn h ein Element von c also auch von a
ist, so ist z ; h ein Element von z ; c also auch von z ; d, mithin = z ; k,
wo k ein Element von d also auch von a ist. Da aber aus z ; h = z ; k
nach 27) immer h = k folgt, so ist jedes Element h von c auch Element
von d, wie zu beweisen war.