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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Zwölfte Vorlesung.
dort (bei Xk h) a = b = 1 genommen hätte. M. a. W.: wenn man die
Verschiedenheit der x-Bilder zu verschiednen der in Betracht kommen-
den Objekte, und der Objekte zu verschiednen der in Betracht kommen-
den x-Bilder, nicht blos für die Elemente von b resp. von a, sondern
für die Elemente des ganzen Denkbereiches von vornherein fordert.
An Stelle von 1) erhalten wir dann:
12) [Formel 1]
und an Stelle von 2) weit einfacher:
13) y = (xn j 1')x(1' j xn),
an Stelle von (4) also als "vierte Fassung" der Ähnlichkeitsbedingung:
(14) [Formel 2] ,
worin das x nun allerdings ein andres, beschränkteres Relativ sein
wird, als das x in den früheren Formeln, jedoch -- in 12) bis 14)
das x auch durchweg mit unserm z identifizirt werden darf. Wir werden
die Formeln so (für z statt x angeschrieben gedacht) zuweilen citiren,
und ist namentlich zu beachten, dass gleichwie die Forderung 12)
-- mit davor geschriebnem [Formel 3] -- sich in die rechte Seite der Ähn-
lichkeitsbedingung (14) oder (10) äquivalent hat umschreiben lassen,
so auch umgekehrt die folgerungen 12) (in z angeschrieben) mittelst
äquivalenter Transformation aus (10) hervorzugehen nicht verfehlen
können.

Zur Entdeckung des Zusammenhanges 11) zwischen y und z, und
damit zur Fassung (10), kann man endlich auch von (5) aus heuristisch
gelangen, indem man über y gewisse "externe" Verfügungen trifft, nämlich
die "adventive" forderung aufstellt: dass die ausserhalb a befindlichen
Elemente des Denkbereichs, die Elemente von an, gar keine y-bilder haben,
sowie die ausserhalb b befindlichen oder Elemente von bn gar keine y-Bilder
sein sollen. Solches drücken die beiden Ansätze aus:
15) Ph{(han) (y ; h = 0)} = 0 j yn j a = (y a),
Pk{(k bn) (yn ; k = 0)} = 0 j yn j b = (y b),
deren Begründung gemäss r) S. 557 mit
Ph{anh (yn j 0)h} = Ph(a + yn j 0)h = 0 j (a + yn j 0) = a j yn j 0,
etc. leicht zu geben ist.

Werden beide Anforderungen gleichzeitig gestellt, so folgt also
yab oder y = aby = z,
d. h. es kann das genannter Auflage unterworfene y als unser z bezeichnet
werden. Für dieses z gilt natürlich dann auch

Zwölfte Vorlesung.
dort (bei Xk h) a = b = 1 genommen hätte. M. a. W.: wenn man die
Verschiedenheit der x-Bilder zu verschiednen der in Betracht kommen-
den Objekte, und der Objekte zu verschiednen der in Betracht kommen-
den x-Bilder, nicht blos für die Elemente von b resp. von a, sondern
für die Elemente des ganzen Denkbereiches von vornherein fordert.
An Stelle von 1) erhalten wir dann:
12) [Formel 1]
und an Stelle von 2) weit einfacher:
13) y = (x̄ ɟ 1')x(1' ɟ x̄),
an Stelle von (4) also als „vierte Fassung“ der Ähnlichkeitsbedingung:
(14) [Formel 2] ,
worin das x nun allerdings ein andres, beschränkteres Relativ sein
wird, als das x in den früheren Formeln, jedoch — in 12) bis 14)
das x auch durchweg mit unserm z identifizirt werden darf. Wir werden
die Formeln so (für z statt x angeschrieben gedacht) zuweilen citiren,
und ist namentlich zu beachten, dass gleichwie die Forderung 12)
— mit davor geschriebnem [Formel 3] — sich in die rechte Seite der Ähn-
lichkeitsbedingung (14) oder (10) äquivalent hat umschreiben lassen,
so auch umgekehrt die folgerungen 12) (in z angeschrieben) mittelst
äquivalenter Transformation aus (10) hervorzugehen nicht verfehlen
können.

Zur Entdeckung des Zusammenhanges 11) zwischen y und z, und
damit zur Fassung (10), kann man endlich auch von (5) aus heuristisch
gelangen, indem man über y gewisse „externe“ Verfügungen trifft, nämlich
die „adventive“ forderung aufstellt: dass die ausserhalb a befindlichen
Elemente des Denkbereichs, die Elemente von ā, gar keine y-bilder haben,
sowie die ausserhalb b befindlichen oder Elemente von b̄ gar keine y-Bilder
sein sollen. Solches drücken die beiden Ansätze aus:
15) Πh{(h⋹ā) ⋹ (y ; h = 0)} = 0 ɟ ȳ ɟ a = (y ⋹ ă),
Πk{(k ⋹ b̄) ⋹ (ȳ ; k = 0)} = 0 ɟ ȳ̆ ɟ b = (y ⋹ b),
deren Begründung gemäss ϱ) S. 557 mit
Πh{āh⋹ (ȳ̆ ɟ 0)h} = Πh(a + ȳ̆ ɟ 0)h = 0 ɟ (a + ȳ̆ ɟ 0) = ă ɟ ȳ̆ ɟ 0,
etc. leicht zu geben ist.

Werden beide Anforderungen gleichzeitig gestellt, so folgt also
y⋹ăb oder y = ăby = z,
d. h. es kann das genannter Auflage unterworfene y als unser z bezeichnet
werden. Für dieses z gilt natürlich dann auch

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[606/0620] Zwölfte Vorlesung. dort (bei Xk h) a = b = 1 genommen hätte. M. a. W.: wenn man die Verschiedenheit der x-Bilder zu verschiednen der in Betracht kommen- den Objekte, und der Objekte zu verschiednen der in Betracht kommen- den x-Bilder, nicht blos für die Elemente von b resp. von a, sondern für die Elemente des ganzen Denkbereiches von vornherein fordert. An Stelle von 1) erhalten wir dann: 12) [FORMEL] und an Stelle von 2) weit einfacher: 13) y = (x̄ ɟ 1')x(1' ɟ x̄), an Stelle von (4) also als „vierte Fassung“ der Ähnlichkeitsbedingung: (14) [FORMEL], worin das x nun allerdings ein andres, beschränkteres Relativ sein wird, als das x in den früheren Formeln, jedoch — in 12) bis 14) das x auch durchweg mit unserm z identifizirt werden darf. Wir werden die Formeln so (für z statt x angeschrieben gedacht) zuweilen citiren, und ist namentlich zu beachten, dass gleichwie die Forderung 12) — mit davor geschriebnem [FORMEL] — sich in die rechte Seite der Ähn- lichkeitsbedingung (14) oder (10) äquivalent hat umschreiben lassen, so auch umgekehrt die folgerungen 12) (in z angeschrieben) mittelst äquivalenter Transformation aus (10) hervorzugehen nicht verfehlen können. Zur Entdeckung des Zusammenhanges 11) zwischen y und z, und damit zur Fassung (10), kann man endlich auch von (5) aus heuristisch gelangen, indem man über y gewisse „externe“ Verfügungen trifft, nämlich die „adventive“ forderung aufstellt: dass die ausserhalb a befindlichen Elemente des Denkbereichs, die Elemente von ā, gar keine y-bilder haben, sowie die ausserhalb b befindlichen oder Elemente von b̄ gar keine y-Bilder sein sollen. Solches drücken die beiden Ansätze aus: 15) Πh{(h⋹ā) ⋹ (y ; h = 0)} = 0 ɟ ȳ ɟ a = (y ⋹ ă), Πk{(k ⋹ b̄) ⋹ (ȳ ; k = 0)} = 0 ɟ ȳ̆ ɟ b = (y ⋹ b), deren Begründung gemäss ϱ) S. 557 mit Πh{āh⋹ (ȳ̆ ɟ 0)h} = Πh(a + ȳ̆ ɟ 0)h = 0 ɟ (a + ȳ̆ ɟ 0) = ă ɟ ȳ̆ ɟ 0, etc. leicht zu geben ist. Werden beide Anforderungen gleichzeitig gestellt, so folgt also y⋹ăb oder y = ăby = z, d. h. es kann das genannter Auflage unterworfene y als unser z bezeichnet werden. Für dieses z gilt natürlich dann auch

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 606. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/620>, abgerufen am 23.11.2024.