Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 30. Zu den Grundlagen der Abbildungstheorie.

Ganz dasselbe bedingt aber auch die Fordrung 1' ɟ ā ⋹ a in der Ge-
stalt: 000γ1 ⋹ 1αβγ0. Und umgekehrt wird jedes solche a = 1αβγ- den
beiden Fordrungen gleichzeitig genügen, weshalb dieselben — nebenbei —
auch äquivalent sein mussten.

Ein Relativ a von der Eigenschaft A₁ (dass also 1 ; a = 1) nennt
Peirce⁵ p. 49 — wie mir scheint ziemlich unglücklich — „unlimited as
to its correlate“, ein solches von der Eigenschaft A₃ (dass a ; 1 = 1) aber
„unlimited as to its relate“, während er ibid. p. 48 unser „System“ (wo
a ; 1 = a) als „complete as to its correlate“, das Systemkonvers (wo 1 ; a = a)
als „complete as to its relate“ bezeichnet. —

Soll ebenso bei A₂ sein: a = 1αβγ0 ⋹ 000γ1 = 1' ɟ ā, so müssen offen-
bar die Kolonnenkategorieen, welche die Ziffern 1, α und β repräsentiren,
in a fehlen, d. h. muss a von der Form sein: a = ---γ0. Und umgekehrt
wird auch jedes solche a die Forderung A₂ erfüllen. A₂ verlangt mithin
dass a nur aus einbesetzten und Leerkolonnen bestehe, m. a. W. dass sämt-
liche Augen seiner Matrix „Kolonnenreiter“ seien. Etc. q. e. d.

Doch muss auf einen Gegensatz noch aufmerksam gemacht werden,
der zwischen A₁, A₃ einerseits, und A₂, A₄ andrerseits, besteht hinsichtlich
der Anzahl der Arten, auf welche die Bedingung auf das Subjekt 1 (oder
auf das Prädikat 0) gebracht zu werden vermag. Ich will diesen Gegen-
satz bei A₁ und A₂ beleuchten. Er beruht darauf, dass dort, bei A₁, einer,
hier, bei A₂, aber drei Horizontalstriche in der schematischen Darstellung
des a auftreten, und zwar bei A₁ auch nur an der Stelle einer Randziffer
die ohnehin blos mit 1 oder 0 besetzt sein kann.

Soll eine Subsumtion 11111 ⋹ xyzuv den Ausfall der drei ersten
Ziffern xyz, und nur dieser, bei dem aus a = 1αβγ0 irgendwie abgeleiteten
Kolonnenrelative rechterhand bedingen, so müssen u und v gleich 1 sein und
kann ferner x als Randziffer nur den Wert 0 vorstellen, dagegen könnte in
11111 ⋹ 0yz11 unbeschadet der beabsichtigten Wirkung die zweite und
dritte Ziffernstelle noch in folgender Weise wesentlich verschieden besetzt sein:
yz = 00, 0β, 0β̄, α0, αβ, αβ̄, ᾱ0, ᾱβ, ᾱβ̄,
und immer wird der Effekt derselbe sein: dass in a, damit die Subsumtion
bestehen könne, die drei ersten Ziffernkategorien fehlen müssen.

Die neun durch Einsetzung dieser yz in das rechtseitige Schema zu
gewinnenden Relative können leicht nach den Methoden des § 16 durch a
ausgedrückt werden, und liefern, als Prädikat zu 1 gesetzt, ebensoviele
„wesentlich verschiedene“ Ausdrucksformen von A₂. Für das erste Relativ
haben wir 00011 = 1 ; (1' ɟ ā) und erhalten damit erneut den Beweis einer
Formel von 6). Eine andre würde aus dem letzten der neun Relative mit
0ᾱβ̄11 = ā + 1' ɟ ā sich unmittelbar ergeben. Etc. Die übrigen Formen
haben wir in 6) nicht mit aufgenommen.

Also: abgesehn von dem als Prädikat zum Subjekte 1 verwendbaren
ausgezeichneten Relative (welches ja nicht rein blos durch Parallelreihen-
operationen aus a hervorgeht), lässt sich A₁ nur auf eine, A₂ dagegen auf
neun Arten in die Form einer Subsumtion mit dem Subjekte 1 setzen.

Freilich könnte man auch noch schreiben:
A₁ = (1 ⋹ a + 0' ; a) = {ā(1' ɟ ā) ⋹ 0},