allgemeinern Satzes im § 31 (implicite mit) geben und begnügen uns zur Stelle mit der Berufung auf einen durch die Koeffizientenevidenz zu er- weisenden Hülfssatz: 23)
[Formel 1]
für dessen ersten Teil wir in der That haben: R = Pi j (1'i jShai hbh j) = Pi (1 Shai hbh i) weil die für ji sich ergebenden Faktoraussagen des P das Prädikat 0 aufweisen und als selbstverständliche unterdrückbar sind. Sonach kommt: R = Pj i {1j iSh(ab)h i = (1 ; ab)j i} = L, q. e. d.
Bezüglich dieser bei 17) hinzugekommnen Ausdrucksformen sind wir bei den nachfolgenden Kombinationen 20) bis 22) nicht mehr vollständig gewesen, wie denn mit Rücksicht auf sie z. B. auch sich schreiben lassen würde: A1A2A3 = {1' x ; x · x ; (1' j xn)}, A1A2A4 = {x ; x 1' x ; (1' j xn)}, A1A2A3A4 = {1' (xn j 1') ; x · x ; (1' j xn)}. Überhaupt soll nicht behauptet sein, dass es ausser den aufgeführten für unsre 15 Typen nicht vielleicht auch noch andre ganz bemerkenswert ein- fache Ausdrucksformen gebe!
Hervorzuheben ist aber die Einfachheit von einigen der angeführten Formen.
In Gestalt von 1' j xn = x ist es hienach mit Aufwand von nur drei Termen (Relativsymbolen, oder -- den Modul eingerechnet -- Buchstaben) möglich, ein Relativ x als eine Funktion zu charakterisiren, die Funktion ihrem Begriff und Wesen nach (implicite) zu definiren!
Für die Substitution ist ebendazu bei x ; x = 1' = x ; x nur ein Aufwand von fünf Symbolen erforderlich -- und für jeden "endlichen" Denkbereich würde (nach einer schon S. 567 vorgreifend geäusserten Bemerkung) schon eine dieser beiden Gleichungen allein wie x ; x = 1', mithin ein Aufwand von auch nur drei Lettern dazu ausreichen!
Dass irgend eine Disziplin mit noch geringern Mitteln solches verwirkliche, ist kaum mehr denkbar.
Was nun die allgemeinen Wurzeln zu diesen 15 Propositionen an- belangt, so können wir sogleich (und jedesmal in zwei wesentlich ver- schiednen Formen) befriedigende allgemeine Lösungen für die acht ersten derselben angeben. Und zwar ist: 24)
[Formel 2]
Zwölfte Vorlesung.
allgemeinern Satzes im § 31 (implicite mit) geben und begnügen uns zur Stelle mit der Berufung auf einen durch die Koeffizientenevidenz zu er- weisenden Hülfssatz: 23)
[Formel 1]
für dessen ersten Teil wir in der That haben: R = Πi j (1'i j ⋹ Σhai hbh j) = Πi (1 ⋹ Σhai hbh i) weil die für j ≠ i sich ergebenden Faktoraussagen des Π das Prädikat 0 aufweisen und als selbstverständliche unterdrückbar sind. Sonach kommt: R = Πj i {1j i ⋹ Σh(ăb)h i = (1 ; ăb)j i} = L, q. e. d.
Bezüglich dieser bei 17) hinzugekommnen Ausdrucksformen sind wir bei den nachfolgenden Kombinationen 20) bis 22) nicht mehr vollständig gewesen, wie denn mit Rücksicht auf sie z. B. auch sich schreiben lassen würde: A1A2A3 = {1' ⋹ x ; x̆ · x̆ ; (1' ɟ x̄)}, A1A2A4 = {x̆ ; x ⋹ 1' ⋹ x̆ ; (1' ɟ x̄)}, A1A2A3A4 = {1' ⋹ (x̄ ɟ 1') ; x̆ · x̆ ; (1' ɟ x̄)}. Überhaupt soll nicht behauptet sein, dass es ausser den aufgeführten für unsre 15 Typen nicht vielleicht auch noch andre ganz bemerkenswert ein- fache Ausdrucksformen gebe!
Hervorzuheben ist aber die Einfachheit von einigen der angeführten Formen.
In Gestalt von 1' ɟ x̄ = x ist es hienach mit Aufwand von nur drei Termen (Relativsymbolen, oder — den Modul eingerechnet — Buchstaben) möglich, ein Relativ x als eine Funktion zu charakterisiren, die Funktion ihrem Begriff und Wesen nach (implicite) zu definiren!
Für die Substitution ist ebendazu bei x ; x̆ = 1' = x̆ ; x nur ein Aufwand von fünf Symbolen erforderlich — und für jeden „endlichen“ Denkbereich würde (nach einer schon S. 567 vorgreifend geäusserten Bemerkung) schon eine dieser beiden Gleichungen allein wie x ; x̆ = 1', mithin ein Aufwand von auch nur drei Lettern dazu ausreichen!
Dass irgend eine Disziplin mit noch geringern Mitteln solches verwirkliche, ist kaum mehr denkbar.
Was nun die allgemeinen Wurzeln zu diesen 15 Propositionen an- belangt, so können wir sogleich (und jedesmal in zwei wesentlich ver- schiednen Formen) befriedigende allgemeine Lösungen für die acht ersten derselben angeben. Und zwar ist: 24)
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[588/0602]
Zwölfte Vorlesung.
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Stelle mit der Berufung auf einen durch die Koeffizientenevidenz zu er-
weisenden Hülfssatz:
23) [FORMEL]
für dessen ersten Teil wir in der That haben:
R = Πi j (1'i j ⋹ Σhai hbh j) = Πi (1 ⋹ Σhai hbh i)
weil die für j ≠ i sich ergebenden Faktoraussagen des Π das Prädikat 0
aufweisen und als selbstverständliche unterdrückbar sind. Sonach kommt:
R = Πj i {1j i ⋹ Σh(ăb)h i = (1 ; ăb)j i} = L, q. e. d.
Bezüglich dieser bei 17) hinzugekommnen Ausdrucksformen sind wir
bei den nachfolgenden Kombinationen 20) bis 22) nicht mehr vollständig
gewesen, wie denn mit Rücksicht auf sie z. B. auch sich schreiben lassen
würde:
A1A2A3 = {1' ⋹ x ; x̆ · x̆ ; (1' ɟ x̄)}, A1A2A4 = {x̆ ; x ⋹ 1' ⋹ x̆ ; (1' ɟ x̄)},
A1A2A3A4 = {1' ⋹ (x̄ ɟ 1') ; x̆ · x̆ ; (1' ɟ x̄)}.
Überhaupt soll nicht behauptet sein, dass es ausser den aufgeführten für
unsre 15 Typen nicht vielleicht auch noch andre ganz bemerkenswert ein-
fache Ausdrucksformen gebe!
Hervorzuheben ist aber die Einfachheit von einigen der angeführten
Formen.
In Gestalt von 1' ɟ x̄ = x ist es hienach mit Aufwand von nur
drei Termen (Relativsymbolen, oder — den Modul eingerechnet —
Buchstaben) möglich, ein Relativ x als eine Funktion zu charakterisiren,
die Funktion ihrem Begriff und Wesen nach (implicite) zu definiren!
Für die Substitution ist ebendazu bei x ; x̆ = 1' = x̆ ; x nur ein
Aufwand von fünf Symbolen erforderlich — und für jeden „endlichen“
Denkbereich würde (nach einer schon S. 567 vorgreifend geäusserten
Bemerkung) schon eine dieser beiden Gleichungen allein wie x ; x̆ = 1',
mithin ein Aufwand von auch nur drei Lettern dazu ausreichen!
Dass irgend eine Disziplin mit noch geringern Mitteln solches
verwirkliche, ist kaum mehr denkbar.
Was nun die allgemeinen Wurzeln zu diesen 15 Propositionen an-
belangt, so können wir sogleich (und jedesmal in zwei wesentlich ver-
schiednen Formen) befriedigende allgemeine Lösungen für die acht ersten
derselben angeben. Und zwar ist:
24) [FORMEL]
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 588. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/602>, abgerufen am 17.05.2024.
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