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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 31. Sätze über ähnliche Systeme.

Beweis. Dass -- im Hinblick auf (17):
[Formel 1] sein müsse, folgt durch die Wahrnehmung, dass unter den linkseitigen
Voraussetzungen gewiss
z = y ; x, z = x ; y
den Forderungen rechterhand genügt, und zwar der ersten, wie implicite
schon im § 30 gezeigt ist, hier aber mit:
y ; x ; x ; y + x ; y ; y ; x y ; 1' ; y + x ; 1' ; x = y ; y + x ; x 1'
nochmals gezeigt werden mag; den beiden folgenden mit c = y ; x ; a und
a = x ; y ; c, wie durch Einsetzung, Elimination von b aus den Prämissen-
gleichungen ersichtlich; endlich der letzten, adventiven, mit y ; x ac, weil
aus y c, x a folgt: y ; x c ; a = ca, q. e. d.

Diese letzte Betrachtung, gleichwie die Mitanführung der drei adven-
tiven Forderungen, konnte bei Berufung auf (10) statt (17) auch (wenn
man will) gespart werden. --

Versucht man jedoch, den Transitivitätsbeweis auf eine der übrigen
Fassungen der Ähnlichkeitsdefinition zu gründen -- einschliesslich einer
weiter unten gegebnen (39) -- so stösst man auf grosse Schwierigkeiten.

Leicht zwar sind für das Abbildungsprinzip z, das als y ; x aus den
beiden in unsern Prämissen vorausgesetzten Abbildungsprinzipien sich zu-
sammensetzt, wiederum die beiden Forderungen als erfüllt nachzuweisen,
welche in solchem Falle die obigen Gleichungen oder Subsumtionen c z ; a
und a z ; c vertreten. Dagegen gelingt solches zumeist nicht für den-
jenigen Teil der resultirenden Ähnlichkeitsbedingung, welcher als die
Charakteristik dieses zusammengesetzten Abbildungsprinzips erwartet werden
sollte und dann die Stelle "der Forderung A2A4 mitnebst der Adventiv-
forderung in unsrer Normalform der Ähnlichkeitsbedingung" vertreten wird.

Dies kann nur daran liegen, dass das "externe Verhalten" des z = y ; x
inbezug auf a und c nicht von derselben Art ist, wie das für x inbezug
auf a und b sowie das für y inbezug auf b und c vorausgesetzte -- ein
Umstand, der wol verdiente in ferneren Forschungen noch eingehender
verfolgt und völlig aufgehellt zu werden. --

Der hier von uns zu 20) gegebne Beweis unterscheidet sich nicht un-
wesentlich von Dedekind's Gedankengang bei seinem Beweise zu D 33
aufgrund des die Zusammensetzung zweier ähnlichen Abbildungen zu einer
dritten statuirenden Satzes D 31 -- wo er auf die Elemente argumentirend
vorgeht. Auf diesen kommen wir, nachdem wir etwas weiter ausgeholt
haben werden, weiter unten S. 621 zurück.

Wir dürfen nun im Fall des Erfülltseins der Prämissen von 20)
auch die drei Systeme a, b, c einander ähnlich nennen. Und durch
eine Wiederholung der Schlüsse, wie sie inbezug auf Gleichungen ge-
läufig sind, für unsre Ähnlichsprechungen oder Ähnlichkeitsbehaup-

Schröder, Algebra der Relative. 39
§ 31. Sätze über ähnliche Systeme.

Beweis. Dass — im Hinblick auf (17):
[Formel 1] sein müsse, folgt durch die Wahrnehmung, dass unter den linkseitigen
Voraussetzungen gewiss
z = y ; x, z̆ = x̆ ; y̆
den Forderungen rechterhand genügt, und zwar der ersten, wie implicite
schon im § 30 gezeigt ist, hier aber mit:
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nochmals gezeigt werden mag; den beiden folgenden mit c = y ; x ; a und
a = x̆ ; y̆ ; c, wie durch Einsetzung, Elimination von b aus den Prämissen-
gleichungen ersichtlich; endlich der letzten, adventiven, mit y ; x ⋹ ăc, weil
aus y ⋹ c, x ⋹ ă folgt: y ; x ⋹ c ; ă = că, q. e. d.

Diese letzte Betrachtung, gleichwie die Mitanführung der drei adven-
tiven Forderungen, konnte bei Berufung auf (10) statt (17) auch (wenn
man will) gespart werden. —

Versucht man jedoch, den Transitivitätsbeweis auf eine der übrigen
Fassungen der Ähnlichkeitsdefinition zu gründen — einschliesslich einer
weiter unten gegebnen (39) — so stösst man auf grosse Schwierigkeiten.

Leicht zwar sind für das Abbildungsprinzip z, das als y ; x aus den
beiden in unsern Prämissen vorausgesetzten Abbildungsprinzipien sich zu-
sammensetzt, wiederum die beiden Forderungen als erfüllt nachzuweisen,
welche in solchem Falle die obigen Gleichungen oder Subsumtionen c ⋹ z ; a
und a ⋹ z̆ ; c vertreten. Dagegen gelingt solches zumeist nicht für den-
jenigen Teil der resultirenden Ähnlichkeitsbedingung, welcher als die
Charakteristik dieses zusammengesetzten Abbildungsprinzips erwartet werden
sollte und dann die Stelle „der Forderung A2A4 mitnebst der Adventiv-
forderung in unsrer Normalform der Ähnlichkeitsbedingung“ vertreten wird.

Dies kann nur daran liegen, dass das „externe Verhalten“ des z = y ; x
inbezug auf a und c nicht von derselben Art ist, wie das für x inbezug
auf a und b sowie das für y inbezug auf b und c vorausgesetzte — ein
Umstand, der wol verdiente in ferneren Forschungen noch eingehender
verfolgt und völlig aufgehellt zu werden. —

Der hier von uns zu 20) gegebne Beweis unterscheidet sich nicht un-
wesentlich von Dedekind’s Gedankengang bei seinem Beweise zu D 33
aufgrund des die Zusammensetzung zweier ähnlichen Abbildungen zu einer
dritten statuirenden Satzes D 31 — wo er auf die Elemente argumentirend
vorgeht. Auf diesen kommen wir, nachdem wir etwas weiter ausgeholt
haben werden, weiter unten S. 621 zurück.

Wir dürfen nun im Fall des Erfülltseins der Prämissen von 20)
auch die drei Systeme a, b, c einander ähnlich nennen. Und durch
eine Wiederholung der Schlüsse, wie sie inbezug auf Gleichungen ge-
läufig sind, für unsre Ähnlichsprechungen oder Ähnlichkeitsbehaup-

Schröder, Algebra der Relative. 39
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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 609. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/623>, abgerufen am 17.05.2024.