Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Zwölfte Vorlesung.

Wir sahen, durch ein Elementepaar einer „Cyklensumme“ ist immer
das ihm vorangehende und das ihm nachfolgende Elementepaar unzweifel-
haft bestimmt — diejenigen beiden Elementepaare, die rückwärts resp. vor-
wärts Anschluss an dasselbe finden. Hebt man diese genannten und, even-
tuell unbegrenzt, fort und fort die Elementepaare hervor, die sich nach
beiden Seiten an die bisherigen „anschliessen“, so erhält man als Bestand-
teil unsrer Cyklensumme eine Summe von Elementepaaren, die ich, ohne
wiederum auf die Zusammensetzungsweise des Namens vorerst zu achten,
einen „geordneten Cyklus“ nennen will. Von jedem Elementepaar desselben
mögen wir sagen, dass es von i : j (oder irgend einem andern seiner Ele-
mentepaare) aus „erreichbar“ sei, m. a. W. dass es an i : j sich wenigstens
„mittelbar“ anschliesse.

Inbezug auf irgend ein Elementepaar m : n unsrer „Cyklensumme“
sind nun blos zwei Fälle denkbar: entweder es ist von i : j aus erreichbar
und gehört somit unserm „geordneten Cyklus“ selbst an, oder dies ist nicht
der Fall.

Im erstern Falle ist leicht zu zeigen, dass die Elemente m, n ausser-
halb jenes „geordneten Cyklus“ in unsrer Cyklensumme nicht mehr vor-
kommen können, im letztern, dass sie innerhalb dieses „geordneten Cyklus“
überhaupt nicht vorkommen können.

Denn da zu einem jeden Elementepaar des „geordneten Cyklus“ auch
das vorangehende und das nachfolgende demselben angehören muss, so
würde zugleich mit m : n auch ein p : m und ein n : q demselben angehören
und kann daher m sowie n sonst nicht mehr in unsrer „Cyklensumme“
vorkommen.

Gehört aber das m : n unsrer Cyklensumme dem aus i : j erreichbaren
„geordneten Cyklus“ nicht an, so kann innerhalb des letztern auch m nicht
etwa als Korrelat und n nicht mehr als Relat auftreten; denn einem Gliede
p : m in ihm müsste ein andres m : r mit r ≠ n nachfolgen, wo wir dann
m zweimal als Relat haben würden, was dem Begriff der „Cyklensumme“
widerspricht, etc.

Auf dieselbe Weise beweist sich der Satz: Ist eine „Cyklensumme“
echter Teil einer andern „Cyklensumme“, so kann ein in der erstern vor-
kommendes Element ausserhalb derselben weder als Relat noch als Korrelat
in der letztern vorkommen; vielmehr muss diese dann in zwei „elemente-
fremde“ „Cyklensummen“ zerfallen.

Denn nach ihrem Begriffe kommt jedes in der ersten Cyklensumme
auftretende Element schon als Relat sowol wie als Korrelat in ihr vor,
und kann daher nicht weiter mehr, auch ausserhalb nicht, vorkommen.
Und ein ausserhalb der ersten „Cyklensumme“, des Teiles, im Ganzen vor-
kommendes Element tritt innerhalb des Teiles überhaupt nicht auf und
muss deshalb sowol als Korrelat wie als Relat im Reste vorkommen.

Darum muss nun unser „geordneter Cyklus“ auch wirklich ein „Cyklus“
sein. Denn liesse sich aus ihm noch eine „Cyklensumme“ absondern, so
müsste auch der Rest wieder eine Cyklensumme sein, und die beiden wären
„elementefremde“, sodass kein in der einen (als Relat sowie Korrelat) auf-
tretendes Element auch in der andern vorkäme. Es fände dann zwischen
Elementepaaren der einen und solchen der andern „Cyklensumme“ niemals