Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 30. Cyklen und Cyklensummen.

griff der Cyklensumme erweist sich als ein weiterer, umfassenderer, als wie
der Substitutionsbegriff.

„Cyklus“ nennen wir dann eine „irreduzible“ „Cyklensumme“, d. h.
eine solche, in welcher keine aus nur einem Teil der vorkommenden Ele-
mente sich aufbauende „Cyklensumme“ enthalten ist — eine solche also, die,
populär zu reden, nicht in einfachere Cyklensummen zerlegt, zerspalten
werden kann, aus der sich solche nicht hervorheben, absondern lassen.

Durch jedes Elementepaar i : j, das einer gegebnen „Cyklensumme“
angehört, ist nun ein „Cyklus“ bestimmt, und in einem solchen müssen
sich die Elementepaare stets, und nur auf eine Weise, so anordnen
lassen, dass das Korrelat eines jeden mit dem Relate des (eventuell
„im Ringe herum“) darauf folgenden übereinstimmt (so nämlich, dass,
falls es ein erstes und ein letztes Elementepaar gibt, das erste wiederum
als „auf das letzte folgend“ gilt).

Ist nämlich i : j ein Glied unsrer „Cyklensumme“ — worin also i als
das Relat und j als das Korrelat erscheint — so kann und muss es nach
deren Begriffe nur noch ein Elementepaar h : i und ein Elementepaar j : k
geben, worin i resp. j überhaupt vorkommt, und in allen andern Elemente-
paaren der Cyklensumme werden die Elemente verschieden von i sowol als
von j sein müssen. Das eine Elementepaar aber wird i als Korrelat, das
andre wird j als Relat aufweisen müssen, weil beide Elemente bezüglich
in der andern Eigenschaft bereits in i : j vorgekommen.

Jenes h : i nennen wir das dem i : j vorangehende, dieses j : k das dem-
selben folgende Elementepaar.

Wenn in zwei Elementepaaren das Korrelat des einen mit dem Relate
des andern übereinstimmt, werden wir sie hier „benachbart“ nennen. Demnach
sind sowol h : i und i : j als i : j und j : k benachbarte Elementepaare. Solche
können noch auf zwei Arten nebeneinandergestellt, zu wirklichen Nachbarn
gemacht werden. Geschieht das so (wie vorstehend), dass das Korrelat des
zuerst gelesenen mit dem Relate des zweiten übereinstimmt (nicht aber um-
gekehrt), so sagen wir ausserdem, dass sie „Anschluss an einander haben“.

Zwei Sonderfälle müssen jetzt erst besprochen werden.

Es konnte von vornherein j = i sein. Dann ist i : i unser Elemente-
paar, worin denn i bereits als Relat sowol wie als Korrelat vorkommt.
Es kann daher in den übrigen Elementepaaren i nicht weiter vorkommen.
Und leicht wäre es, auch aufgrund unsrer allgemeinen Cyklusdefinition
strenge zu beweisen, dass i : i schon selbst ein Cyklus ist. Diesen Cyklus
„erster Ordnung“ wird dann unsre „Cyklensumme“ enthalten, folglich, wenn
sie noch andre Elementepaare mitumfasst, jedenfalls kein Cyklus sein.
Man dürfte das Elementepaar i : i als das auf sich selber folgende und sich
selbst vorangehende bezeichnen — eine Erlaubniss von der jedoch kein
Gebrauch zu machen ist. Bei j ≠ i konnte ferner h = j, oder auch k = i
sein. Beidemal kommen wir auf den „Cyklus zweiter Ordnung“ i : j + j : i
als auf einen Teil unsrer Cyklensumme. In diesem kann jedes der beiden
Elementepaare als auf das andre folgend hingestellt werden.

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