Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Zwölfte Vorlesung.

Form (10) — erleichtert alle Beweisführungen für die Sätze, die wir jetzt
aufzustellen haben.

Als ein erstes Korollar zu (17) resp. (10) haben wir den Satz:
18) a ∽ a
d. h. Jedes System ist sich selber ähnlich, m. a. W. die Beziehung der
Ähnlichkeit gehört zu den selbstrelativischen.

Beweis aus (10) durch den Hinweis darauf, dass für b = a schon
die identische Abbildung z = 1' den Bedingungen der Ähnlichkeitsdefinition
genügt, q. e. d.

Behufs Beweises aus (17) muss die eben erwähnte schlechtweg (oder
im absoluten Sinne) „identische“ Abbildung ersetzt werden durch eine (in
relativem Sinne nämlich blos) „binnen a identische“ Abbildung z = a1' =
= ă1' = ăa1', und hat man nachzusehen, dass sowol a = ă1' ; a = a1' ; a =
= a · 1' ; a = aa = a, als auch ă1' ; a1' = a1' ; ă1' = a · 1' ; 1' · ă = a1'ă ⋹ 1'
identisch ist, während auch die Adventivforderung ăa1' ⋹ ăa sich augen-
scheinlich erfüllt.

Als zweites Korollar gilt der Satz:
19) (a ∽ b) = (b ∽ a)
d. h. die Ähnlichkeit ist eine symmetrische sive gegenseitige Beziehung.
Wenn a ähnlich b ist, so muss auch b ähnlich a sein und umgekehrt
Dieser Umstand gibt uns erst das Recht zu sagen: die Systeme a und b
seien „einander ähnlich“.

Zum Beweise genügt die Wahrnehmung, dass die rechte Seite von
(10) oder (17), und zwar zunächst das Aussagenprodukt, welches das all-
gemeine Glied der Summe nach z ebenda bildet, nur in sich selbst über-
geht, wenn man a mit b und zugleich z mit z̆ vertauscht. Der erste Aus-
sagenfaktor, der das Abbildungsprinzip z charakterisirt, geht durch letztere
Vertauschung nur in sich selbst über. Der zweite und dritte Aussagen-
faktor wechselt den Platz. Bei (17) geht die vierte zur Charakterisirung
des z hinzugekommne (adventive) Faktoraussage in die beiderseits konver-
tirte und damit äquivalente über.

Freilich verkehrt sich aber die Σ nach z in eine solche nach z̆. Dies
muss indessen irrelevant sein. Denn wenn es einen Wert, ein Relativ gibt,
welches irgend eine für z stipulirte Forderung erfüllt, so muss es auch
— in Gestalt von dessen Konversem — ein Relativ geben, welches eben-
diese für z̆ formulirt gedachte Forderung erfüllt. [Jede Bedingung für z
kann ja — indem man z = w̆, z̆ = w nennt — auch angesehen werden
als eine Bedingung (für w, mithin) für z̆.]

D 33. Satz. Die Ähnlichkeit ist auch eine transitive Beziehung,
m. a. W. Sind a, b ähnliche Systeme, so ist jedes mit b ähnliche System
auch mit a ähnlich:
20) (a ∽ b)(b ∽ c) ⋹ (a ∽ c),

Ähnliches mit Ähnlichem ist Ähnliches.