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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Zwölfte Vorlesung.
und das Kolonnensystem(konvers) 1 ; v bildet die Gesamtheit derjenigen
Reihen, in denen bereits ein Auge steht. Dagegen geben die Vollzeilen
vn j 0 das System der Zeilen, und die Vollkolonnen 0 j vn das System(konvers)
der Kolonnen an, welche noch eines Auges entbehren.

Nahe liegt wiederum der Gedanke, um diese bis jetzt noch leeren
Reihen ebenfalls je mit einem Auge zu versehen: dasselbe jeweils an die
Stelle zu verlegen, wo diese Reihen die Hauptdiagonale schneiden.

In Gestalt von (vn j 0)1'(0 j vn) bekommt man so in der That einen
zur Vervollständigung unsrer noch unfertigen Substitution ganz brauch-
baren Beitrag, nämlich einen Beitrag von Augen, die wiederum Kreuzreiter
sein und mit keinem der vorhandnen Augen kollidiren werden. Sind es
ja doch die Augen, in denen bisherige Leerzeilen mit bisherigen Leer-
kolonnen auf der Hauptdiagonale zusammentreffen!

Anders aber verhält es sich mit denjenigen Stellen der Hauptdiagonle,
wo eine Leerzeile von v mit einer besetzten Kolonne des v, oder um-
gekehrt, zusammentrifft. Die Augen von (vn j 0)1' · 1 ; v und v ; 1 · 1'(0 j vn)
werden zur Ergänzung unsrer Substitution nicht verwendbar sein, weil sie
mit schon vorhandnen Augen des v kollidiren.

[Teilweise könnte man vielleicht die Konverse derjenigen Augen ver-
wenden, mit welchen jene kollidiren, eventuell aber, nämlich soferne da-
durch neue Kollisionen herbeigeführt werden, auch nicht.] Am besten wol
würde man statt ihrer diejenigen Augen (hinzufügend zu v) verwenden,
welche sich als dasjenige präsentiren, was ich für den Augenblick die
"ideale Diagonale" zu v nennen möchte, nämlich die Augen, die auf der
Diagonale stehen würden, falls man aus der Tafel 12 die Zeilen des
Systems v ; 1 sowie die Kolonnen 1 ; v sämtlich ausmerzte und die übrigen
Zeilen sowie Kolonnen "aufschliessen", d. h. zusammenrücken liesse. Diese
würden aber nur dann als bestimmt erscheinen, falls man ein Relativ a
zuhülfe nähme, nämlich als gegeben voraussetzte und zugrunde legte, durch
welches sämtliche Elemente des ursprünglichen Denkbereiches in eine be-
stimmte Ordnung oder Grössenfolge gebracht werden. Vielleicht gibt diese
Bemerkung eine Anregung, das Problem einmal noch weiter zu fördern. --

Für die Anwendungen und häufigen Gebrauch thut man gut, sich
gewisse Folgerungen aus den Charakteristiken unsrer vier Grundtypen
allgemein zurechtzulegen.

Es stelle x jeweils eine Abbildung vor, welche der links der Formel-
chiffre beigesetzten Kombination von A-Bedingungen genügt.

Dann haben wir für beliebige a, b sub
29) A1: (x ; b a) (b x ; a), (a ; x b) (a b ; x)
30) A3: (x ; a b) (a x ; b), (b ; x a) (b a ; x)
31) A2: (b x ; a) (x ; b a), (a b ; x) (a ; x b)
32) A4: (a x ; b) (x ; a b), (b a ; x) (b ; x a).

Die Beweise ergeben sich leicht im Hinblick auf die in 15) letzts
angegebne Form der Bedingungen A nach folgendem Vorbilde, welche-

Zwölfte Vorlesung.
und das Kolonnensystem(konvers) 1 ; v bildet die Gesamtheit derjenigen
Reihen, in denen bereits ein Auge steht. Dagegen geben die Vollzeilen
v̄ ɟ 0 das System der Zeilen, und die Vollkolonnen 0 ɟ v̄ das System(konvers)
der Kolonnen an, welche noch eines Auges entbehren.

Nahe liegt wiederum der Gedanke, um diese bis jetzt noch leeren
Reihen ebenfalls je mit einem Auge zu versehen: dasselbe jeweils an die
Stelle zu verlegen, wo diese Reihen die Hauptdiagonale schneiden.

In Gestalt von (v̄ ɟ 0)1'(0 ɟ v̄) bekommt man so in der That einen
zur Vervollständigung unsrer noch unfertigen Substitution ganz brauch-
baren Beitrag, nämlich einen Beitrag von Augen, die wiederum Kreuzreiter
sein und mit keinem der vorhandnen Augen kollidiren werden. Sind es
ja doch die Augen, in denen bisherige Leerzeilen mit bisherigen Leer-
kolonnen auf der Hauptdiagonale zusammentreffen!

Anders aber verhält es sich mit denjenigen Stellen der Hauptdiagonle,
wo eine Leerzeile von v mit einer besetzten Kolonne des v, oder um-
gekehrt, zusammentrifft. Die Augen von (v̄ ɟ 0)1' · 1 ; v und v ; 1 · 1'(0 ɟ v̄)
werden zur Ergänzung unsrer Substitution nicht verwendbar sein, weil sie
mit schon vorhandnen Augen des v kollidiren.

[Teilweise könnte man vielleicht die Konverse derjenigen Augen ver-
wenden, mit welchen jene kollidiren, eventuell aber, nämlich soferne da-
durch neue Kollisionen herbeigeführt werden, auch nicht.] Am besten wol
würde man statt ihrer diejenigen Augen (hinzufügend zu v) verwenden,
welche sich als dasjenige präsentiren, was ich für den Augenblick die
„ideale Diagonale“ zu v nennen möchte, nämlich die Augen, die auf der
Diagonale stehen würden, falls man aus der Tafel 12 die Zeilen des
Systems v ; 1 sowie die Kolonnen 1 ; v sämtlich ausmerzte und die übrigen
Zeilen sowie Kolonnen „aufschliessen“, d. h. zusammenrücken liesse. Diese
würden aber nur dann als bestimmt erscheinen, falls man ein Relativ a
zuhülfe nähme, nämlich als gegeben voraussetzte und zugrunde legte, durch
welches sämtliche Elemente des ursprünglichen Denkbereiches in eine be-
stimmte Ordnung oder Grössenfolge gebracht werden. Vielleicht gibt diese
Bemerkung eine Anregung, das Problem einmal noch weiter zu fördern. —

Für die Anwendungen und häufigen Gebrauch thut man gut, sich
gewisse Folgerungen aus den Charakteristiken unsrer vier Grundtypen
allgemein zurechtzulegen.

Es stelle x jeweils eine Abbildung vor, welche der links der Formel-
chiffre beigesetzten Kombination von A-Bedingungen genügt.

Dann haben wir für beliebige a, b sub
29) A1: (x ; b ⋹ a) ⋹ (b ⋹ x̆ ; a), (a ; x̆ ⋹ b) ⋹ (a ⋹ b ; x)
30) A3: (x̆ ; a ⋹ b) ⋹ (a ⋹ x ; b), (b ; x ⋹ a) ⋹ (b ⋹ a ; x̆)
31) A2: (b ⋹ x̆ ; a) ⋹ (x ; b ⋹ a), (a ⋹ b ; x) ⋹ (a ; x̆ ⋹ b)
32) A4: (a ⋹ x ; b) ⋹ (x̆ ; a ⋹ b), (b ⋹ a ; x̆) ⋹ (b ; x ⋹ a).

Die Beweise ergeben sich leicht im Hinblick auf die in 15) letzts
angegebne Form der Bedingungen A nach folgendem Vorbilde, welche-

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[592/0606] Zwölfte Vorlesung. und das Kolonnensystem(konvers) 1 ; v bildet die Gesamtheit derjenigen Reihen, in denen bereits ein Auge steht. Dagegen geben die Vollzeilen v̄ ɟ 0 das System der Zeilen, und die Vollkolonnen 0 ɟ v̄ das System(konvers) der Kolonnen an, welche noch eines Auges entbehren. Nahe liegt wiederum der Gedanke, um diese bis jetzt noch leeren Reihen ebenfalls je mit einem Auge zu versehen: dasselbe jeweils an die Stelle zu verlegen, wo diese Reihen die Hauptdiagonale schneiden. In Gestalt von (v̄ ɟ 0)1'(0 ɟ v̄) bekommt man so in der That einen zur Vervollständigung unsrer noch unfertigen Substitution ganz brauch- baren Beitrag, nämlich einen Beitrag von Augen, die wiederum Kreuzreiter sein und mit keinem der vorhandnen Augen kollidiren werden. Sind es ja doch die Augen, in denen bisherige Leerzeilen mit bisherigen Leer- kolonnen auf der Hauptdiagonale zusammentreffen! Anders aber verhält es sich mit denjenigen Stellen der Hauptdiagonle, wo eine Leerzeile von v mit einer besetzten Kolonne des v, oder um- gekehrt, zusammentrifft. Die Augen von (v̄ ɟ 0)1' · 1 ; v und v ; 1 · 1'(0 ɟ v̄) werden zur Ergänzung unsrer Substitution nicht verwendbar sein, weil sie mit schon vorhandnen Augen des v kollidiren. [Teilweise könnte man vielleicht die Konverse derjenigen Augen ver- wenden, mit welchen jene kollidiren, eventuell aber, nämlich soferne da- durch neue Kollisionen herbeigeführt werden, auch nicht.] Am besten wol würde man statt ihrer diejenigen Augen (hinzufügend zu v) verwenden, welche sich als dasjenige präsentiren, was ich für den Augenblick die „ideale Diagonale“ zu v nennen möchte, nämlich die Augen, die auf der Diagonale stehen würden, falls man aus der Tafel 12 die Zeilen des Systems v ; 1 sowie die Kolonnen 1 ; v sämtlich ausmerzte und die übrigen Zeilen sowie Kolonnen „aufschliessen“, d. h. zusammenrücken liesse. Diese würden aber nur dann als bestimmt erscheinen, falls man ein Relativ a zuhülfe nähme, nämlich als gegeben voraussetzte und zugrunde legte, durch welches sämtliche Elemente des ursprünglichen Denkbereiches in eine be- stimmte Ordnung oder Grössenfolge gebracht werden. Vielleicht gibt diese Bemerkung eine Anregung, das Problem einmal noch weiter zu fördern. — Für die Anwendungen und häufigen Gebrauch thut man gut, sich gewisse Folgerungen aus den Charakteristiken unsrer vier Grundtypen allgemein zurechtzulegen. Es stelle x jeweils eine Abbildung vor, welche der links der Formel- chiffre beigesetzten Kombination von A-Bedingungen genügt. Dann haben wir für beliebige a, b sub 29) A1: (x ; b ⋹ a) ⋹ (b ⋹ x̆ ; a), (a ; x̆ ⋹ b) ⋹ (a ⋹ b ; x) 30) A3: (x̆ ; a ⋹ b) ⋹ (a ⋹ x ; b), (b ; x ⋹ a) ⋹ (b ⋹ a ; x̆) 31) A2: (b ⋹ x̆ ; a) ⋹ (x ; b ⋹ a), (a ⋹ b ; x) ⋹ (a ; x̆ ⋹ b) 32) A4: (a ⋹ x ; b) ⋹ (x̆ ; a ⋹ b), (b ⋹ a ; x̆) ⋹ (b ; x ⋹ a). Die Beweise ergeben sich leicht im Hinblick auf die in 15) letzts angegebne Form der Bedingungen A nach folgendem Vorbilde, welche-

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 592. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/606>, abgerufen am 17.05.2024.