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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 31. Fortsetzung -- mit Dedekind'schen Sätzen.
eindeutigen Abbildung hervorthut, darein verlegt: dass verschiednen
Elementen von a stets verschiedne Bilder entsprechen sollen, folglich
-- wie apagogisch einzusehn: die Gleichheit der Bilder zweier Elemente h, k
von a stets die Identität dieser Elemente nach sich zieht.

Indem wir auch dies formuliren, erhalten wir den Satz:
27) Ph k{(h + k a)(z ; h = z ; k) (h = k)},
also nach ps) des § 30:
Ph k[ahak{(zn j z)(z j zn)}h k 1'h k] = Ph k{anh k + ank h + (z ; zn + zn ; z)h k + 1'h k} =
= 0 j (an + an + z ; zn + zn ; z + 1') j 0 = an j (z ; zn + zn ; z + 1') j an = (a ; 1 ; a z ; zn + zn ; z + 1').

Es erscheint mithin:
27a) 0'aa j z ; zn + zn ; z
als die konziseste Einkleidung in die Zeichensprache unsrer Algebra
für die oben aufgestellte Forderung. Blos mit z ; h z ; k als zweiter
Prämisse gilt sogar 27) -- cf. kh) des § 30 -- schon als
27b) 0'aa z ; zn.
Diese Relation kann dann noch -- wie weiter unten bei 31) zu finden --
mit der durch Konversion aus ihr hervorgehenden 0'aa zn ; z ver-
einigt werden, und wie für a und z mit 27, .. 27b), so werden auch in
b und z drei analoge Formeln gelten.

Da wir eine etwas andre Fassung der Ähnlichkeitsdefinition zu-
grunde gelegt haben, so müssen wir nun aus der unsrigen den Satz 27b)
beweisen, mit dem die zwei vorhergehenden a fortiori gegeben sind.

Dies geht sehr leicht wie folgt. Aus der Identität 0'aa 0'a
geht durch Einsetzung rechterhand von a = z ; 1 = z ; (zn + z) aus 25a)
hervor:
0'aa 0' · (z ; zn + z ; z),
wo nun wegen z ; z 1' das letzte Glied wegfällt, und im verbleiben-
den ersten rechts der Faktor 0' als selbstverständlich unterdrückbar
ist -- q. e. d. Aufgrund von 27) aber können wir nun auch die Sätze
D 27 bis 30 in Dedekind's Argumentation erledigen.

Unter c = c ; 1, d = d ; 1 Systeme verstanden, ist
28) D 27. (c + d a)(z ; c z ; d) (c d), (c + d b)(z ; c z ; d) (c d),
29) D 28. (c + d a)(z ; c = z ; d) (c = d), (c + d b)(z ; c = z ; d) (c = d)
für uns der Ausdruck der beiden erstgenannten.

Beweis zu 28). Denn wenn h ein Element von c also auch von a
ist, so ist z ; h ein Element von z ; c also auch von z ; d, mithin = z ; k,
wo k ein Element von d also auch von a ist. Da aber aus z ; h = z ; k
nach 27) immer h = k folgt, so ist jedes Element h von c auch Element
von d, wie zu beweisen war.


§ 31. Fortsetzung — mit Dedekind’schen Sätzen.
eindeutigen Abbildung hervorthut, darein verlegt: dass verschiednen
Elementen von a stets verschiedne Bilder entsprechen sollen, folglich
— wie apagogisch einzusehn: die Gleichheit der Bilder zweier Elemente h, k
von a stets die Identität dieser Elemente nach sich zieht.

Indem wir auch dies formuliren, erhalten wir den Satz:
27) Πh k{(h + k ⋹ a)(z ; h = z ; k) ⋹ (h = k)},
also nach ψ) des § 30:
Πh k[ahak{(z̄̆ ɟ z)(z̆ ɟ z̄)}h k ⋹ 1'h k] = Πh k{āh k + āk h + (z̆ ; z̄ + z̄̆ ; z)h k + 1'h k} =
= 0 ɟ (ā + ā̆ + z̆ ; z̄ + z̄̆ ; z + 1') ɟ 0 = ā̆ ɟ (z̆ ; z̄ + z̄̆ ; z + 1') ɟ ā = (a ; 1 ; ă ⋹ z̆ ; z̄ + z̄̆ ; z + 1').

Es erscheint mithin:
27α) 0'aă ɟ z̆ ; z̄ + z̄̆ ; z
als die konziseste Einkleidung in die Zeichensprache unsrer Algebra
für die oben aufgestellte Forderung. Blos mit z ; h ⋹ z ; k als zweiter
Prämisse gilt sogar 27) — cf. χ) des § 30 — schon als
27β) 0'aă ⋹ z̆ ; z̄.
Diese Relation kann dann noch — wie weiter unten bei 31) zu finden —
mit der durch Konversion aus ihr hervorgehenden 0'aă ⋹ z̄̆ ; z ver-
einigt werden, und wie für a und z mit 27, ‥ 27β), so werden auch in
b und z̆ drei analoge Formeln gelten.

Da wir eine etwas andre Fassung der Ähnlichkeitsdefinition zu-
grunde gelegt haben, so müssen wir nun aus der unsrigen den Satz 27β)
beweisen, mit dem die zwei vorhergehenden a fortiori gegeben sind.

Dies geht sehr leicht wie folgt. Aus der Identität 0'aă ⋹ 0'a
geht durch Einsetzung rechterhand von a = z̆ ; 1 = z̆ ; (z̄ + z) aus 25α)
hervor:
0'aă ⋹ 0' · (z̆ ; z̄ + z̆ ; z),
wo nun wegen z̆ ; z ⋹ 1' das letzte Glied wegfällt, und im verbleiben-
den ersten rechts der Faktor 0' als selbstverständlich unterdrückbar
ist — q. e. d. Aufgrund von 27) aber können wir nun auch die Sätze
D 27 bis 30 in Dedekind’s Argumentation erledigen.

Unter c = c ; 1, d = d ; 1 Systeme verstanden, ist
28) D 27. (c + d ⋹ a)(z ; c ⋹ z ; d) ⋹ (c ⋹ d), (c + d ⋹ b)(z̆ ; c ⋹ z̆ ; d) ⋹ (c ⋹ d),
29) D 28. (c + d ⋹ a)(z ; c = z ; d) ⋹ (c = d), (c + d ⋹ b)(z̆ ; c = z̆ ; d) ⋹ (c = d)
für uns der Ausdruck der beiden erstgenannten.

Beweis zu 28). Denn wenn h ein Element von c also auch von a
ist, so ist z ; h ein Element von z ; c also auch von z ; d, mithin = z ; k,
wo k ein Element von d also auch von a ist. Da aber aus z ; h = z ; k
nach 27) immer h = k folgt, so ist jedes Element h von c auch Element
von d, wie zu beweisen war.


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[615/0629] § 31. Fortsetzung — mit Dedekind’schen Sätzen. eindeutigen Abbildung hervorthut, darein verlegt: dass verschiednen Elementen von a stets verschiedne Bilder entsprechen sollen, folglich — wie apagogisch einzusehn: die Gleichheit der Bilder zweier Elemente h, k von a stets die Identität dieser Elemente nach sich zieht. Indem wir auch dies formuliren, erhalten wir den Satz: 27) Πh k{(h + k ⋹ a)(z ; h = z ; k) ⋹ (h = k)}, also nach ψ) des § 30: Πh k[ahak{(z̄̆ ɟ z)(z̆ ɟ z̄)}h k ⋹ 1'h k] = Πh k{āh k + āk h + (z̆ ; z̄ + z̄̆ ; z)h k + 1'h k} = = 0 ɟ (ā + ā̆ + z̆ ; z̄ + z̄̆ ; z + 1') ɟ 0 = ā̆ ɟ (z̆ ; z̄ + z̄̆ ; z + 1') ɟ ā = (a ; 1 ; ă ⋹ z̆ ; z̄ + z̄̆ ; z + 1'). Es erscheint mithin: 27α) 0'aă ɟ z̆ ; z̄ + z̄̆ ; z als die konziseste Einkleidung in die Zeichensprache unsrer Algebra für die oben aufgestellte Forderung. Blos mit z ; h ⋹ z ; k als zweiter Prämisse gilt sogar 27) — cf. χ) des § 30 — schon als 27β) 0'aă ⋹ z̆ ; z̄. Diese Relation kann dann noch — wie weiter unten bei 31) zu finden — mit der durch Konversion aus ihr hervorgehenden 0'aă ⋹ z̄̆ ; z ver- einigt werden, und wie für a und z mit 27, ‥ 27β), so werden auch in b und z̆ drei analoge Formeln gelten. Da wir eine etwas andre Fassung der Ähnlichkeitsdefinition zu- grunde gelegt haben, so müssen wir nun aus der unsrigen den Satz 27β) beweisen, mit dem die zwei vorhergehenden a fortiori gegeben sind. Dies geht sehr leicht wie folgt. Aus der Identität 0'aă ⋹ 0'a geht durch Einsetzung rechterhand von a = z̆ ; 1 = z̆ ; (z̄ + z) aus 25α) hervor: 0'aă ⋹ 0' · (z̆ ; z̄ + z̆ ; z), wo nun wegen z̆ ; z ⋹ 1' das letzte Glied wegfällt, und im verbleiben- den ersten rechts der Faktor 0' als selbstverständlich unterdrückbar ist — q. e. d. Aufgrund von 27) aber können wir nun auch die Sätze D 27 bis 30 in Dedekind’s Argumentation erledigen. Unter c = c ; 1, d = d ; 1 Systeme verstanden, ist 28) D 27. (c + d ⋹ a)(z ; c ⋹ z ; d) ⋹ (c ⋹ d), (c + d ⋹ b)(z̆ ; c ⋹ z̆ ; d) ⋹ (c ⋹ d), 29) D 28. (c + d ⋹ a)(z ; c = z ; d) ⋹ (c = d), (c + d ⋹ b)(z̆ ; c = z̆ ; d) ⋹ (c = d) für uns der Ausdruck der beiden erstgenannten. Beweis zu 28). Denn wenn h ein Element von c also auch von a ist, so ist z ; h ein Element von z ; c also auch von z ; d, mithin = z ; k, wo k ein Element von d also auch von a ist. Da aber aus z ; h = z ; k nach 27) immer h = k folgt, so ist jedes Element h von c auch Element von d, wie zu beweisen war.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 615. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/629>, abgerufen am 23.11.2024.