§ 31. Engste Fassung (Normalform) der Ähnlichkeitsbedingung.
16) zab oder z = abz, und z ; an = 0, z ; bn = 0 -- sintemal letztres nach dem ersten Inversionstheoreme auf z 0 j a = a, z 0 j b = b, zb hinausläuft. Noch einfacher kann aber mit za, anz = 0 auch geschlossen werden z ; an = anz ; 1 = 0 ; 1 = 0, etc.
Diese Relationen 16) lassen zwar keineswegs schon aus der rechten Seite von (10) sich ableiten Ein unsrer dritten Fassung (10) ge- nügendes z braucht sie nicht zu erfüllen. Allein, wenn es ein ihr genügendes z überhaupt gibt, so gibt es auch in Gestalt von abz ein solches Relativ welches, wenn einfach z genannt, neben (10) die Re- lation 16) noch obendrein erfüllt. Wir können daher diese Relation 16) in die Ähnlichkeitsbedingung (10) als eine adventive Forderung noch mit aufnehmen, und gelangen zur folgenden "fünften Fassung" der Ähnlichkeitsdefinition D 32: (17)
[Formel 1]
, in der durch die weitestgehenden, maximalen Anforderungen das Ab- bildungsprinzip am meisten eingeschränkt, am engsten gefasst erscheint: als ein solches, welches populär zu reden die Elemente von a und b, und nur diese, einander (irgendwie gegenseitig eindeutig) zuordnet. [Aus dieser Zuordnung müssen alle erdenklichen der gleichen Ein- schränkung unterworfnen Zuordnungen zwischen den Elementen der beiden Systeme durch blosse Permutation der Elemente des einen von ihnen hervorgehn.]
Die Fassung (17) wollen wir die Normalform der Ähnlichkeitsdefini- tion nennen. Man unterscheidet in ihr vier Teilbedingungen, deren erste als die "Charakteristik" des Abbildungsprinzips bezeichnet werden kann, während die letzte eine "Adventivbedingung" dazu vorstellt; die beiden andern mögen die "Hauptbedingungen" heissen.
Aus unsrer Normalform (17) erhellt zugleich: dass dem Begriff der Ähnlichkeit zwischen zwei Systemen a, b keine "Relativität" (im Sinne Hoppe's) zufolge der Bezugnahme auf einen bestimmten, näm- lich den zugrunde gelegten Denkbereich anhaftet. Denn jedem Denk- bereiche 11, in welchem die Ähnlichkeit von a und b auch immer statuirt werden möge, müssen doch die Elemente von a und b selbst zum allerwenigsten angehören, und dem zugehörigen 12 gehören also auch die Systeme a, b sowie deren Konverse an. Da nun unser z in (17) ganz und gar eingeordnet dem Augenquaderrelativ ab ist, so wird es, wenn in irgend einem, so auch in jedem solchen Denkbereiche 12 ein Relativ z geben, das die Bedingungen (17) erfüllt.
Die Bevorzugung der Normalform -- oder manchmal auch schon der
§ 31. Engste Fassung (Normalform) der Ähnlichkeitsbedingung.
16) z⋹ăb oder z = ăbz, und z ; ā = 0, z̆ ; b̄ = 0 — sintemal letztres nach dem ersten Inversionstheoreme auf z ⋹ 0 ɟ ă = ă, z̆ ⋹ 0 ɟ b̆ = b̆, z ⋹ b hinausläuft. Noch einfacher kann aber mit z ⋹ ă, ā̆z = 0 auch geschlossen werden z ; ā = ā̆z ; 1 = 0 ; 1 = 0, etc.
Diese Relationen 16) lassen zwar keineswegs schon aus der rechten Seite von (10) sich ableiten Ein unsrer dritten Fassung (10) ge- nügendes z braucht sie nicht zu erfüllen. Allein, wenn es ein ihr genügendes z überhaupt gibt, so gibt es auch in Gestalt von ăbz ein solches Relativ welches, wenn einfach z genannt, neben (10) die Re- lation 16) noch obendrein erfüllt. Wir können daher diese Relation 16) in die Ähnlichkeitsbedingung (10) als eine adventive Forderung noch mit aufnehmen, und gelangen zur folgenden „fünften Fassung“ der Ähnlichkeitsdefinition D 32: (17)
[Formel 1]
, in der durch die weitestgehenden, maximalen Anforderungen das Ab- bildungsprinzip am meisten eingeschränkt, am engsten gefasst erscheint: als ein solches, welches populär zu reden die Elemente von a und b, und nur diese, einander (irgendwie gegenseitig eindeutig) zuordnet. [Aus dieser Zuordnung müssen alle erdenklichen der gleichen Ein- schränkung unterworfnen Zuordnungen zwischen den Elementen der beiden Systeme durch blosse Permutation der Elemente des einen von ihnen hervorgehn.]
Die Fassung (17) wollen wir die Normalform der Ähnlichkeitsdefini- tion nennen. Man unterscheidet in ihr vier Teilbedingungen, deren erste als die „Charakteristik“ des Abbildungsprinzips bezeichnet werden kann, während die letzte eine „Adventivbedingung“ dazu vorstellt; die beiden andern mögen die „Hauptbedingungen“ heissen.
Aus unsrer Normalform (17) erhellt zugleich: dass dem Begriff der Ähnlichkeit zwischen zwei Systemen a, b keine „Relativität“ (im Sinne Hoppe’s) zufolge der Bezugnahme auf einen bestimmten, näm- lich den zugrunde gelegten Denkbereich anhaftet. Denn jedem Denk- bereiche 11, in welchem die Ähnlichkeit von a und b auch immer statuirt werden möge, müssen doch die Elemente von a und b selbst zum allerwenigsten angehören, und dem zugehörigen 12 gehören also auch die Systeme a, b sowie deren Konverse an. Da nun unser z in (17) ganz und gar eingeordnet dem Augenquaderrelativ ăb ist, so wird es, wenn in irgend einem, so auch in jedem solchen Denkbereiche 12 ein Relativ z geben, das die Bedingungen (17) erfüllt.
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§ 31. Engste Fassung (Normalform) der Ähnlichkeitsbedingung.
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Diese Relationen 16) lassen zwar keineswegs schon aus der rechten
Seite von (10) sich ableiten Ein unsrer dritten Fassung (10) ge-
nügendes z braucht sie nicht zu erfüllen. Allein, wenn es ein ihr
genügendes z überhaupt gibt, so gibt es auch in Gestalt von ăbz ein
solches Relativ welches, wenn einfach z genannt, neben (10) die Re-
lation 16) noch obendrein erfüllt. Wir können daher diese Relation 16)
in die Ähnlichkeitsbedingung (10) als eine adventive Forderung noch
mit aufnehmen, und gelangen zur folgenden „fünften Fassung“ der
Ähnlichkeitsdefinition D 32:
(17) [FORMEL],
in der durch die weitestgehenden, maximalen Anforderungen das Ab-
bildungsprinzip am meisten eingeschränkt, am engsten gefasst erscheint:
als ein solches, welches populär zu reden die Elemente von a und b,
und nur diese, einander (irgendwie gegenseitig eindeutig) zuordnet.
[Aus dieser Zuordnung müssen alle erdenklichen der gleichen Ein-
schränkung unterworfnen Zuordnungen zwischen den Elementen der
beiden Systeme durch blosse Permutation der Elemente des einen von
ihnen hervorgehn.]
Die Fassung (17) wollen wir die Normalform der Ähnlichkeitsdefini-
tion nennen. Man unterscheidet in ihr vier Teilbedingungen, deren erste
als die „Charakteristik“ des Abbildungsprinzips bezeichnet werden kann,
während die letzte eine „Adventivbedingung“ dazu vorstellt; die beiden
andern mögen die „Hauptbedingungen“ heissen.
Aus unsrer Normalform (17) erhellt zugleich: dass dem Begriff
der Ähnlichkeit zwischen zwei Systemen a, b keine „Relativität“ (im
Sinne Hoppe’s) zufolge der Bezugnahme auf einen bestimmten, näm-
lich den zugrunde gelegten Denkbereich anhaftet. Denn jedem Denk-
bereiche 11, in welchem die Ähnlichkeit von a und b auch immer
statuirt werden möge, müssen doch die Elemente von a und b selbst
zum allerwenigsten angehören, und dem zugehörigen 12 gehören also
auch die Systeme a, b sowie deren Konverse an. Da nun unser z in
(17) ganz und gar eingeordnet dem Augenquaderrelativ ăb ist, so wird
es, wenn in irgend einem, so auch in jedem solchen Denkbereiche 12 ein
Relativ z geben, das die Bedingungen (17) erfüllt.
Die Bevorzugung der Normalform — oder manchmal auch schon der
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 607. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/621>, abgerufen am 18.05.2024.
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