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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Zwölfte Vorlesung.

Anstatt sich zu Anfang auf das erste Inversionstheorem zu berufen,
konnte man indess auch besondre Kunstgriffe anwenden, z. B. schliessen:

Aus a ; a 1' auf a ; a j an 1' j an, und da nach 7) des § 6: a ; (a j an)
a ; a j an ist, auf a ; (a j an) 1' j an, sodann, da nach 3) des § 8: 1' a j an,
auf a ; 1' 1' j an, womit die Konklusion a 1' j an gewonnen ist. Um-
gekehrt folgt aus dieser auch wieder: a ; a (1' j an) ; a 1' j an ; a 1' j 0' = 1'
also a ; a 1'.

Nach m) vereinfacht sich 1) nun unmittelbar zu
A1 = PkShah k = Pk(Sh1i hah k + 0k j) = (1 ; a j 0)i j = 1 ; a j 0,
sintemal ein ausgezeichnetes Relativ seinem allgemeinen Koeffizienten
gleich ist.

Damit erscheinen die Theoreme 5) und 7) nun vollständig bewiesen.

Ebenso erhalten wir nach 2):
A2 = Ph k l(ah k0'l h anl k) = Pk l(Sh0'l hah k anl k) = (0' ; a an),
womit die dritte Ausdrucksform der ersten Zeile von 6) gewonnen ist
und nun auch die Theoreme 6) und 8) vollständig bewiesen erscheinen.

Natürlich konnte man jedoch auch auf irgend eine andre von
jenen Ausdrucksformen von den Koeffizienten aus hinsteuern, z. B. vom
ersten der vorstehenden Ausdrücke des A2 aus weiter schliessen:
A2 = Ph k l(anh k + 1'l h + anl k) = Ph k{anh k + Pl(1'h l + anl k)} = Ph k(an + 1' j an)h k =
= 0 j (an + 1' j an) j 0,
was sich aufgrund des kolonnenschematisch bekannten Satzes 30) S. 216:
0 j (an + 1' j an) = 1 ; (1' j an) vereinfacht zu dem in 6) angegebnen aus-
gezeichneten Relative 1 ; (1' j an) j 0.

Überblicken wir nun die hiemit gerechtfertigten Ergebnisse 5)
bis 8), so drängt sich die Wahrnehmung auf, dass die dem Relativ a
auferlegte Bedingung bei A1 und A2 wesentlich eine Kolonnenanforde-
rung, bei A3 und A4 aber eine Zeilenanforderung im Sinne unsrer
sechsten Vorlesung ist.

Wird, sei es kolonnen- sei es zeilenschematisch, a durch 1abg0
dargestellt, so zeigt sich, dass unsre vier Bedingungen folgendes sti-
puliren:

9)
A1 = (a = k1abg-) = (a hat keine Leerkolonne)
A2 = (a = k---g0) = (a hat keine mehrbesetzte Kolonne)
A3 = (a = z1abg-) = (a hat keine Leerzeile)
A4 = (a = z---g0) = (a hat keine mehrbesetzte Zeile).

Soll in der That (kolonnenschematisch) für a = 1abg0 bei A1 sein
1 1 ; a, so bedingt die Forderung 11111 11110 augenscheinlich, dass
die durch die Ziffer 0 markirte Kategorie der Leerkolonnen in a fehle, mit-
hin a von der Form sei: a = 1abg-.


Zwölfte Vorlesung.

Anstatt sich zu Anfang auf das erste Inversionstheorem zu berufen,
konnte man indess auch besondre Kunstgriffe anwenden, z. B. schliessen:

Aus a ; ă ⋹ 1' auf a ; ă ɟ ā ⋹ 1' ɟ ā, und da nach 7) des § 6: a ; (ă ɟ ā) ⋹
⋹ a ; ă ɟ ā ist, auf a ; (ă ɟ ā) ⋹ 1' ɟ ā, sodann, da nach 3) des § 8: 1' ⋹ ă ɟ ā,
auf a ; 1' ⋹ 1' ɟ ā, womit die Konklusion a ⋹ 1' ɟ ā gewonnen ist. Um-
gekehrt folgt aus dieser auch wieder: a ; ă ⋹ (1' ɟ ā) ; ă ⋹ 1' ɟ ā ; ă ⋹ 1' ɟ 0' = 1'
also a ; ă ⋹ 1'.

Nach μ) vereinfacht sich 1) nun unmittelbar zu
A1 = ΠkΣhah k = Πk(Σh1i hah k + 0k j) = (1 ; a ɟ 0)i j = 1 ; a ɟ 0,
sintemal ein ausgezeichnetes Relativ seinem allgemeinen Koeffizienten
gleich ist.

Damit erscheinen die Theoreme 5) und 7) nun vollständig bewiesen.

Ebenso erhalten wir nach 2):
A2 = Πh k l(ah k0'l h ⋹ āl k) = Πk l(Σh0'l hah k ⋹ āl k) = (0' ; a ⋹ ā),
womit die dritte Ausdrucksform der ersten Zeile von 6) gewonnen ist
und nun auch die Theoreme 6) und 8) vollständig bewiesen erscheinen.

Natürlich konnte man jedoch auch auf irgend eine andre von
jenen Ausdrucksformen von den Koeffizienten aus hinsteuern, z. B. vom
ersten der vorstehenden Ausdrücke des A2 aus weiter schliessen:
A2 = Πh k l(āh k + 1'l h + āl k) = Πh k{āh k + Πl(1'h l + āl k)} = Πh k(ā + 1' ɟ ā)h k =
= 0 ɟ (ā + 1' ɟ ā) ɟ 0,
was sich aufgrund des kolonnenschematisch bekannten Satzes 30) S. 216:
0 ɟ (ā + 1' ɟ ā) = 1 ; (1' ɟ ā) vereinfacht zu dem in 6) angegebnen aus-
gezeichneten Relative 1 ; (1' ɟ ā) ɟ 0.

Überblicken wir nun die hiemit gerechtfertigten Ergebnisse 5)
bis 8), so drängt sich die Wahrnehmung auf, dass die dem Relativ a
auferlegte Bedingung bei A1 und A2 wesentlich eine Kolonnenanforde-
rung, bei A3 und A4 aber eine Zeilenanforderung im Sinne unsrer
sechsten Vorlesung ist.

Wird, sei es kolonnen- sei es zeilenschematisch, a durch 1αβγ0
dargestellt, so zeigt sich, dass unsre vier Bedingungen folgendes sti-
puliren:

9)
A1 = (a = k1αβγ-) = (a hat keine Leerkolonne)
A2 = (a = k---γ0) = (a hat keine mehrbesetzte Kolonne)
A3 = (a = z1αβγ-) = (a hat keine Leerzeile)
A4 = (a = z---γ0) = (a hat keine mehrbesetzte Zeile).

Soll in der That (kolonnenschematisch) für a = 1αβγ0 bei A1 sein
1 ⋹ 1 ; a, so bedingt die Forderung 11111 ⋹ 11110 augenscheinlich, dass
die durch die Ziffer 0 markirte Kategorie der Leerkolonnen in a fehle, mit-
hin a von der Form sei: a = 1αβγ-.


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[564/0578] Zwölfte Vorlesung. Anstatt sich zu Anfang auf das erste Inversionstheorem zu berufen, konnte man indess auch besondre Kunstgriffe anwenden, z. B. schliessen: Aus a ; ă ⋹ 1' auf a ; ă ɟ ā ⋹ 1' ɟ ā, und da nach 7) des § 6: a ; (ă ɟ ā) ⋹ ⋹ a ; ă ɟ ā ist, auf a ; (ă ɟ ā) ⋹ 1' ɟ ā, sodann, da nach 3) des § 8: 1' ⋹ ă ɟ ā, auf a ; 1' ⋹ 1' ɟ ā, womit die Konklusion a ⋹ 1' ɟ ā gewonnen ist. Um- gekehrt folgt aus dieser auch wieder: a ; ă ⋹ (1' ɟ ā) ; ă ⋹ 1' ɟ ā ; ă ⋹ 1' ɟ 0' = 1' also a ; ă ⋹ 1'. Nach μ) vereinfacht sich 1) nun unmittelbar zu A1 = ΠkΣhah k = Πk(Σh1i hah k + 0k j) = (1 ; a ɟ 0)i j = 1 ; a ɟ 0, sintemal ein ausgezeichnetes Relativ seinem allgemeinen Koeffizienten gleich ist. Damit erscheinen die Theoreme 5) und 7) nun vollständig bewiesen. Ebenso erhalten wir nach 2): A2 = Πh k l(ah k0'l h ⋹ āl k) = Πk l(Σh0'l hah k ⋹ āl k) = (0' ; a ⋹ ā), womit die dritte Ausdrucksform der ersten Zeile von 6) gewonnen ist und nun auch die Theoreme 6) und 8) vollständig bewiesen erscheinen. Natürlich konnte man jedoch auch auf irgend eine andre von jenen Ausdrucksformen von den Koeffizienten aus hinsteuern, z. B. vom ersten der vorstehenden Ausdrücke des A2 aus weiter schliessen: A2 = Πh k l(āh k + 1'l h + āl k) = Πh k{āh k + Πl(1'h l + āl k)} = Πh k(ā + 1' ɟ ā)h k = = 0 ɟ (ā + 1' ɟ ā) ɟ 0, was sich aufgrund des kolonnenschematisch bekannten Satzes 30) S. 216: 0 ɟ (ā + 1' ɟ ā) = 1 ; (1' ɟ ā) vereinfacht zu dem in 6) angegebnen aus- gezeichneten Relative 1 ; (1' ɟ ā) ɟ 0. Überblicken wir nun die hiemit gerechtfertigten Ergebnisse 5) bis 8), so drängt sich die Wahrnehmung auf, dass die dem Relativ a auferlegte Bedingung bei A1 und A2 wesentlich eine Kolonnenanforde- rung, bei A3 und A4 aber eine Zeilenanforderung im Sinne unsrer sechsten Vorlesung ist. Wird, sei es kolonnen- sei es zeilenschematisch, a durch 1αβγ0 dargestellt, so zeigt sich, dass unsre vier Bedingungen folgendes sti- puliren: 9) A1 = (a = k1αβγ-) = (a hat keine Leerkolonne) A2 = (a = k---γ0) = (a hat keine mehrbesetzte Kolonne) A3 = (a = z1αβγ-) = (a hat keine Leerzeile) A4 = (a = z---γ0) = (a hat keine mehrbesetzte Zeile). Soll in der That (kolonnenschematisch) für a = 1αβγ0 bei A1 sein 1 ⋹ 1 ; a, so bedingt die Forderung 11111 ⋹ 11110 augenscheinlich, dass die durch die Ziffer 0 markirte Kategorie der Leerkolonnen in a fehle, mit- hin a von der Form sei: a = 1αβγ-.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 564. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/578>, abgerufen am 17.05.2024.